Текст книги "Чего не знает современная наука"

Автор книги: авторов Коллектив

сообщить о нарушении

Текущая страница: 35 (всего у книги 38 страниц)

Как звучит число?

Что может быть скучнее таблицы умножения или метрической системы мер! Одно упоминание о них вызывает в памяти серые школьные тетрадки советских времен, где на последней странице обложки были приведены упомянутая таблица, а ниже – данные о том, сколько метров в километре, сколько килограммов в тонне и т. д. Лишь у первоклашек они вызывали священный трепет перед могуществом знания, ученики же старших классов скользили рассеянным взглядом по колонкам цифр, воспринимая их, скорее, как декоративный орнамент. А между тем…

Целые числа и законы гармонии

Могущество числа в древности не подвергалось сомнению. Ключ к законам всеобщей гармонии Пифагор и его ученики видели в знаменитом Тетраксисе. Он образуется числами 1, 2, 3, 4; составленные из них дроби дают идеально согласованные пропорции. Самый яркий пример этого мы видим в музыке: две одинаково натянутые струны с отношением длин 1:2 звучат приятно для слуха. Столь же гармоничный звук издают струны с отношением длин 2:3 и 3:4. На основе этих законов созвучий была построена пифагорейская гамма, в которой ноты «до», «фа», «соль» и «до» второй октавы звучали на частотах, образующих именно такие пропорции. В современном строе во имя большей технологичности принято другое расположение нот в октаве, однако к пифагорейской гамме постоянно возвращаются композиторы и музыканты в поисках гармонии.

Столь замечательное применение этого принципа в практике не могло оставить равнодушными античных философов, и закон гармоничных отношений распространяется в их учениях и на строение неба, и на человека. Так укрепляется представление о том, что «числа правят миром».

Но время течет, и вот уже успехи математики не кажутся нам столь ошеломляющими. Люди додумались до иррациональных дробей, до мнимых чисел – совсем уж абстрактных. Над древними поверьями только посмеиваются: что знали эти мудрецы, так твердо придерживавшиеся своих целых чисел? Да и загадка музыкальной гармонии, казалось бы, давно раскрыта. Стало ясно, что струна при колебании может иметь профиль синусоиды, и пифагорейские ноты образуются такими профилями колебаний, в которых полупериоды синусоиды укладываются целое число раз, – никакой тут тайны нет.

Но так ли уж правы те, кто так говорит? Анализ уравнения колебаний струны позволяет увидеть удивительное свойство его решений – выбирать из многообразия возможностей лишь те, которые разрешены природой. Связано это с определенным принципом, напоминающим резонанс, с законом, который подавляет все, кроме дозволенного. Оказывается, в уравнении есть спектр решений, не меняющих со временем своей пространственной формы, изменяется лишь их амплитуда. Члены уравнения, отвечающие за пространственную форму решения, лишь умножают их на определенное число (так называемое собственное число оператора Лапласа), комбинация только таких решений и может существовать. И самое удивительное – эти числа как раз и являются пифагорейскими отношениями целых чисел.

Прекрасно сознавая, что предыдущий абзац покажется загадочным для людей, далеких от математики, поясним: это означает, что законы гармонии в виде отношений целых чисел заложены в самой структуре мира, отраженной в уравнениях.

Но уравнения подобного типа описывают не только звучащую струну, им подчиняется и множество других процессов. Законы колебаний мембран и тел правильной формы (прямоугольной, шаровой, цилиндрической), распространения в них тепла, законы излучения света атомами, законы распространения радиоволн и т. п. выводятся из решений задачи на собственные числа для оператора Лапласа, которая и дает в качестве этих чисел пифагорейские дроби.

Самое удивительное, что в ряде случаев эти решения воспринимаются человеком как гармоничные. Пример с музыкой нас в этом убеждает. Может быть, наше чувство красоты связано со структурой мира, ведь мы тоже являемся его частью?

Целые числа и структура Солнечной системы

А теперь обратимся к космосу, точнее – к строению Солнечной системы. Множество ученых, начиная с античности, видели в движении небесных тел высшее воплощение гармонии и пытались найти для ее описания те или иные математические закономерности. Представления об идеальных телах, движущихся по идеальным кривым (окружностям), лежали в основе систем мира Птолемея и Коперника. Кеплер пытался построить геометрическую модель Солнечной системы на основе правильных платоновских многоугольников. Пифагор положил в основу законов строения системы небесных сфер те же отношения целых чисел, которые дают гармонию в музыкальных созвучиях. И Боде пытался найти подтверждение этому в пропорциях между радиусами планетных орбит и даже вывел формулу, в основе которой лежали числа 0, 1, 2 и т. д., – так называемую формулу Боде.

