Текст книги "10 гениев науки"

Автор книги: Александр Фомин

сообщить о нарушении

Текущая страница: 3 (всего у книги 34 страниц) [доступный отрывок для чтения: 13 страниц]

Пифагорейский союз

Мы убедились в том, что Пифагор был лидером некоего религиозно-философского союза, обладавшего, хотя бы на протяжении определенного времени, довольно большим политическим влиянием. Рассмотрим подробнее принципы организации этого союза.

Пифагорейский союз не был чисто политическим объединением или партией. Точнее всего тип организации, созданной Пифагором, определяет термин «гетерия» – тайное политическое объединение. Гетерия не имеет четкой структуры и внутреннего распределения должностей и обязанностей. Часто основу гетерии составляют родственники ее основателя. Сам Пифагор, по всей видимости, никаких государственных должностей не занимал. Он реализовывал те или иные политические замыслы через пифагорейцев, занимавших высокое положение в разных городах, прежде всего в Кротоне. Религиозно-философская основа союза требовала некоего периода обучения. Вот как Ямвлих описывает этапы, через которые проходили новые члены союза.

«И когда молодые люди приходили к нему и выражали желание учиться у него, он соглашался не сразу, но лишь после того, как устраивал им проверку и испытание и прежде всего спрашивал, как они себя ведут с родителями и остальными родственниками. Затем он смотрел, смеются ли они не вовремя, или молчат, или слишком много разговаривают. Он также рассматривал некоторые их стремления, знакомых, с которыми они общались, и их отношения с этими знакомыми, и чем они большей частью занимались днем, и почему им случалось радоваться или огорчаться. Кроме того, он наблюдал их внешний вид, и походку, и все телодвижения в целом. Изучая черты, которые были выражением их характера, он принимал внешние проявления за признаки скрытого в душе нрава. Того, кого он так экзаменовал, он держал в ожидании еще три года, проверяя, много ли в нем твердости и истинной любви к учению и достаточно ли он пренебрегает общественным мнением, чтобы презирать почести. После этого он предписывал пришедшим к нему пятилетнее молчание, испытывая их способность к самоконтролю, так как владение речью – наиболее трудный вид самоконтроля, как открыто нам теми, кто учредил мистерии. В это время то, что было у каждого, то есть имущество, переходило в общую собственность и передавалось специально назначенным для этого ученикам, называвшимся «политиками», которые имели опыт в ведении хозяйства и были законодателями. Если их признавали достойными стать причастными к учению на основании испытания их образа жизни и других нравственных качеств и после пятилетнего молчания, то они, наконец, становились эсотериками и, допущенные за занавес, слушали Пифагора, находясь рядом с ним, и смотрели на него. До этого долгое время, пока их нравы были предметом испытания, они вникали в его учение, просто слушая Пифагора по другую сторону занавеса и не видя его. Если же они не выдерживали испытания и изгонялись, то получали вдвое больше имущества, чем внесли, а «совместно слушающие» (так называли окружение Пифагора) насыпали им, как умершим, надгробный холм. Встречаясь с ними, они вели себя так, как будто перед ними кто-то другой, и говорили, что умерли те, которых они выдумали сами себе в надежде, что благодаря учению они станут прекрасными и добрыми. Неспособных к учению они считали неорганизованными и, так сказать, бесцельными и бесплодными. Если же после вынесения суждения об ученике на основании его внешнего вида, походки, других его телодвижений и состояний, после того как он уже подавал надежды, после пятилетнего молчания, после священнодействий в столь многих науках, после стольких важных посвящений и очищений души во многих науках, благодаря которым души у всех становились прозорливыми и исключительно чистыми, его все же признавали инертным и неспособным к учению, то поставив ему обелиск и могильный памятник там, где он учился (как говорят, они так поступили с Периллом из Фурий и Килоном – вождем из Сибариса, которых признали негодными), его изгоняли из школы, наделив в изобилии золотом и серебром (ибо у них это было общим и находилось как общая собственность в распоряжении назначенных для этого людей, которых поэтому называли экономами). Если они потом по другому поводу встречали этого человека, они считали его совершенно не тем, кто в их глазах умер».

Таким образом, пифагорейский союз имел внутреннюю структуру и состоял из членов, находящихся на разных стадиях посвящения. Для перехода на более высокую стадию пифагореец должен был не только иметь «выслугу» лет, но и доказать свою пригодность: продемонстрировать интеллектуальные способности, умение слушать, преданность главе союза, умеренность в быту.

