Текст книги "Физики продолжают шутить"

Автор книги: авторов Коллектив

сообщить о нарушении

Текущая страница: 11 (всего у книги 15 страниц)

О существе математических доказательств

Дж. Коэн

Бертран Рассел определил математику как науку, в которой мы никогда не знаем, о чем говорим и насколько правильно то, что мы говорим. Известно, что математика широко применяется во многих других областях науки. Следовательно, и остальные ученые в большинстве своем не знают, о чем говорят и истина ли то, что они говорят.

Таким образом, одна из главных функций математического доказательства – создание надежной основы для проникновения в суть вещей.

Аристотель относится к числу первых философов, занявшихся изучением математических доказательств. Он изобрел силлогизм – приспособление, которое в силу своей абсолютной бесполезности привлекало внимание бесчисленного множества логиков и философов. Силлогизм состоит из первой посылки, второй посылки и заключения. Логики только и делают, что приходят к заключениям. Просто чудо, что они до сих пор не обошли все кругом и не пришли туда, откуда вышли.

В первой посылке заключается истина, относящаяся к целому классу вещей, например: «Не все посылки верны». Во второй посылке утверждается, что интересующая нас вещь принадлежит к этому классу, например: «Последние четыре слова предыдущего предложения являются посылкой». Таким образом, мы приходим к заключению: «Не всегда верно, что не все посылки верны». Такова всеобъемлющая полнота, с которой логика обобщает явления повседневной жизни.

Опираясь на математические доказательства, ученые сумели соединить дотоле разрозненные области, термодинамику и технику связи, в новую дисциплину – теорию информации. «Информация», научным образом определенная, пропорциональна удивлению: чем удивительнее сообщение, тем больше информации оно содержит. Если, подняв телефонную трубку, человек услышит «алло», это его не очень удивит; значительно больше будет информация, если его вместо «алло» внезапно ударит током.

Колоссальные новые возможности открылись перед математическими доказательствами с развитием теории множеств в конце прошлого столетия и начале нынешнего. Автор сам недавно открыл одну теорему в теории множеств, которая заслуживает того, чтобы ее здесь привести.

Теорема

Множество, единственным элементом которого является множество, может быть изоморфно множеству, единственным элементом которого является множество, все элементы которого образуют подгруппу элементов в множестве, которое является единственным элементом множества, с которым оно изоморфно.

Эту интуитивно очевидную теорему можно окольным путем вывести из теоремы об изоморфизме в теории групп.

Рассмотрим теперь логические системы. От простого набора теорем логическая система отличается так же, как готовое здание от груды кирпичей: в логической системе каждая последующая теорема опирается на предыдущую. Пойа отмечал, что заслуга Евклида состояла не в коллекционировании геометрических фактов, а в их логическом упорядочении. Если бы он просто свалил их в кучу, то прославился бы не больше, чем автор любого учебника по математике для средней школы.

Чтобы проиллюстрировать способы математических доказательств, мы приведем пример развернутой логической системы.

Лемма 1

Все лошади имеют одинаковую масть (докажем по индукции).

Доказательство

Очевидно, что одна лошадь имеет одинаковую масть. Обозначим через P(k) предположение, что k лошадей имеют одинаковую масть, и покажем, что из такого предположения вытекает, что k + 1 лошадей имеют ту же масть. Возьмем множество, состоящее из k + 1 лошадей, и удалим из него одну лошадь, тогда оставшиеся kлошадей по предположению имеют одинаковую масть. Вернем удаленную лошадь в множество, а вместо нее удалим Другую. Получится снова табун из k лошадей. Согласно предположению, все они одной масти. Так мы переберем все k + 1 множеств, в каждом по kлошадей. Отсюда следует, что все лошади одной масти, т.е. предположение, что P(k) влечет за собой P(k + 1). Но ранее мы уже показали, что предположение Р(1) выполняется всегда, значит, Рсправедливо для любого kи все лошади имеют одинаковую масть.

Следствие I

Все предметы имеют одинаковую окраску.

