Текст книги "Математика от А до Я: Справочное пособие (издание третье с дополнениями)"

Автор книги: Алексей Романов

Соавторы: Руслана Дегтерева,Геннадий Леонов,Анна Попова
сообщить о нарушении

Текущая страница: 2 (всего у книги 17 страниц) [доступный отрывок для чтения: 7 страниц]

1.2. Сценарии развития аварийных ситуаций и их хронология

Возникновение и развитие аварийных ситуаций на различных промышленных объектах могут происходить по бесконечному количеству вариантов, и полное их рассмотрение, учет и обсуждение не имеет смысла. Целесообразно рассмотрение происшествий ограничить априори введением какого-либо критерия, уровня или ограничения.

В настоящее время не решено [1], является ли индивидуальный или социальный риск той величиной, на основании которой следует принимать решение о приемлемости той или иной технологии с позиций безопасности.

До сих пор нет однозначного ответа на вопрос: допустима ли катастрофическая авария, если ее вероятность мала, и можно ли при ее угрозе эксплуатировать промышленный объект? И хотя с моральных позиций любой (положительный или отрицательный) ответ на этот вопрос представляется спорным, для целей практики анализ сценариев наихудших или максимально возможных аварий вполне оправдан, т.к. его результаты дают информацию для подготовки к действиям в чрезвычайных ситуациях. Такой анализ определяет возможные затраты сил и средств для защиты персонала, населения и окружающих природных сред.

Кроме того, целесообразно разработать и подробно исследовать последствия наиболее вероятной аварии для данного предприятия или промышленного объекта, основываясь на анализе статистических данных по происшествиям, последовательности (хронологии) их развития и заключениях экспертов.

Последовательности развития гипотетических аварий, схема которых приводится на Рис.1.2, показывают, что практически при любой крупной аварии на промышленном объекте возникает очаг загорания, обусловленный большим количеством горючих материалов, имеющихся на производстве.

Известно, что при воспламенении горючих газовых или пылегазовых смесей по ним распространяется пламя, представляющее собой супер-позицию химических реакций с выделением большого количества тепла. При детонации эти процессы происходят чрезвычайно быстро, что приводит к образованию взрывной волны; при сравнительно медленном горении большинства пылегазовых горючих смесей взрывная волна не возникает. Поэтому, несмотря на широкое распространение в литературе такого названия, взрыва как такового не возникает. Подобное ошибочное толкование горения (без детонации) газообразных и парообразных веществ связано, очевидно, с видимыми результатами этого явления, приводящего к повышению давления в помещениях и к их частичному или полному разрушению. Поэтому, если не разделять процессы горения, носящего по своим внешним проявлениям характер взрыва, и собственно разрушения оболочек, а рассматривать все явление в целом, то такую аварийную ситуацию можно считать взрывом.

Рис.1.2. Схема хронологии развития аварий.

Таким образом, называя горючие газообразные и парообразные вещества, а также пылегазовые смеси взрывоопасными, а их горение – взрывом, следует помнить об условности этих терминов. На практике часто невозможно с полной уверенностью идентифицировать горение и взрыв, а также установить последовательность этих событий. Следует отметить, что вероятность пожара после взрыва очень велика. Реализация взрыва после пожара или пожара после выброса токсического вещества в атмосферу в заметной степени обусловлены термодинамическими характеристиками рабочих тел, их физическим состоянием, наличием доступа окислителя и т.п. В любом случае, как это следует из схемы Рис. 1.2, авария на крупном промышленном производстве приводит к выбросу в окружающую среду токсических веществ

1.3. Математическое моделирование атмосферных выбросов

В настоящее время усилиями ученых всего мира создан единый фонд моделей процессов, протекающих в живой и неживой природе. Эти модели, как правило, основываются на небольшом числе фундаментальных принципов, связывающих воедино разнообразные факты и представления естественных |наук. Каждая модель в этом фонде занимает определенное место, установлены пределы ее применимости и связь с другими моделями. Наличие такого фонда моделей придает уверенность исследователям при их использовании в практической деятельности – ведь каждая из этих моделей благодаря связям с другими моделями опирается не столько на специфическую проверку ее самой, сколько на весь практический опыт человечества. Для каждого конкретного объекта в этом фонде можно выбрать наиболее подходящую модель или модифицировать ее из близких по характеру моделей.