Жизнь пифагорейцев, по крайней мере в изложении биографов, подчинялась довольно строгому распорядку:

Прежде чем встать от сладостных снов, навеваемых ночью,

Думай, раскинь, какие дела тебе день приготовил.

Проснувшись, они проделывали мнемонические упражнения, а затем шли на берег моря встречать восход солнца, обдумывали дела предстоящего дня, после чего делали гимнастику и завтракали. Вечером совершалось совместное купание, прогулка, ужин, после чего возлияние богам и чтение. Перед сном каждый давал себе отчет о прошедшем дне, заканчивая его стихами:

Не допускай ленивого сна на усталые очи,

Прежде чем на три вопроса о деле дневном не ответишь:

Что ясделал? Чего не сделал? Что мне осталось сделать?

Большое внимание пифагорейцы уделяли медицине, психотерапии. Они разрабатывали приемы улучшения умственных способностей, умение слушать и наблюдать. Члены союза развивали память, как механическую, так и смысловую.

Пифагорейцы с равным усердием заботились и о физическом, и о духовном развитии. Именно у них родился термин «калокагатия», обозначавший греческий идеал человека, сочетающего в себе эстетическое (прекрасное) и этическое (доброе) начала, гармонию физических и духовных качеств.

Учение Пифагора передается в основном в виде акусм, или «знаков». Исследователи делят акусмы на три типа. Акусмы первых двух типов излагают философско-религиозные доктрины в виде ответов на целый ряд вопросов. Первый тип – на вопросы типа «что такое.?», например что такое острова блаженных? – Солнце и Луна. – Что такое планеты? – Псы Персефоны. – Что такое море? – Слезы Кроноса. Акусмы второго типа отвечают на вопросы типа «что самое.?». – Что самое прекрасное? – Гармония. – Что самое мудрое? – Число. Что самое сильное? – Разум. Наконец акусмы третьего типа представляют собой очень внушительный (более ста пунктов) набор религиозных запретов и предписаний, которым нужно следовать в повседневной жизни. Они очень разнообразны и касаются практически всех стандартных моментов жизни человека. Вот только несколько примеров:

«Знаки у него были такие: огонь ножом не разгребать; через весы не переступать; на хлебной мере не сидеть; сердце не есть; ношу помогать не взваливать, а сваливать; постель держать свернутой; изображения бога в перстне не носить; горшком на золе следа не оставлять; малым факелом сиденья не осушать; против солнца не мочиться; по неторным тропам не ходить; руку без разбора не подавать; ласточек под крышей не держать; кривокогтых не кормить; на обрезки ногтей и волос не наступать и не мочиться; нож держать острием от себя; переходя границу, не оборачиваться. Этим он хотел сказать вот что. Огонь ножом не разгребать – значит, во владыках гнев и надменный дух не возбуждать. Через весы не переступать – значит, равенства и справедливости не преступать. На хлебную меру не садиться – значит, о нынешнем и будущем заботиться равно, ибо хлебная мера есть наша дневная пища. Сердца не есть – не подтачивать душу заботами и страстями. Уходя на чужбину, не оборачиваться; расставаясь с жизнью, не жалеть о ней и не обольщаться ее усладами».

Современные исследователи полагают, что акусмы первых двух типов могут принадлежать непосредственно Пифагору или в такой форме передавать его философские идеи. Что же касается акусм третьего типа, то считается, что они появились уже после погромов пифагорейских общин. Возможно, что таким образом оставшиеся в живых члены союза пытались сохранить религиозное учение. При этом вызывает сомнение, что находились люди, реально следовавшие такому количеству бытовых предписаний. Что же касается толкований, придающих акусмам метафорический смысл, то они, скорее всего, появились уже в период становления неопифагореизма. Скорее всего, члены союза следовали лишь небольшому числу запретов и правил, установленных еще Пифагором и неразрывно связанных с его философией и религиозными взглядами. Например, почти наверняка реально существовал запрет на бобы, который, согласно Порфирию, обосновывался следующим образом:

«Бобов он запрещал касаться, все равно как человеческого мяса. Причину этого, говорят, объяснял он так: когда нарушилось всеобщее начало и зарождение, то многое в земле вместе сливалось, сгущалось и перегнивало, а потом из этого вновь происходило зарождение и разделение – зарождались животные, прорастали растения, и тут-то из одного и того же перегноя возникли люди и проросли бобы».