Теперь нам известны размеры и форма орбит главных планет нашей системы, и опять кажется, что представления древних были слишком далеки от истины, – сравнение моделей Кеплера и Боде с реальностью дает слишком большие погрешности.

Но если посмотреть на отношения периодов обращения планет вокруг Солнца, можно уловить интересные закономерности, схожие с законами музыкальной гармонии. Прежде чем сформулировать их, поясним, как можно услышать музыку в периодических движениях планет.

Оказывается, что гармоничное созвучие, называемое октавой, дают две ноты «до», звучащие в разных октавах. То же самое можно сказать и про квинту и кварту – их дают ноты «до-соль» и «до-фа», независимо от того, в какой октаве взяты нота «до» и нота «соль». Однако ноты одного наименования, но разных октав отличаются тем, что период их колебаний отличается в два раза для соседних октав, в четыре раза для октав первой и третьей, в восемь – для первой и четвертой и т. п. И вообще, для того чтобы понять, какое созвучие образуют две ноты, надо привести их «в одну октаву». Для этого нужно взять отношение большего периода к меньшему и, если это отношение больше двух, делить его на два до тех пор, пока не получим числа в интервале от единицы до двух. Если в результате получится число два, эти ноты звучат в октаву, если 3/2 или 4/3 – они образуют созвучие квинта или кварта. Во всех других случаях пифагорейского созвучия не получается. Например, период колебаний второй струны в 64/3 раз больше первой. Делим это отношение на два – получим 32/3, еще раз на два – получим 16/3, еще раз – получим 8/3, и, наконец, следующее деление на два дает число больше единицы, но не больше двух – 4/3. Так звучат ноты «до» и «фа».

Применим этот принцип для периодов вращения планет солнечной системы – получим таблицу 3.

Интересно, что движения целого ряда планет в этом смысле образуют гармоничные созвучия: Солнце и Юпитер, Меркурий и Нептун звучат как ноты «до» и «фа», Меркурий и Плутон с хорошей точностью образуют октаву, а Нептун с Плутоном и Венера с Сатурном звучат, как ноты «до» и «соль».

Может быть, за этими числами и скрыта великая гармония небесных сфер, о которой говорил Пифагор?

В наше время на эти удивительные закономерности обратил внимание В. Г. Буданов. Одна из возможных моделей, объясняющая то, что отношения периодов обращения планет достаточно близки к пифагорейским, отправляет нас на много миллиардов лет назад, к моменту, когда планетная система нашего Солнца только зарождалась из протопланетного вещества. В теории нелинейных систем, созданной в XX веке, есть представление о том, что существует лишь небольшое число сценариев, по которым могут развиваться системы из большого числа элементов, сложным образом взаимодействующих между собой. Один из сценариев говорит о том, что если существует ритм жизни системы (например, цикл обращения протопланетного облака вокруг Солнца), то с изменением условий и вследствие нелинейных резонансных взаимодействий внутри системы может возникнуть подсистема, живущая с ритмом вдвое отличающимся от изначального. Затем могут возникать резонансы, связанные со сложением частот этих циклов, – этот процесс и мог дать в результате периоды обращений планет, описываемые гармоническими соотношениями. После этого можно лишь удивляться наблюдательности и интуиции пифагорейцев.

Меры длины и времени, или Загадка числа 60

Благодаря индусам и арабам сейчас мы пользуемся десятичной системой счисления. Выражается это в том, что, имея десять цифр, от нуля до девяти, любое число мы записываем, указывая, сколько в нем единиц, десятков, сотен (т. е. десятков десятков) и т. п. Принято считать, что в основе этой системы счисления лежит строение тела человека, а точнее – наличие десяти пальцев на руках. Мы к этому так привыкли, что трудно даже себе представить, как можно считать по-другому (пожалуй, это не относится к компьютерщикам, которые привыкли считать в двоичной, восьмеричной или шестнадцатеричной системах). Тем не менее в древности были люди, которые считали шестидесятками, а не десятками. Эти мудрецы жили в Вавилоне много тысячелетий назад. Важную роль в этой системе счисления играли и делители числа 60 – числа 6 и 12 (до сих пор некоторые любят считать все в дюжинах). Возможно, эта система счета взята не от человека, а от Солнца.