Применительно к задачам охраны окружающей среды развитость теорий возникновения и трансформации загрязняющих веществ в природных средах, проявившая себя в наличии грандиозного фонда природных процессов, с одной стороны, определяет высокую эффективность использования математических моделей и методов в инженерной практике, а с другой стороны – дает исследователям единую картину окружающего мира.

В целом основу конструктивного подхода к проблеме взаимодействия человека с природой дает моделирование (в частности, математическое) в сочетании с целенаправленными экспериментальными исследованиями. Загрязнение природных сред – одно из наиболее типичных проявлений такого взаимодействия.

Множество факторов, которое необходимо учитывать в моделях, находится на стыке ряда исследовательских программ [18-23], реализуемых в рамках наук о Земле. Комплексный характер подобных программ и наличие сложных прямых и обратных связей между гидрометеорологическими процессами, загрязнением природных сред, биосферой активно стимулируют разработки теоретических основ и системной организации математических моделей. На этом более высоком уровне системная организация оперирует с «простейшими» моделями как с элементарными объектами.

Применительно к математическому моделированию процессов возникновения и развития в атмосфере аварийных выбросов загрязняющих и токсичных веществ будем исходить из моделей физических процессов. К ним относятся модели гидротермодинамики атмосферы различных пространственно-временных масштабов, а также модели переноса и трансформации примесей, различные способы параметризации и т.п. В литературных источниках имеется достаточно много подобных разработок [21-23]. Их физический смысл и различия между ними зависят от конкретной постановки задач. В любом случае применительно к решению задачи методами численного моделирования исходят из понятий функций состояния и параметров.

Для удобства и краткости изложения воспользуемся операторной формой [19]. Обозначим векторную функцию состояния через  . К числу ее составляющих относятся поля гидрометеорологических элементов и концентраций загрязняющих примесей.

Вектор параметров обозначим  . Параметрами являются коэффициенты уравнений, параметры области интегрирования D_t сеточной области D^h_t , области размещения наблюдательных систем D^m_t , начальные значения функций состояния, распределения и мощности источников тепла, влаги и других примесей и компонентов.

В операторном виде математическая модель описываемого процесса имеет следующий вид:

Здесь:

 – нелинейный дифференциальный оператор матричной структуры, действующий на множествах функций  и  ;

Q(D_t) – пространство функций состояния, удовлетворяющих граничным условиям;

R(D_t) – область допустимых значений параметров;

В – диагональная матрица, в которой все или часть элементов могут быть нулями;

– источники;

 – , где D – область изменения пространственных переменных;

 – интервал изменения времени t.

Входящий в соотношение (1.1) оператор  – определяется уравнениями гидротермодинамики системы атмосфера – почва – вода, переноса и трансформации примесей, а также условиями на границах раздела.

Граничные и начальные условия записываются для конкретного физического содержания модели.

В частности, для математической модели переноса примесей в атмосфере, которая входит в состав уравнения (1.1) в качестве составной части, получаем уравнение

Эта модель учитывает процессы возможной трансформации веществ, турбулентного обмена и обменных процессов между природными средами: водой, воздухом и почвой.

В соотношении (1.2):

 – концентрация примесей;

 – вектор скорости с компонентами u,v,w в направлении пространственных координат  соответственно;

μ и ν – коэффициенты турбулентности в горизонтальных (x₁,x₂) и вертикальном (х₃ = z) направлениях;

индексом s отмечены операторы, действующие в горизонтальных направлениях;

 – операторы трансформации примесей;

 – источники примесей (одновременно учитываются источники естественного и антропогенного происхождения).