Доказательство

В доказательстве леммы 1 никак не используется конкретная природа рассматриваемых объектов. Поэтому в утверждений «если Х– лошадь, то все Химеют одинаковую окраску» можно заменить «лошадь» на «нечто» и тем самым доказать следствие. (Можно, кстати, заменить «нечто» на «ничто» без нарушения справедливости утверждения, но этого мы доказывать не будем.)

Следствие II

Все предметы белого цвета.

Доказательство

Если утверждение справедливо для всех X, то при подстановке любого конкретного Хоно сохраняет свою справедливость. В частности, если Х– слон, то все слоны одинакового цвета. Аксиоматически достоверным является существование белых слонов (см. Марк Твен, Похищение белого слона). Следовательно, все слоны белого цвета. Тогда из следствия I вытекает следствие II, что и требовалось доказать!

Теорема

Александр Великий не существовал.

Доказательство

Заметим для начала, что историки, очевидно, всегда говорят правду (поскольку они всегда ручаются за свои слова и поэтому, следовательно, не могут лгать). Отсюда исторически достоверным является утверждение: «Если Александр Великий существовал, то он ездил на вороном коне, которого звали Буцефал». Но, согласно следствию II, все предметы белые, и Александр не мог ездить на вороном коне. Поэтому для справедливости высказанного выше условного исторического утверждения необходимо, чтобы условие нарушалось. Следовательно, Александр Великий в действительности не существовал.

Из этого краткого обзора, посвященного математическим доказательствам, не следует делать вывод, что все уже доказано. Приведем два примера недоказанных теорем. Первый – это знаменитая гипотеза Голдбрика из теории чисел, которая утверждает, что каждое простое число можно представить в виде суммы двух четных чисел. Этого нехитрого утверждения никто до сих пор не опроверг, но, несмотря на многовековые усилия математиков, никто и не доказал. Второй пример известен, хотя бы в интуитивной форме, всему цивилизованному миру. Это знаменитый первый закон Чизхолма: «Все, что может испортиться, – портится».

Напечатано в книге: «A Stress Analysis of a Strapless Evening Gown».

Englewood Cliffs, N. J., 1963.

Дж. Коэн – студент Гарвардского университета

Новая классификация камней

М.Дж. Оппенгейм

Ниже приводится классификация камней, применимая ко всем разновидностям и рекомендуемая для всеобщего использования. Эта классификация, с одной стороны, совершенно четкая и жесткая, с другой стороны – весьма гибкая и удобная. Кроме того, она подлинно научна, ибо опирается только на наблюдаемые свойства объектов и рассматривает эти объекты в нескольких различных планах, демонстрируя серьезный и разносторонний подход к проблеме.

A. Генетический план

A1. Камень небесного происхождения. Наиболее яркий представитель – лунный камень.

A2. Камень подземного происхождения. Типичный представитель – угольный камень (его называют также каменный уголь).

A3. Камень земного происхождения – могильный камень.

B. Тектонический план

B1. Перекатный камень – претерпевавший перемещения с момента образования.

B2. Краеугольный камень – не претерпевавший перемещений с момента образования.

C. Физико-химический план

C1. Философский камень – обращающий металлы, к которым он прикасается, в золото.

C2. Нефилософский камень – не обращающий металлы в золото.

D. Кинематический план

D1. Лежачий камень, под который вода не течет.

D2. Нележачий камень, под который вода течет.

Е. Функциональный план (отражающий роль камня в человеческом обществе)

E1. Камень на шее (разновидность: на сердце).

E2. Камень в почках.

EЗ. Камень за пазухой.

Указания для практического применения нашей классификации при описании минералов:

Классификационный тип камня может быть при желании дополнен указанием цвета камня и высоты музыкального тона, издаваемого им при профессиональном простукивании геологическим молотком.

При описании камня все признаки следует располагать в порядке, обратном по отношению к Порядку, в котором они были перечислены выше.

Пример:

Автор настоящего сообщения недавно обнаружил фа-диез серо-бурый за пазухой лежачий нефилософский краеугольный могильный камень.

К математической теории охоты

Г. Петард

Простоты ради мы ограничимся рассмотрением только охоты, на львов (Fells leo), живущих в пустыне Сахара. Перечисленные ниже методы с легкостью можно модифицировать и применять к другим плотоядным, обитающим в разных частях света.

