Текст книги "Волчок и применение его свойств"
Автор книги: Александр Краснов
сообщить о нарушении
Текущая страница: 1 (всего у книги 4 страниц)
Александр Краснов
ВОЛЧОК И ПРИМЕНЕНИЕ ЕГО СВОЙСТВ
Введение
Волчок, кубарь, юла…
У кого из ребят не вызывала восхищения и любопытства эта забавная детская игрушка?
В представлении большинства взрослых волчок – тоже всего лишь занимательная игрушка. Очень немногие представляют ее значение для техники. А между тем волчок – важнейшая деталь ряда приборов и механизмов. Без этой «игрушки» многое в технике оказалось бы невозможным или трудно осуществимым.
Об основных замечательных свойствах волчка, о том, как волчок используется в технике, мы и расскажем в этой книжке.
Фуэтé, жонглирование, охота и волчок
Пытливо всматриваясь в происходящее вокруг нас, нетрудно обнаружить много удивительных явлений.
Все знают, например, что устоять на кончике пальцев одной ноги невозможно. Но одна из фигур балетного танца, так называемое фуэтé, казалось бы, опровергает это (рис. 1).
Рис. 1. Балерина, исполняющая фуэте.
Секрет раскрывается очень просто. В фуэте балерина быстро вращается. Опытные танцоры прекрасно знают, что такую фигуру тем легче выполнить, чем быстрее вращение.
Жонглеры нередко исполняют довольно оригинальный номер с ножами. Подбрасываемые один за другим, ножи сохраняют все время строго определенное положение в пространстве (рис. 2).
Рис. 2. Жонглирование быстро вращающимися ножами.
Внимательно понаблюдав за действиями жонглера, мы обнаружим, что подбрасываемые ножи быстро вращаются вокруг оси, проходящей вдоль лезвия и рукоятки. Попытавшись подбросить не вращающийся нож, мы заметим, что он падает беспорядочно.
Попробуйте удержать тарелку на тонком стержне.
Это легко удастся, если она быстро вращается. Опытный жонглер манипулирует сразу несколькими тарелками, вращающимися на стержнях (рис. 3).
Рис. 3. Жонглирование быстро вращающимися тарелками.
Удивительного успеха достигает жонглер с быстро вращающимся шаром, легко удерживая его на кончике пальца. Затем вдруг шар оказывается на туго натянутой веревке, свободно перемещаясь по ней. С веревки артист снимает шар кончиком меча; шар «пробегает» по лезвию, перекатывается на руки жонглера, затем на спину, со спины на другую руку.
Не успеют стихнуть аплодисменты, как артист приступает к «номеру», еще более изумительному по своему эффекту. Жонглер начинает вдруг бросать к зрителям одну за другой несколько шляп. Шляпы, пролетая вереницей над головами зрителей, постепенно «набирают высоту». Затем, к изумлению публики, описав небольшую дугу, они возвращаются в руки артиста.
Пристально наблюдая за полетом «удивительных» шляп, мы обнаружим, что жонглер бросает их не как придется. Шляпа быстро вращается и летит под определенным углом к горизонту, перемещаясь в воздухе подобно бумерангу.
Бумеранг – это один из видов метательного оружия древних народов Индии, Египта, Австралии. Это чрезвычайно любопытное оружие. Бумеранг летит к цели, описывая причудливую траекторию. Не попавший в цель и не встретивший препятствия, бумеранг неизменно возвращается к бросившему его охотнику.
Нетрудно сделать маленькую модель бумеранга из кусочка тонкого картона. Такой бумеранг надо «запускать» щелчком по его уголку, как показано на рис. 4.
Рис. 4. Бумеранг из картона.
Плоскости бумеранга или поля шляпы должны быть изогнуты подобно винту самолета. Кроме того, эти плоскости должны совпадать с направлением полета.
Летя в направлении броска, быстро вращающаяся шляпа и бумеранг как бы ввинчиваются в воздух. Сила сопротивления воздуха стремится поставить их под прямым углом к направлению полета. Но сила броска значительно больше этого сопротивления. Вот почему шляпа или бумеранг движется по восходящей линии, «с набором высоты».
Когда энергия, сообщенная при броске, иссякает, бумеранг, продолжая вращаться, начинает под действием силы тяжести падать.
Но и в этом случае быстро вращающийся бумеранг или шляпа из-за сопротивления воздуха не падает вертикально, а, скользя по воздуху, возвращается обратно.