Отметим, что операции с вектором  реализуются покомпонентно, т.е. уравнение (1.2) представляет собой систему n уравнений в частных производных. Оператор  – в общем случае нелинейный. Он определяет скорость изменения концентраций c_i за счёт химических и фотохимических реакций. Скорости вертикального движения частиц (оседания или всплытия) учитываются функцией w. Примеси – многокомпонентны, количество компонент – входной параметр модели. На практике параметр модели определяется количеством химических веществ, участвующих в реакциях.

Модель дополняется начальными и граничными условиями:

Здесь:

R₁ и R ₂ – некоторые операторы;

 – источники и стоки примесей на верхней и нижней границах области D.

Для глобальной модели задаются условия периодичности всех функций на поверхности сферы, а для моделей на ограниченной территории – условия на поля концентраций на боковых границах области D_t .

Процессы взаимодействия примесей с подстилающей поверхностью, включая обменные процессы между воздухом, водой, почвой и растительностью, описываются оператором . Причем вектор концентраций  включается в вектор-функцию состояния системы в целом, а коэффициенты уравнений (1.2) и граничных условий (1.4), (1.5), а также начальные условия (1.3), функции источников  и константы скоростей газофазных реакций в операторе  включаются в вектор параметров.

Отметим, что в вычислительных моделях [19] используется расширительное понятие параметров, включая в их число не только численные значения некоторых величин, но и алгоритмы их вычисления. Тогда в число параметров попадают схемы реакций, алгоритмы вычислений радиационных потоков тепла, коэффициентов турбулентного обмена, а также коэффициентов в моделях взаимодействия воздушных масс с подстилающей поверхностью.

Развитием представленных здесь подходов для построения дискретных аналогов моделей и вычислительных алгоритмов применяются вариационные принципы [19], использование которых дает качественно новую информацию о поведении математической модели.

Очевидно, что в процессе численного моделирования не должен потеряться смысл, заложенный в исходных постановках задачи, а результаты вычислений должны соответствовать реально протекающим процессам.

При решении практических задач всегда остро стоит проблема задания входных параметров и начальных данных, информация о которых, как правило, является отрывочной и неполной. Поэтому использование многомерных и многокомпонентных моделей, создавая иллюзию детального рассмотрения процесса, не способно выдать результаты, точность которых превышает точность исходных постановочных параметров. Каждая математическая модель только тогда может считаться состоявшейся, когда проведена оценка достоверности результатов ее использования.

1.4. Типизация выбросов загрязняющих веществ в атмосферу

Выбросы загрязняющих и токсичных веществ в атмосферу могут быть типизированы по разным параметрам :

– по времени формирования выброса (мгновенные, кратковременные, продолжительные);

– по пространственной протяженности выброса (локальные, компактные и протяженные);

– по степени турбулизации вещества (турбулентные и ламинарные);

– по наличию вещества в разных фазах (плазменные, газообразные или парообразные, жидкофазные или твердофазные, многофазные);

– по химической активности вещества (химически активные и пассивные).

В «чистом» виде при таких типизациях выбросы токсикантов встречаются сравнительно редко; обычно антропогенный выброс представляет собой комбинацию типов разных видов. Например, струйные течения (струи) включают в себя сочетание пространственно-временной типизации выбросов вдобавок к другим типизациям в зависимости от динамической и химической активности вещества, а также наличия одной или нескольких фаз состояния вещества.

Термики можно определить как компактные вихревые выбросы вещества разной степени химической активности, клубы – как турбулентные компактные объемы и т.п.

В терминах временной типизации, являющейся в наибольшей степени инструментально обоснованной, выбросы условно можно подразделить на мгновенные, продолжительные и кратковременные. Рассмотрим условия формирования и специфику таких выбросов.

Мгновенные выбросы возникают при чрезвычайно быстром выделении энергии и (или) вещества в окружающее пространство. При этом выброс формируется в виде тора с циркуляционным движением вещества относительно направления выхода рабочего тела. Подобные выбросы возникают при взрыве ядерного заряда, емкостей с углеводородным топливом в газовой фазе или перегретым паром, при взрыве детонирующего химического взрывчатого вещества (ВВ) и т.п. Распределение физических характеристик в таком выбросе имеет существенно неоднородный характер, и появившийся после взрыва тороидальный объем под действием сил плавучести начинает двигаться в атмосфере.