§ 1. Математические методы

Метод инверсивной геометрии. Помещаем в заданную точку пустыни клетку, входим в нее и запираем изнутри. Производим инверсию пространства по отношению к клетке. Теперь лев внутри клетки, а мы – снаружи.

Метод проективной геометрии. Без Ограничения общности мы можем рассматривать пустыню Сахара как плоскость. Проектируем плоскость на линию, а линию – в точку, находящуюся внутри клетки. Лев проектируется в ту же точку.

Метод Больцано – Вейерштрасса. Рассекаем пустыню линией, проходящей с севера на юг. Лев находится либо в восточной части пустыни, либо в западной. Предположим для определенности, что он находится в западной части. Рассекаем ее линией идущей с запада на восток. Лев находится либо в северной части, либо в южной. Предположим для определенности, что он находится в южной части, рассекаем ее линией, идущей с севера на юг. Продолжаем этот процесс до бесконечности, воздвигая после каждого шага крепкую решетку вдоль разграничительной линии. Площадь последовательно получаемых областей стремится к нулю, так что лев в конце концов оказывается окруженным решеткой произвольно малого периметра.

Комбинированный метод. Заметим, что пустыня представляет собой сепарабельное пространство. Оно содержит всюду плотное множество точек, из которого мы выбираем последовательность точек, имеющих пределом местоположение льва. Затем по этим точкам, захватив с собой необходимое снаряжение, крадучись, подбираемся к льву.

Топологический метод. Заметим, что связность тела льва во всяком случае не меньше, чем связность тора. Переводим пустыню в четырехмерное пространство. Согласно работе [1], в этом пространстве можно непрерывным образом выполнить такую деформацию, что по возвращении в трехмерное пространство лев окажется завязанным в узел. В таком состоянии он беспомощен.

Метод Коши, или функционально-теоретический. Рассмотрим льва как аналитическую функцию координат f(x) и напишем интеграл

где С– контур, ограничивающий пустыню, а y– точка, в которой находится клетка. После вычисления интеграла получается f(y), то есть лев в клетке.

§ 2. Методы теоретической физики

Метод Дирака. Отмечаем, что дикие львы в пустыне Сахара являются величинами ненаблюдаемыми. Следовательно, все наблюдаемые львы в пустыне Сахара – ручные. Поимку ручного льва предоставляем читателю в качестве самостоятельного упражнения.

Метод Шредингера. в любом случае существует положительная, отличная от нуля вероятность, что лев сам окажется в клетке. Сидите и ждите.

Метод ядерной Физики. Поместите ручного льва в клетку и примените к нему и дикому льву Сменный оператор Майорана [2]. Или предположим, что мы хотели поймать льва, а поймали львицу. Поместим тогда последнюю в клетку и применим к ней обменный оператор Гейзенберга, который обменивает спины.

§ 3. Методы экспериментальной физики

Термодинамический метод. Через пустыню натянем полупроницаемую мембрану, которая пропускает через себя все, кроме льва.

Метод активации. Облучим пустыню медленными нейтронами. Внутри льва будет наведена радиоактивность, и он начнет распадаться. Если подождать достаточно долго, лев не сможет оказать никакого сопротивления.

Литература:

Н. Seifert, W. ThreIfall, Lehrbuch der Topologie, 1934.

H.А. Bethe, R.F. Bacher, Rev. Mod. Phys., 8, 82 (1936).

Напечатано в журнале «The Journal of Irreproducible Results», 8, №2 (1959).

Г. Петард – профессор Принстонского университета, Нью-Джерси.

Сага о новом гормоне

Норман АППЛЦВЕЙГ

За последние месяцы мир узнал об открытии трех чудодейственных лекарств тремя ведущими фармацевтическими фирмами. При ближайшем рассмотрении выяснилось, что все три препарата – это один и тот же гормон. Если вам интересно узнать, как одно и то же химическое соединение получает несколько разных названий, давайте проследим за Цепочкой событий, предшествующих созданию чудотворного средства.

Первым его обычно совершенно случайно открывает физиолог в погоне за двумя другими гормонами. Он дает ему название, отражающее его функции в Организме, и предсказывает, что новое соединение может оказаться полезным при лечении редкого заболевания крови. Переработав тонну свежих бычьих желез, доставляемых прямо с бойни, он выделяет 10 граммов чистого гормона и отправляет их к специалисту по физхимии на анализ.