Судите сами. Видимый угловой размер[2]2
  То есть угол между лучами, исходящими из глаза к двум крайним точкам солнечного диска.


[Закрыть] Солнца (впрочем, как и Луны) – половина углового градуса, то есть 1/360 часть дуги полуокружности. Значит, в день равноденствий, делящих год на две равные части, когда Солнце восходит точно на востоке, а заходит на западе, диаметр солнечного диска 360 = 60 x 6 раз укладывается в видимом его пути по небу. Во всех древних календарях считалось, что год состоял из 360 = 60 x 6 дней, то есть, по представлениям древних, за одни сутки Солнце сдвигалось на небе относительно звезд на 1/360 своего годового пути – то есть на один градус. Число 60 лежит в основе и более мелких угловых единиц – в одном градусе 60 угловых минут, а в минуте – 60 угловых секунд. Кроме того, до сих пор у нас 60 минут в часе, и 60 секунд в минуте времени – древние очень хорошо понимали, что единицы измерения пространства (в данном случае углов) тесно связаны с единицами измерения времени – один угловой градус по небу Солнце проходит за одни сутки по времени.

С большими циклами движения Солнца тоже связано число 60. С древности известно явление, называемое сейчас прецессией земной оси: если вы когда-нибудь наблюдали за вращением волчка на полу, то видели, что кроме быстрого вращения его вокруг своей оси есть еще одно более медленное движение самой оси вокруг перпендикуляра к поверхности пола. Земля – тот же волчок, и ее ось перемещается вокруг перпендикуляра к плоскости эклиптики с периодом, как считали древние, 60 x 6 x 6 x 12 = 25920 лет (по современным данным – 25776 лет; относительная точность 0.0056!). Этот процесс приводит к тому, что в день весеннего равноденствия Солнце восходит на фоне разных зодиакальных созвездий. Всего таких созвездий 12, и в каждом созвездии Солнце восходит в этот день года в течение 60 x 6 x 6 = 2160 лет. (Сейчас примерно 21 марта Солнце восходит в точке на границе созвездий Рыб и Водолея, отсюда название наступающей эры – эра Водолея.)

Еще одна интересная особенность древних мер для измерения пространства и времени – их связь с человеком. Меры, соизмеримые с человеком, связаны с характерным масштабом его тела: локоть, фут – само название свидетельствует об их происхождении. Существуют сказания о легендарных личностях – царях или божественных правителях, длина ног или рук которых стали единицами измерений. К таким единицам относится, в частности, английский фут.

Но и в более масштабных мерах присутствует целое число ярдов и футов – например, в сухопутной миле 1760 ярдов. А в длине лунного экватора с хорошей точностью укладывается 2140 = 60 x 6 x 6 сухопутных миль. А в длине земного экватора с точностью 1,5 % содержится 21400 = 60 x 60 x 6 морских миль. Таким образом, число 60 является универсальным, позволяющим найти пропорции между размерами человеческого тела, размерами планет, длительностью суток, года и эры.

В школе нас учат, что складывать секунды с метрами нельзя, так же как нельзя складывать груши с мальчиками. Однако в основе самих систем мер лежит принцип единства пространства и времени, и что самое удивительное – этим принципом прекрасно воспользовались наши предки, жившие за многие тысячелетия до нас.

Алексей Чуличков, д-р физ. – мат. наук, МГУ

Математика о судьбе

Определенность

Что ценят в науке больше всего? По всей видимости, то, что она может предсказывать будущее. Именно по этому признаку большинство людей отделяют «науку» от «ненауки». Если вы говорите: «Возможно, это будет так, хотя, может, и иначе», на вас в лучшем случае посыплются упреки в некомпетентности. В худшем – вам объяснят, что наука абсолютно ничего не знает, всех ученых надо разогнать и гораздо лучше за разъяснениями обратиться к шаманам или астрологам.