Продолжительные выбросы формируются в виде протяженных образований (струй) – объемов с неоднородным вдоль течения распределением динамических, тепловых и концентрационных характеристик. В зависимости от соотношения плотности вещества струи и вещества окружающего воздуха они либо всплывают, либо опускаются. Расчет характеристик струйных течений является хорошо изученным вопросом.

Кратковременные выбросы возникают в виде компактных клубов и термиков. Клубом называется турбулентный изолированный объем хаотически движущихся вихрей разного размера и ориентации. Растянутость по времени выхода рабочего тела и высокий уровень его турбулентности приводят к тому, что к моменту окончания выхода загрязняющих веществ в атмосферу формируется ограниченный объём практически однородный по составу с относительно небольшими отличиями размеров в разных направлениях. Термик отличается от клуба наличием кругового движения вещества относительно направления его движения.

Следует подчеркнуть условность разделения источников по продолжительности выхода рабочего тела. Это касается четкой временной границы, отделяющей мгновенные выбросы от кратковременных. На практике случается, что выброс, происходящий короткое время, формирует практически однородное пространственное распределение массовых, термодинамических и концентрационных характеристик. Такой случай может реализоваться при малом отличии плотности рабочего тела от плотности окружающей среды (инжекция газа при Т = Const, «взрывающиеся проволочки» и т.п.). Основным критерием кратковременности выброса в любом случае следует считать после прекращения действия источника наличие сильно турбулизованного, а потому хорошо перемешанного вещества в компактном объеме.

Применительно к вопросам математического моделирования основной характеристикой выброса, определяющей его рассмотрение как физического объекта, является его фазовое состояние [73]. В зависимости от этого применяется эйлеров, либо лагранжевый подходы. В свою очередь типизация газопарообразных выбросов по пространственно-временной и турбулентной характеристикам также важна, так как она определяет характер уравнений сплошной среды, описывающих возникновение и эволюцию подобных образований – либо это уравнения, характеризующие ламинарное поступательное или вращательное движение сплошной среды, либо уравнения типа Навье-Стокса, описывающие движение турбулентной компактной или протяженной области.

Выбросы загрязняющих и токсичных веществ, связанные с деятельностью человека, по характеру возникающего источника целесообразно подразделить на твердофазные (жидкофазные) и газообразные (парообразные). Причем для описания движения твердой (жидкой) примеси используются уравнения баллистики, для газовой или паровой – уравнения сплошной среды. В дальнейшем для сокращения записи будем указывать только газообразные и твердофазные выбросы, имея в виду, что все получаемые результаты пригодны и для паровых и жидких фаз, соответственно.

Отметим, что антропогенные твердофазные выбросы имеют преимущественно взрывное происхождение в отличие от парогазообразных, которые возникают от многих причин: при взрыве, испарении, горении и др. Наиболее важные для практических приложений газопаровые выбросы реализуются в виде струй, термиков и клубов – турбулизованных объемов, термодинамические и концентрационные характеристики которых отличаются от соответствующих характеристик окружающей среды.

Необходимо отметить, что предлагаемая типизация выбросов по фазовому характеру создаваемых ими источников загрязнений объектов имеет универсальный характер, т. е. может быть применена и к радиационным, и к химическим авариям. В любом случае эти аварии приводят к поступлению в атмосферу определенных количеств хорошо перемешанных загрязняющих веществ в парогазовой фазе, либо твердых (жидких) частиц. В конечном счете при разбавлении в атмосфере аварийного парогазового выброса, либо выпадении твердофазного, формируются пространственное и наземное поля концентраций токсикантов.