Биографы также сообщают, что все члены пифагорейского союза делились на «математиков», которые занимались изучением наук и философии, и «акусматиков» – просто следующих приписываемым Пифагору жизненным наставлениям. Современные исследователи, однако, не доверяют этой информации. Распространено мнение о том, что деление ранних пифагорейцев на две упомянутые группы в действительности не существовало.

Также сомнения вызывает тот факт, что пифагорейцы сохраняли в секрете доктрины своего учения. Возможно, биографы наделили пифагорейский союз секретностью. Так они могли пытаться объяснить отсутствие в ранних источниках той информации о Пифагоре и его взглядах, которая не соответствовала действительности и была приписана более поздними авторами.

Религиозные и философские воззрения Пифагора и его последователей

Конечно же, довольно трудно провести четкую грань между религиозными, философскими и научными взглядами Пифагора и его последователей, ведь пифагорейцы рассматривали все эти аспекты учения как единое целое. Тем не менее, мы попытаемся коротко, поскольку это не является основной темой нашей книги, изложить основы пифагорейской философии и религии.

Сразу следует оговориться, что и в этом вопросе, как и в других аспектах деятельности, далеко не все понятно, а именно: не всегда можно установить, какие именно доктрины принадлежали Пифагору и ранним пифагорейцам, а какие были приписаны им позже. Самым впечатляющим в этом смысле примером является один из основных постулатов, авторство которых якобы принадлежит пифагорейцам. Речь идет об утверждении «Все есть число».

Вот как, согласно Диогену, пифагорейцы описывали строение мира:

«Начало всего – единица; единице как причине подлежит как вещество неопределенная двоица; из единицы и неопределенной двоицы исходят числа; из чисел – точки; из точек – линии; из них – плоские фигуры; из плоских – объемные фигуры; из них – чувственно-воспринимаемые тела, в которых четыре основы – огонь, вода, земля и воздух; перемещаясь и превращаясь целиком, они порождают мир – одушевленный, разумный, шаровидный, в середине которого – Земля; и Земля тоже шаровидна и населена со всех сторон. Существуют даже антиподы, и наш низ – для них верх».

Порфирий дополняет это описание геометрическим выражением чисел. Единица геометрически представлялась в виде точки, двойка – линии, тройка – плоскости, четверка – в виде объемного тела (с ее помощью можно построить тетраэдр).

Долгое время эти положения считали основой пифагорейской философии. Но современные исследователи полагают, что эта точка зрения по меньшей мере спорна. Дело в том, что теорию о численном начале всего сущего пифагорейцам приписал Аристотель. Других подтверждений того, что Пифагор и его последователи придерживались такой доктрины, нет, а в свидетельствах Аристотеля есть основания сомневаться.

Но если такая доктрина и существовала, можно рассматривать разные ее толкования. В своей книге «Пифагор и его школа» Л. Я.Жмудь пишет: «Одно дело утверждать, что чувственно воспринимаемые вещи состоят из единиц, другое – верить, что все в мире устроено в согласии с числовым принципом, и третье – искать в природе конкретные числовые зако номерности».

Также существует мнение, согласно которому Пифагор не навязывал своим последователям тех или иных философских взглядов. В пользу такой точки зрения свидетельствуют серьезные различия между взглядами наиболее известных философов-пифагорейцев.

Тем не менее, мы считаем необходимым дать краткое описание взглядов пифагорейцев в таком виде, в котором они дошли до нас.

Единица (Монада) – начало всех чисел и вещей, символ божества, божественное начало сущего. Двойка (Дуада) – начало любого разделения, противоречия, изменения, олицетворение материального начала. Дуада считалась нечистой. Тройка (Триада) – первое порождение Дуады. За Триадой следует весь ряд чисел. Все вещи определены тремя: началом (прошлым), серединой (настоящим) и концом (будущим).

Особое значение придавалось Четверице (Тетрактиде). Она считалась священным числом. Тетрактида выражалась как сумма первых четырех чисел: 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Ряд чисел от 1 до 10 описывал этапы сотворения Вселенной. Как Тетрактида состоит из 4-х первых чисел, так и все в мире состоит из 4-х элементов: 4 сезона в году, 4 стороны света, 4 стихии. Кроме того, человек, который занимается счетом, доходя до 10, как бы начинает счет сначала. Главной целью учения пифагорейцы считали познание Четверицы.