Физхимик обнаруживает, что 95% очищенного физиологом гормона составляют разного рода примеси, а остальные 5% содержат по крайней мере три разных вещества. Из одного такого вещества он успешно выделяет 10 миллиграммов чистого кристаллического гормона. На основе изучения его физических свойств он предсказывает возможную химическую структуру нового вещества и высказывает предположение, что его роль в организме, вероятнее всего, не совпадает с предсказаниями физиолога. Затем он дает ему новое название и переправляет химику-органику для подтверждения своих предположений о структуре соединения.

Органик этих предположений не подтверждает, но зато обнаруживает, что новое соединение лишь одной метильной группой отличается от вещества, недавно выделенного из дынной кожуры, которое, однако, биологически неактивно. Он дает гормону строгое химическое название, совершенно точное, но слишком длинное и непригодное поэтому для широкого употребления. Краткости ради за новым веществом сохраняется название, придуманное физиологом. В конце концов органик синтезирует 10 граммов нового гормона, но сообщает физиологу, что не может отдать ни одного грамма, ибо все эти граммы ему абсолютно необходимы для получения производных и дальнейших структурных исследований. Вместо этого он дарит ему 10 граммов того соединения, которое выделено из дынной кожуры.

Тут включившийся в поиски биохимик внезапно объявляет, что он обнаружил этот же гормон в моче супоросых свиноматок. На том основании, что гормон легко расщепляется кристаллическим ферментом, недавно выделенным из слюнных желез южноамериканского дождевого червя, биохимик настойчиво утверждает, что новое соединение есть не что иное, как разновидность витамина В16, недостаток которого вызывает сдвиги в одном из биохимических циклов у кольчатых червей. И меняет название.

Физиолог пишет биохимику письмо с просьбой прислать южноамериканского червя.

Пищевик находит, что новое соединение действует в точности так же, как «фактор ПФФ», недавно экстрагированный из куриного помета, и поэтому советует добавлять его в белый хлеб с целью повышения жизнеспособности грядущих поколений. Чтобы подчеркнуть это чрезвычайно важное качество, пищевик придумывает новое название.

Физиолог просит у пищевика кусочек «фактора ПФФ». Вместо этого он получает фунт сырья, из которого «фактор ПФФ» можно изготовить.

Фармаколог решает проверить, как действует новое соединение на серых крыс. Со смятением он убеждается, что после первой же инъекции крысы совершенно лысеют. Поскольку с кастрированными крысами этого не происходит, он приходит к заключению, что новый препарат синергичен половому гормону тестостерону и антагонистичен поэтому гонадотропному гормону гипофиза. Отсюда он делает вывод, что новое средство может служить отличными каплями от насморка. Он изобретает новое название и посылает 12 бутылок капель вместе с пипеткой в клинику.

Клиницист получает образцы нового фармацевтического препарата для испытания на пациентах с насморком. Закапывание в нос помогает весьма слабо, но он с удивлением видит, что три его простуженных пациента, до того еще страдавшие редкой болезнью крови, внезапно излечиваются.

И он получает Нобелевскую премию.

Напечатано в журнале «The Journal of Irreproducible Results» (1959).

H. Апплцвейг – биохимик.

О вреде огурцов

Упражнение в сравнительной логике и математической статистике

Огурцы вас погубят! Каждый съеденный огурец приближает вас к смерти. Удивительно, как думающие люди до сих пор не распознали смертоносности этого растительного продукта и даже прибегают к его названию для сравнения в положительном смысле («как огурчик!»). И несмотря ни на что, производство консервированных огурцов растет.

С огурцами связаны все главные телесные недуги и все вообще людские несчастья.

Практически все люди, страдающие хроническими заболеваниями, ели огурцы. Эффект явно кумулятивен.

99,9% всех людей, умерших от рака, при жизни ели огурцы.

100% всех солдат ели огурцы.

99,7% всех лиц, ставших жертвами автомобильных и авиационных катастроф, употребляли огурцы в пищу в течение двух недель, предшествовавших фатальному несчастному случаю.