Кратковременные твердофазные и газообразные выбросы, возникающие в атмосфере в результате быстрой трансформации внутренней энергии рабочего тела в другие виды энергии (в тепловую при горении, в кинетическую движущихся частиц при взрыве, в энергию фазовых переходов при испарении) представляют важное место в проблеме загрязнения окружающей среды антропогенными источниками. Твердофазные выбросы при этом представляют собой разлетающиеся с места взрыва куски химически не прореагировавшей части раздробленного рабочего тела (топлива, грунта, взорвавшегося объекта и т.п.), газообразные (парообразные) выбросы в виде объемов интенсивно турбулизованных продуктов детонации (испарения) в смеси с воздухом, возникающих после прекращения работы источника вещества и энергии.

Разлет раздробленной детонацией твердой фазы взрыва происходит независимо от механических и физических характеристик подрываемых объектов. При любом взрывообразном выделении энергии ВВ, размещенного на подстилающей поверхности или на некотором возвышении, будет происходить образование взрывной воронки, ударных воздушной и сейсмических волн, дробление грунта и ВВ, фрагментация подрываемого изделия или объекта, а также образование газогрунтового и первичного пылегазового выбросов.

При взрыве ВВ в атмосфере или на подстилающей поверхности разлет твердой фазы взрыва и ее выпадение на эту поверхность определяется основными соотношениями сохранения макроскопических характеристик подрываемого вещества и вовлеченных в этот процесс объектов (грунта, воздуха и т.п.), а также уравнениями баллистики. Такими соотношениями являются уравнения сохранения массы вещества и массы примеси в выбросе, уравнение сохранения количества движения разлетающегося вещества, а также уравнение сохранения энергии и уравнение состояния в форме динамического равновесия давлений атмосферного воздуха и давления газообразной части сформировавшегося выброса.

Параметры газообразного или парообразного выброса могут быть получены при использовании соотношений сохранения макроскопических характеристик вещества, осредненного по объему выброса. Эти соотношения выражают собой законы сохранения массовых, динамических и энергетических параметров вещества турбулентного объема в процессе его формирования с «подпиткой» от источника вещества и энергии при наличии химических реакций и фазовых переходов. Они в конечно-разностной форме в общем виде записываются так [4, 41– 46]:

М₂ =М₁ +Q₀Δt + ESΔt ,

M_{2 i}=M_{1 i}+Q₀C_i0Δt + ESC_ieΔt ,

M₂V₂ = M₁V₁ + g(ρ_e – ρ)νΔt ,

P = P_e ,

M₂Ξ₂ = M₁ Ξ₁ + Q₀q_TΔt + ESΞ_eΔt + ΔQ_ФП + W_jq_xΔt – HΔt где:

M, M_i – масса вещества выброса и масса i-ой примеси в нем,

Q₀ – расходная функция формирующегося выброса,

С_i – массовая концентрация i – ой примеси, С_i =М_i/М ,

Ξ, Ξ_е – полные энергии единицы массы вещества выброса и окружающей среды,

р, v,V,S – плотность выброса, его объем, скорость его движения и площадь вовлечения Е в него окружающей среды,

g – ускорение земного притяжения,

q_T – теплотворная способность топлива,

Р – давление газа или пара,

W_i– скорость образования i -ой примеси в результате химических реакций с теплотой образования q_x в объеме выброса,

ΔQ_ФП – теплота фазовых переходов (парообразования или конденсации для жидкой испаряющейся части выброса),

Н – потери энергии выброса (излучение, контакт с подстилающей поверхностью, с выпадающей примесью и т.п. ).

Индексы «1» и «2» относятся к соответствующим моментам времени t₂ = t₁ +Δt , индексы "0" и "е" относятся к параметрам истечения и параметрам окружающей среды.

При рассмотрении струйного течения конечноразностные уравнения записываются относительно поточных характеристик: расхода вещества и примеси, потоков количества движения и энергии.

Полученные нами [41, 43-46, 73] конечно разностные уравнения при устремлении временного интервала Δt к нулю преобразуются в дифференциальные. Их решение при задании начальных условий, параметров окружающей среды и характеристик объекта (геометрических и термодинамических) позволяют решать задачу нахождения геометрических, динамических, тепловых и концентрационных характеристик турбулентного объема (выброса), движущегося в произвольной окружающей среде.