Повторившись, что границу между философией и религией пифагорейцы не проводили, перейдем к вопросам религиозного характера. Достоверно известно, что основой религиозных воззрений Пифагора была вера в переселение душ, или «метемпсихоз».

«О себе он говорил (по словам Гераклида Понтийского), что некогда он был Эфалидом и почитался сыном Кермеса; и Гермес предложил ему на выбор любой дар, кроме бессмертия, а он попросил оставить ему и живому и мертвому память о том, что с ним было. Поэтому и при жизни он помнил обо всем, и в смерти сохранил ту же память. Впоследствии он вошел в Евфорба, был ранен Менелаем; и Евфорб рассказывал, что он был когда-то Эфалидом, что получил от Кермеса его дар, как странствовала его душа, в каких растениях и животных она оказывалась, что претерпела она в Аиде и что терпят там остальные души. После смерти Евфорба душа его перешла в Гермотима, который, желая доказать это, явился в Бранхиды и в храме Аполлона указал щит, посвященный богу Менелаем, – отплывая от Трои, говорил он, Менелай посвятил Аполлону этот щит, а теперь он уже весь прогнил, оставалась только обделка из слоновой кости. После смерти Гермотима он стал Пирром, делосским рыбаком, и по-прежнему все помнил, как он был сперва Эфалидом, потом Евфорбом, потом Гермотимом, потом Пирром. А после смерти Пирра он стал Пифагором и тоже сохранил память обо всем вышесказанном» (Диоген Лаэртий).

Религия Пифагора не отвергала стандартного греческого многобожия, но из богов пифагорейцы больше всего почитали Аполлона. Учение Пифагора имело и свои нравственные аспекты. Каждый человек должен следовать таким правилам: беги от всякой хитрости, отсекай от тела болезнь, от души невежество, от утробы – роскошество, от города – смуту, от семьи – ссору. Вещей, к которым стоит стремиться и которых следует добиваться, на свете три: во-первых, прекрасное и славное, во-вторых, полезное для жизни, в-третьих, доставляющее наслаждение. Имеется в виду не пошлое и обманчивое наслаждение, не чревоугодие и сладострастие, а другое, направленное на прекрасное, праведное и необходимое для жизни. Наряду с почитанием богов утверждались социальные нормы: подчинение старшим, власти, формирование власти лучших представителей народа (аристократии).

Кроме того, возможно, существовал целый ряд религиозных запретов бытового плана, о которых мы писали выше. Дискуссионным является вопрос о запрете на употребление животной пищи и принесения в жертву животных. Свидетельства биографов по этому поводу ставятся под сомнения. Многие исследователи считают, что вегетарианство на самом деле не было присуще ранним пифагорейцам, а приписано им позже.

Научные достижения Пифагора и его школы

Теперь, собственно, настало время для того, чтобы перейти к описанию той сферы деятельности Пифагора, благодаря которой он и стал героем нашей книги. Но прежде, чем перейти к рассказу о научных достижениях пифагорейцев, следует обсудить еще один аспект взаимоотношений Пифагора и его учеников. Речь идет о вопросе, который вызывает у исследователей особый интерес. А именно: присваивал ли Пифагор себе научные достижения своих последователей и приписывали ли пифагорейцы свои открытия учителю. Казалось бы, этот вопрос несложен. Ямвлих пишет:

«У них также был замечательный обычай приписывать все Пифагору и нисколько не присваивать себе славы первооткрывателей, кроме, может быть, нескольких случаев. И действительно, про очень немногих пифагорейцев известно, что они были авторами сочинений».

Долгое время такая точка зрения на данный вопрос была общеизвестной. Но сейчас большинство ученых склоняются к тому, что Ямвлих дает ошибочную информацию. Дело в том, что никто, кроме него, не упоминает о таком обычае. Более того, принято считать, что книга «О пифагоровой жизни», из которой взята данная цитата, не содержит в своей основе каких-либо более древних, а значит – и более достоверных источников. Что же заставило Ямвлиха, жившего через 8 веков после Пифагора, сделать такой вывод? Скорее всего, на подобные мысли его натолкнули распространенные в то время произведения неопифагорейцев, которые приписывались непосредственно основателю учения. Ямвлих прекрасно понимал, что эти сочинения не могут принадлежать Пифагору, и, по всей видимости, сделал вывод о том, что традиция приписывать свои труды учителю бытовала и в раннепифагорейской школе.