Полная определенность научных предсказаний стала идеалом во времена классики. Механика Галилея и Ньютона, законы электромагнетизма, тепловых явлений, оптики и других разделов физики к XIX веку, казалось бы, достигли совершенства: в одних и тех же условиях физические системы демонстрировали с достаточной точностью однозначное поведение, полностью соответствовавшее предсказаниям теории. Масла в огонь подлила математика. Если мир состоит из множества частиц, то его развитие во времени подчинено законам, записанным на строгом языке математических уравнений. А уравнения, которые были известны в эпоху классической науки, обладали удивительным свойством: если знать все положения и скорости частиц в фиксированный момент времени, то можно «увидеть» единственный сценарий, по которому будет происходить их дальнейшее движение! Отсюда – полный фатализм: все, что произойдет в будущем, полностью предопределено настоящим. И не только ваш выигрыш или проигрыш в рулетку, но и жизненный путь всех живых существ и их сообществ.

Это, безусловно, бросало вызов человеку: неужели не сам он решает, как ему поступить, и неужели во всех его горестях и радостях виноват рок? Так идеал науки вступил в конфликт с идеалом человека – творца своей судьбы.

Неопределенность

К счастью, развитие науки в XX веке привело к революционным изменениям во взглядах на мир и его эволюцию. Сначала выяснилось, что мир нельзя свести к системе частиц, имеющих координаты и скорости: процессы, идущие на уровне атомов и более мелких частиц, характеризуются принципиальной неопределенностью, их невозможно предсказать с абсолютной точностью, можно вести речь лишь о вероятности того или иного исхода. Это, если говорить предельно просто, объясняется законом больших чисел: когда на эксперимент оказывает влияние очень большое количество независимых случайных факторов, то его исход становится практически предопределенным. Так, например, при однократном подбрасывании монетки разумный человек не рискнет предсказать выпадение орла, но при подбрасывании 10 миллиардов монеток можно утверждать, что частота выпадения орла будет равна 1/2 со среднеквадратичной погрешностью всего лишь в пять миллионных. В наблюдаемых же событиях нашего мира участвует значительно большее число случайных микроявлений: например, в 12 граммах (одном моле) углерода содержится 6 * 10²³ атомов (это так называемое число Авогадро).

Второй удар по идеалу предсказательной силы науки нанесли математики. На границе XIX и XX веков Анри Пуанкаре заметил, что существует целый класс уравнений, описывающих эволюцию механической системы, решение которых не может быть однозначным! Пример такой системы – детская игрушка «китайский бильярд», в которой катящийся шарик натыкается на своем пути на множество столбиков, отскакивает от стенок, и в результате траектория его движения кажется случайной. Столкновение шарика с препятствием вызывает колоссальные математические трудности – приходится рассматривать очень подробные модели, которые оказываются чрезвычайно неустойчивыми: при изменении положения или скорости шарика на сколь угодно малую величину его дальнейшее движение меняется радикально. Достичь же необходимой точности определения параметров модели, чтобы однозначно описать движение, не удается по принципиальным соображениям, в частности следующим из законов микромира.

Управляемый хаос

Как видим, наука серьезно рисковала оказаться в ситуации, с описания которой началась статья: ничего предсказать нельзя и лучше уж гадать на кофейной гуще. Но, к счастью, в конце XX века научились работать и с такими сложными системами. Можно, например, выделить в жизни системы этапы, когда ее движение предопределено и предсказуемо (в случае с «китайским бильярдом» это этап движения шарика по инерции между двумя столкновениями с препятствиями). Но рано или поздно этот этап закончится, и начнется следующий, такой же «спокойный». Самое интересное творится на их стыке – в это время система словно погружается в хаос, в котором теряется значительная доля информации о движении на предыдущем этапе. Иногда этот кризис длится мгновение, иногда заметное время. Попытка описать движение на переходном этапе не приводит к успеху. Оказывается, что в это время система чувствительна к очень малым воздействиям, каждое из которых может поменять ее дальнейшую судьбу. В «китайском бильярде» направление полета шарика после столкновения с препятствием может значительно изменяться при микроскопических изменениях положения шарика в момент удара. Замечательным достижением явилось то, что в ряде ситуаций исследователи научились предсказывать возможные пути движения системы после кризиса: выяснилось, что иногда этих путей не слишком много. Научились даже указывать способы воздействия на систему, в результате которых ее развитие выходит на нужный режим.

Теперь на смену фатализму пришла новая точка зрения: есть этапы, когда твоя воля бессильна и ты находишься в строгих рамках судьбы. Освободиться из этих рамок можно, лишь совершая сверхусилия (например, сообщив системе достаточную энергию извне, ударив по шарику и изменив тем самым направление и скорость его движения). И есть этапы переломные, когда небольшие по сути изменения и подвижки могут резко изменить дальнейшую судьбу (в рассмотренном примере это этапы соударения со столбиками или стенками бильярда).