93,1% всех малолетних преступников происходят из семей, где огурцы потребляли постоянно.

Есть данные и о том, что вредное действие огурцов сказывается очень долго: среди людей, родившихся в 1839 г. и питавшихся впоследствии огурцами, смертность равна 100%. Все лица рождения 1869...1879 гг. имеют дряблую морщинистую кожу, потеряли почти все зубы, практически ослепли (если болезни, вызванные потреблением огурцов, не свели их уже давно в могилу). Еще более убедителен результат, полученный известным коллективом ученых-медиков: морские свинки, которым принудительно скармливали по 20 фунтов огурцов в день в течение месяца, потеряли всякий аппетит!

Единственный способ избежать вредного действия огурцов – изменить диету. Ешьте, например, суп из болотных орхидей. От него, насколько нам известно, еще никто не умирал.

Напечатано в журнале «The Journal of Irreproducible Results».

Проникновение мегамолекулярных организмов через стеклянные и металлические фильтры

А. Кон и Б. Блэк

В микробиологии хорошо известно, что различные фильтры задерживают бактерии и вирусы, хотя размеры их много меньше среднего радиуса пор этих фильтров. Для некоторых микроорганизмов справедлив, очевидно, обратный закон. Повседневный человеческий опыт пребывания в переполненных тесных помещениях – аудиториях, универмагах, мебельных магазинах и так называемых малогабаритных кухнях – доказывает, что, обладая развитым скелетом, женщины могут проникать через проходы и лазы очень малого поперечного сечения. В старых источниках зарегистрирован даже случай проникновения верблюда через игольное ушко («Новый завет», от Луки, 18:25.).

Проводить эксперименты на человеке дорого, и осложняется это многочисленными психологическими, социологическими и моральными факторами. Поэтому мы сосредоточили свое внимание на животных.

Первые наблюдения были сделаны на змеях; доказано, что они могут глотать животных, которые не пролезают в рот. Поскольку змей достать нелегко и работа с ними имеет некоторые специфические трудности (уход, содержание и т.д.), то большинство наших последующих наблюдений было сделано на мышах. Мышей легко кормить и разводить; их сегрегация, интеграция и дискриминация не представляют никаких проблем, если даже различные породы мышей помещены в одной комнате или в одной клетке.

Для изучения проницаемости различных материалов по отношению к мышам были получены следующие данные: размер пор менялся от 0,1 ангстрем в стекле и листовом металле до четверти дюйма в экранах из металлической сетки. Мыши помещались в клетки из этих материалов на различные периоды времени.

Материал считался «мышепроницаемым», если наблюдалось одно из следующих трех явлений.

а) При первоначальном числе мышей x, помещенных в данный контейнер, по окончании срока наблюдения в нем оказалось x– 1 или x– 2 особей (для предотвращения случаев каннибализма были приняты специальные меры).

б) Отчетливо помеченная мышь (применялась биологическая маркировка шерсти) оказывалась на полу лаборатории (или коридора) за пределами контейнера, который был зарегистрирован как ее место пребывания.

в) Дикая серая мышь появлялась внутри сосуда, первоначально заселенного исключительно белыми мышами.

Ван Хелмонт докладывал, что однажды из плотно закрытого керамического бака, содержавшего старое тряпье и проросшее зерно, была извлечена мышь, достигшая половой зрелости, хотя в начале эксперимента ее там не было. Результаты наших собственных экспериментов (основанные главным образом на выполнении критерия «в») показывают, что Ван Хелмонт не предусмотрел мышепроницаемость керамического контейнера, а поры в нем существенно крупнее, чем в стеклянных банках, которыми пользовались мы.

В настоящее время мы проводим эксперименты в более широком масштабе с использованием слонов и жирафов. Было показано, что бактериологический фильтр Зейца, а также огнеупорное стекло не могут удержать слона.

Авторы желают выразить свою благодарность И.М. Декстеру, заведующему виварием, чья помощь внесла огромный вклад в успех наших исследований.

Напечатано в журнале «The Journal of Irreproducible Results», 15 (1966).

А. Кон – профессор Университета в Нью-Джерси, член редколлегии журнала «The Journal of Irreproducible Results». А. Блэк – профессор Университета в Нью-Джерси.