При этом следует сказать, что приписываемые Пифагору сочинения начали появляться задолго до Ямвлиха, в III веке до нашей эры. Но эти работы не имели никакого отношения к тем или иным научным проблемам и касались философских, а по большей части – религиозных вопросов. Непосредственной информацией о том, что кто-то из ранних пифагорейцев приписывал свои открытия или работы Пифагору, нет. Поэтому современные исследователи имеют все основания для того, чтобы попытаться выделить из научных достижений пифагорейской школы часть, которая, скорее всего, принадлежала самому Пифагору. Сперва мы отдадим должное математике – науке, с которой имя нашего героя связывает большинство современников.

Долгое время господствовало мнение, что корни древнегреческой математики уходят в исследования древневосточных, египетских, шумерских и вавилонских авторов. Например, египтянам были известны многие теоремы, приписываемые Фалесу и Пифагору, а вавилоняне умели решать квадратные уравнения. Более того, информация о каких-либо математических изысканиях древних греков, производившихся до Фалеса и Пифагора, отсутствует. О восточных корнях своей науки говорили и сами греки.

Такая точка зрения распространена и до сих пор, но единственной не является. Дело в том, что математические знания вавилонян и египтян в основном сводились к решению исключительно утилитарных задач: составление календарей, землемерные работы, строительство, раздел имущества. При этом характер чисто теоретических исследований едва ли был присущ этой математике. Решение же практических вопросов на уровне «у Васи было 4 яблока…» наверняка имело место еще в доисторические времена. Переход к решению математических задач в общем виде, в отрыве от контекста, скорее всего, впервые осуществили и начали широко применять греческие ученые. Они же стали строить систему доказываемых математических положений, впервые применив дедуктивный подход к науке. Поэтому многие современные исследователи считают, что математика как наука зародилась именно в Греции. Также существует довольно серьезный довод в пользу того, что греки не использовали научные данные восточного происхождения. Банальный языковой барьер, который греки крайне редко старались преодолеть, изучая чужие языки, скорее всего, был для них серьезным препятствием. Ярким примером, подтверждающим нежелание греков изучать чужие языки и знакомиться с культурой других народов, являются «Начала» Евклида. Евклид большую часть своей жизни провел в Александрии Египетской. И тем не менее, в самом известном его труде собраны только результаты, полученные или изложенные его соотечественниками. Так или иначе, со времен Фалеса Милетского, предшественника и, возможно, учителя Пифагора, греческая наука развивалась относительно самостоятельно и независимо.

Первым греком, который стал известен своими математическими открытиями, был Фалес Милетский. Его, как и Пифагора, нередко называют родоначальником античной науки. Диоген Лаэртий пишет, что в молодости Фалес совершил поездку в Египет, где обучался астрономии и геометрии у жрецов. Разные авторы приписывают Фалесу доказательство нескольких теорем геометрии:

1 – диаметр делит круг пополам;

2 – в равнобедренном треугольнике углы при основании равны;

3 – вертикальные углы, образованные двумя пересекающимися прямыми, равны;

4 – треугольники равны, если равны два их угла и сторона.

Можно заметить, что эти теоремы вполне могли бы подтверждаться эмпирически, и их справедливость при взгляде на соответствующий чертеж очевидна. Тем не менее Фалес посчитал необходимым доказать их логическим путем. И в результате стал основателем дедуктивного метода в науке. Важно еще и то, что ни египтяне, ни вавилоняне в те времена не имели такого понятия, как величина угла. То есть смело можно считать, что теоремы, приписываемые Фалесу, не были заимствованы у ученых Востока.

Как мы уже писали, биографы называют Фалеса одним из учителей Пифагора. В достоверности этой информации можно сомневаться, но то, что Пифагор был знаком с математическими изысканиями Фалеса, сомнений не вызывает.