Конечно, перенос законов движения шарика на человеческую судьбу может показаться рискованным – все-таки математики исследуют уравнения, описывающие те или иные частные системы. Но важно то, что найдена принципиально иная возможность эволюции систем, сочетающая в себе и модель выбора, и реальные ограничения «судьбы». Теория нелинейных систем – математическая дисциплина, и сама по себе она не может предотвратить ни резкого ухудшения обстановки, ни быстрого выхода из застоя. Но как любая теория, она позволяет глубже вникнуть в суть вещей, явлений и процессов реального мира. С точки зрения математики катастрофа и хаос – это не обязательно крушение всех надежд или еще какая-нибудь беда, это этап резкой перестройки системы, качественный скачок ее состояния: неожиданный поворот жизненного пути, социальная революция, экономический бум. И важно в преддверии этих кризисных ситуаций найти нужный путь и не «застрять». А если момент упустишь, то будут тянуться перед тобой длинные пыльные окольные тропы…

Алексей Чуличков, д-р физ. – мат. наук, МГУ

Математика и мифология о «чужом»

Помните сказку для младших научных сотрудников «Понедельник начинается в субботу», написанную А. и Б. Стругацкими? Там в одном из фрагментов волшебник Мерлин, перенесенный волей авторов из средневековой Англии в наше время, рассказывает о своем путешествии по окрестным совхозам с председателем горисполкома и поминутно сбивается, называя его королем Артуром. А портреты вождей пролетариата в чукотских чумах, на которых привычные нашему глазу лица приобретали черты, свойственные людям народов Севера? Эти забавные ситуации – проявление так называемого феномена Чужого, превратившегося, по словам Ш. М. Шукурова, в XX веке «в одну из наиболее интенсивно обсуждаемых проблем гуманитарной мысли».

Действительно, что такое «свое» и что такое «чужое»? Как мы отличаем одно от другого, как превращаем непривычное, незнакомое в близкое и понятное? Эти вопросы важны для каждого человека – от ребенка, познающего мир, до политика, пытающегося найти общий язык с народами и правителями других стран. Попытки разобраться в этих вопросах делаются и психологами, и философами, и историками, и даже математиками.

Представьте себя на месте автора книги, в которой описывается путешествие героя в неведомые страны. Вам предстоит придумать нечто совершенно не похожее на наш мир. Как это сделать?

Можно, например, придумать замысловатые названия тем вещам и явлениям, которыми наполнен «тот» мир, – тогда он точно не будет похож на наш. Но если эти названия не будут растолкованы, если не вызовут никаких ассоциаций у читателя – то, скорее всего, такая книга никогда и не будет прочитана. Нужно что-то хотя и составленное из привычных слов, но вызывающее яркое впечатление необычного, невозможного в мире «нашем».

Итак – парадокс: из набора привычных понятий возникает новое, непривычное. Однако наш опыт свидетельствует о том, что это противоречие преодолимо – ведь мифы, сказки, фантастические романы реально существуют и пользуются неизменной популярностью, и в них именно за обычными словами и понятиями возникает мифическая, сказочная, фантастическая реальность.

Попробуем разобраться в этом процессе, используя простую математическую модель. Ее можно громко назвать Моделью Познания Неведомого, которая описывает процесс построения понятий «мира Чужого» из понятий «мира Своего». Оказывается, многое из того, что нам понадобится, уже придумано в математике – вот уже примерно полвека существует ее раздел под названием «распознавание образов». В нем дано формальное описание понятий «свой – чужой», его мы и положим в основу наших рассуждений.

Методы распознавания образов позволяют в разнообразной информации узнавать и выделять тот или иной «свой» объект. Для успешного решения задачи сформулируем ее на математическом языке, то есть формально определим, что такое «свое» и чем оно отличается от «чужого», и зададим критерий, определяющий качество решения. После этого останется лишь решить техническую задачу выбора наилучшего решения, либо убедиться, что такового не существует, и тогда переформулировать задачу.

«Кирпичиками», из которых складывается математическая модель, являются знакомые нам понятия, обычаи, предметы и т. п. Примем как аксиому, что любое явление «мира сего» можно представить как простую, или, как говорят математики, линейную, комбинацию из заданного набора известных понятий.