Пифагор открыл математические закономерности в музыке. Он обнаружил, что высота звука зависит от длины струны или флейты. Считается, что Пифагор определил отношения этих длин для трех гармонических интервалов. Если длины струн соотносятся как 2/1, то звуки, издаваемые ими, будут отличаться на октаву. Соотношению 3/2 соответствует квинта, 4/3 – кварта. Эксперимент, который помог обнаружить эти закономерности, производился с помощью монохорда. Этот однострунный музыкальный инструмент представлял собой струну, натянутую на линейку, имеющую 12 делений. Пифагор обнаружил, что свободная струна звучит созвучно половине струны (октава). Подобным образом были открыты и два других интервала. Возможно, это открытие основывалось на арифметической теории пропорций, начала которой, следовательно, были заложены ранее и, скорее всего, им же. Или же наоборот, теория пропорций стала непосредственным следствием музыкальных экспериментов. Важность этих опытов состоит не только и даже не столько в обнаружении тех или иных математических закономерностей. Здесь важнее то, что они стали, пожалуй, первыми экспериментами, продемонстрировавшими связь физических законов с законами математики.

Непосредственное указание на то, что именно Пифагор был создателем теории пропорций, есть и в комментариях к «Началам» Евклида Прокла – греческого философа и ученого V века нашей эры. Несмотря на то что Прокла от Пифагора отделяет 10 веков, к его информации можно относиться с большим доверием. Дело в том, что упомянутые комментарии содержат «Каталог геометров», составленный по материалам Евдема Родосского – философа IV века до нашей эры. Вот цитата из этого каталога:

«…Пифагор преобразовал философию геометрии, сделав ее формой образования свободного человека, рассматривая ее начала абстрактным образом и исследуя теоремы с нематериальной, интеллектуальной точки зрения. Он же открыл теорию пропорций и конструкцию космических тел (правильных многогранников, см. ниже)».

Пифагор знал три средние величины:

среднее арифметическое:

среднее геометрическое:

среднее гармоническое:

Вполне вероятно, что именно он придумал все эти величины или какие-то из них.

Исследования математических аспектов музыки, по свидетельствам Ямвлиха, привели Пифагора к открытию так называемой «музыкальной» пропорции:

То есть отношение ак среднему арифметическому аи bравно отношению среднего гармонического к b.

В частном виде, при экспериментировании с монохордом можно было получить такое выражение: 12/9 = 8/6. При этом 9 – среднее арифметическое 12 и 6, а 8 – среднее гармоническое. Дальше, скорее всего, были обнаружены и такие равенства: 2/1 = 3/2:3/4. Численно был выражен целый тон, как разница между квинтой и квартой: 3/2:4/3 = 9/8. Естественно, что еще Пифагор и его ученики придали обнаруженным закономерностям, кроме научного, и мистический смысл. Числа, с помощью которых можно было выразить музыкальные интервалы, составили тетрактиду. Вот пример того, как вместе с математической теорией музыки могла развиваться и теория пропорций.

Теперь подробнее рассмотрим теорему, названную в честь нашего героя. Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов двух катетов. И вавилоняне, и египтяне были знакомы с этим утверждением задолго до Пифагора и использовали его знание в практических целях. Конечно же, задаваясь вопросом о том, кто открыл теорему Пифагора, мы, прежде всего, интересуемся тем, кто ее доказал. Споры об этом не прекращаются до сих пор, и вряд ли исследователи когда-нибудь придут к единому мнению по данному вопросу. Сложность решения этой проблемы связана не только с якобы бытовавшей среди пифагорейцев традицией приписывать свои открытия Пифагору. В свидетельствах биографов встречаются противоречия, которые ставят под сомнение авторство Пифагора. Так, Диоген Лаэртий пишет:

В день, когда Пифагор открыл свой чертеж знаменитый,

Славную он за него жертву быками воздвиг.

Долгое время эта цитата считалась серьезным косвенным доказательством того, что на самом деле не Пифагор доказал теорему, названную его именем. Ведь такое свидетельство противоречит представлению о Пифагоре как о вегетарианце и факту, что он учил не приносить в жертву животных. Но, как мы уже писали выше, современные исследователи считают, что запрет на принесение в жертву животных, на самом деле, был приписан ученому позже. Поэтому в качестве серьезного возражения против авторства Пифагора такой довод рассматриваться не может. С другой стороны, есть косвенное подтверждение того, что именно Пифагор первым доказал знаменитую теорему. Дело в том, что ее первое доказательство вполне могло вытекать из той же самой теории пропорций. Предположительно оно могло выглядеть следующим образом.

  

Треугольники ABC, ABD и ACD подобны. Следовательно их стороны пропорциональны:

  

Следовательно:

АВ ²= BC*BDи АС ²= BC*DC

Сложив эти уравнения, получаем:

АВ ²+ АС ²= BC(BD + DC); АВ ²+ АС ²= ВС ²

Пифагор создал учение о четных и нечетных числах. Он дал определения этим видам чисел и исследовал их свойства. Историки математики считают, что приведенные ниже утверждения из 9-й книги «Начал» Евклида восходят к Пифагору и переданы практически в неизмененном виде.

21. Если складывается сколько угодно четных чисел, то целое будет четным.

22. Если складывается сколько угодно нечетных чисел, количество же их будет четным, то целое будет четным.

23. Если складывается сколько угодно нечетных чисел, количество же их будет нечетным, то и целое будет нечетным.

24. Если от четного числа отнимается четное, то остаток будет четным.

25. Если от четного числа отнимается нечетное, то остаток будет нечетным.

26. Если от нечетного числа отнимается нечетное, то остаток будет четным.

27. Если от нечетного числа отнимается четное, то остаток будет нечетным.

28. Если нечетное число, умножая четное, производит что-то, то возникающее будет четным.

29. Если нечетное число, умножая нечетное число, производит что-то, то возникающее будет нечетным.

30. Если нечетное число измеряет (является делителем) четное число, то оно будет измерять и его половину.

31. Если нечетное число по отношению к некоторому числу будет первым, то оно будет первым и по отношению к его удвоенному.

32. Из чисел, получаемых удвоением от двойки, каждое будет только четно-четным (см. ниже).

33. Если число имеет нечетную половину, то оно будет только четно-нечетным.

34. Если число не будет из получаемых удвоением от двойки и не имеет нечетную половину, то оно будет и четно-четным и четно-нечетным.

Терминология, используемая Евклидом, изложена в начале 7-й книги. Часть из используемых определений, по всей видимости, тоже восходит к Пифагору.

6. Четное число есть делящееся пополам.

7. Нечетное же – не делящееся пополам или отличающееся на единицу от четного числа.

8. Четно-четное число – есть четным числом, измеряемое четным числом (раз).

9. Четно же нечетное есть четным числом, измеряемое нечетное число (раз).

10. Нечетно-четное число есть нечетным числом, измеряемое четное число (раз).

11. Нечетно-нечетное число есть нечетным числом, измеряемое нечетное число (раз).

О том, что именно Пифагор занимался изучением свойств четных и нечетных чисел, свидетельствуют Аристотель и Аристоксен. Едва ли можно предположить, что эти ученые приписывали Пифагору «честь» открытия вполне очевидных истин. Здесь, как и в случае с теоремой Пифагора, заслугой, безусловно, является доказательства приведенных утверждений. Следовательно, ученый впервые применил дедуктивный подход к арифметике.

Единственное незначительное отличие, содержащееся в книге Евклида, состоит в способе доказательства приведенных утверждений. Евклид в данном фрагменте представляет числа в виде отрезков, а Пифагор и его последователи пользовались счетными камешками (псефами). В остальном доказательства, приводимые Евклидом, скорее всего, сходны с доказательствами Пифагора. Интересно, что в восходящем к Пифагору фрагменте «Начал» для некоторых положений даже применяется такой метод, как доказательство от противного. Открытие этого метода также вполне можно приписать Пифагору.

Исследования свойств четных и нечетных чисел стали первыми исследованиями в области теории чисел. Таким образом, нашего героя с полным правом можно назвать основателем этого раздела математики.

Во времена Пифагора и, скорее всего, им самим, также была разработана теория фигурных чисел. Эта теория стала результатом попыток найти взаимосвязь между числами и геометрическими фигурами. Здесь следует несколько подробнее рассмотреть методы счета, используемые пифагорейцами. Для вычислений, как мы уже говорили, они использовали счетные камешки. Их выкладывали на песке, а позже – на счетной доске (абаке) в виде геометрических фигур. Кстати, некоторые источники приписывают изобретение абака Пифагору. Интересно, что при таком взгляде на числа невозможно было представить ноль. Даже единицу считали не числом, а «числовым атомом», а другие числа считали множеством единиц, что и нашло свое отображение в пифагорейской философии.