Теперь надо определить, что такое «мир иной». В нашей модели он понимается как все то, что невозможно представить как линейную комбинацию привычных понятий. Чтобы отличить «чужого» от «своего», надо записать анализируемое понятие линейной комбинацией «своих», и если это удастся – то следует признать это понятие «своим». Этот принцип, доведенный до математического решающего правила и алгоритма, позволяет создавать устройства, «узнающие своего» существенно лучше человека.

Приведем пример. Рассмотрим два вектора в пространстве – две стрелочки, выходящие из общей точки. По законам геометрии, они лежат в одной плоскости. Их линейная комбинация (то есть векторная сумма) обязательно лежит в той же плоскости. Вывести из этой плоскости может лишь результат такой их композиции, основанной на более сложных операциях с векторами. Эти операции должны внести в результат некую новую информацию, не содержащуюся в исходных векторах, – в частности, информацию о существовании направлений, выводящих из плоскости.

Подведем итог и сформулируем особенности рассмотренной выше математической модели в форме двух предложений: для построения новых понятий на основе привычных необходимо, во-первых, признать существование «мира Чужого» – мира, не укладывающегося в плоскость привычных понятий; а во-вторых, при объединении понятий нужно иметь в запасе нечто, позволяющее подняться над этой плоскостью.

Первое предложение достаточно понятно. Если мы не подозреваем об иных измерениях, а все события стараемся толковать только в терминах понятий мира «Нашего», то в результате, не видя всей ситуации в целом, остаемся «слишком плоскими» и попадаем в ситуацию с Мерлином, описанную в начале статьи, или удивляемся, почему американцы до сих пор не говорят по-русски, хотя уже столько москвичей приехали в Нью-Йорк.

Несколько сложнее со вторым предложением. По закону линейной комбинации, дракон – это всего лишь «сумма» змеи и крыльев, а кентавр – не более чем соединение лошади и человека. Более общий подход требует знания некоторых дополнительных сведений: например, того, что в Китае дракон – это повелитель пяти стихий, хранитель тайных богатств и знаний, он дышит огнем, летает в воздухе так же хорошо, как и плавает в воде, знает и тропы подземного мира. Это знание (а еще – воображение) позволят увидеть, что в этом сказочном существе заключена и тайна жизни, и дыхание океана, и блеск звезд, жар огня, наши мысли и стремления, любовь и смерть. И тогда дракон воспринимается как образ объединения всех символических стихий земли.

Такая возможность – не буквального, а образного восприятия слов – является, по-видимому, фундаментальным свойством нашего языка. По мысли известного математика В. В. Налимова, построившего вероятностную модель языка, каждое слово содержит в себе множество смыслов, и они раскрываются, «распаковываются» по мере того, как объединяются во фразы. Смысл каждой фразы, в свою очередь, зависит и от контекста, и от настроя слушателя, и благодаря этому возникает возможность передачи весьма ограниченным запасом слов бесконечности мира, взаимосвязи множества явлений. С математической точки зрения это означает, что обязательно существует связь («корреляция», говоря вероятностным языком) между миром известных понятий и непознанным.

Как проникнуть в этот мир? Как математические модели, так и примеры из мифологии свидетельствуют, что для этого необходимо ощущение пространства, находящегося за рамками наших привычек, дотянутся до которого можно путем аналогий, ассоциаций, выстраивания новых понятий – неожиданных и переворачивающих сознание, вопреки законам простой «линейной» логики. Иногда этому помогает судьба, проводящая нас через множество жизненных испытаний, в которых просто невыносимо оставаться в рамках прежних «плоских» понятий. И тогда через боль и страдания, через отказ от дорогого «привычного мирка» мы приходим к новым, более широким горизонтам. И тогда, свободные от рамок, мы с облегчением улыбаемся нашим прежним «плоским» представлениям, где в любом начальнике мы готовы узнавать короля Артура, а в иноплеменных вождях искать родные черты.

Алексей Чуличков, д-р физ. – мат. наук, МГУ

Литература

Шукуров Ш. М. Чужое: опыты преодоления. Очерки из истории культуры Средиземноморья. – М.: Алетейа, 1999. – 384 с.

Налимов В. В. Спонтанность сознания: Вероятностная теория смыслов и смысловая архитектоника личности. – М.: Изд-во «Прометей», 1989. – 288 с.