Из этого примера мы убеждаемся, что шляпа и бумеранг устойчиво сохраняют свое положение в пространстве также вследствие вращения. Этот вывод подкрепляется еще более простым опытом с вареным куриным яйцом.
Как поставить куриное яйцо на заостренный конец, носок? Это можно сделать, лишь приведя яйцо в быстрое вращение. Вовсе не обязательно вращать его, поставив на носок. Лежащее на боку куриное яйцо, к нашему удивлению, при вращении вдруг «само по себе» встает на носок, сохраняя некоторое время это необычное положение.
Тела яйцеобразной формы подобны детской игрушке – волчку.
Неподвижный волчок также лишен устойчивости. Сколько бы мы ни пытались поставить его на заостренный конец, он будет безжизненно валиться на бок.
Совершенно иное происходит с быстро вращающимся волчком. Опираясь о поверхность своим острием и быстро вращаясь вокруг оси, волчок стоит будто «вкопанный» (рис. 5).
Рис. 5. Положение быстро вращающегося волчка.
Попытаемся свалить вращающийся волчок, толкнув его пальцем. Как это ни странно, он не упадет, а лишь отскочит в сторону, продолжая быстро вращаться.
Подбросив невращающийся волчок, мы увидим, что он беспорядочно переворачивается в воздухе. Приведем затем волчок в быстрое вращение на дощечке и подбросим его. Теперь он устойчиво сохраняет свое положение. Упав обратно, он по-прежнему продолжает вращаться. При этом наклон поверхности не изменит положения его оси. Волчок будет перемещаться под уклон, сохраняя свое вертикальное положение (рис. 6).
Рис. 6. Различные случаи «поведения волчка». А – невращающийся волчок, подброшенный, взлетает, беспорядочно кувыркаясь в пространстве; Б – быстро вращающийся волчок, подброшенный, устойчиво сохраняет свое положение в пространстве; В – на наклонной плоскости быстро вращающийся волчок легко «сбегает» под уклон, устойчиво сохраняя вертикальное положение своей оси в пространстве.
Вращающийся волчок замечателен прежде всего устойчивостью, то есть способностью неизменно сохранять вертикальное положение.
Но почему вращающиеся тела проявляют такую удивительную устойчивость?
К рассказу об этом мы и перейдем.
Математическая русалка
Удивительные свойства волчка издавна привлекали внимание многих ученых. Еще в XVIII веке делались попытки практически использовать эти свойства.
В механике волчком называют твердое тело, которое вращается около какой-то оси, имеющей неподвижную точку.
Математическое решение задачи о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки представляет большую трудность и сложность. Полностью эта задача не решена и до настоящего времени.
Решить ее пытались многие ученые.
Вначале решение того или иного частного случая задачи, казалось бы, шло благополучно, но в итоге ничего не получалось. По этому поводу замечательная русская женщина, крупнейший ученый, Софья Васильевна Ковалевская говорила, что задача о вращении твердого тела может быть названа «математической русалкой».
Теоретическое решение задачи о вращении твердого тела осуществлено лишь для трех частных случаев. Окончательного, полного решения этого вопроса нет и поныне.
Решения трех частных случаев были выполнены в разное время крупнейшими учеными: членом Российской Академии наук Леонардом Эйлером, французским ученым Жозефом Луи Лагранжем и первой русской женщиной-ученым Софьей Ковалевской.
Л. Эйлер в своем знаменитом сочинении «Теория движения твердого тела» в 1765 г. дал решение задачи о движении вращающегося твердого тела, у которого центр тяжести (точка, через которую проходит сила тяжести тела при любых возможных положениях его) находится в точке опоры (рис. 7).
Рис. 7. Волчок, законы вращения которого открыл в XVIII веке член Российской Академии наук Леонард Эйлер.
Такой волчок, даже не вращаясь, сохраняет устойчивое равновесие.
Несколько позже Ж. Л. Лагранж (1736–1813 гг.) решил задачу более сложную, чем Л. Эйлер (рис. 8).
Рис. 8. Волчок, законы вращения которого открыл в конце XVIII и начале XIX века французский ученый Жозеф Луи Лагранж.
Он решил задачу вращения твердого тела, центр тяжести которого находится выше точки опоры.
Таким образом, труды Л. Эйлера и Ж. Л. Лагранжа были положены в основу теории «волчка». С тех пор многие ученые во всем мире пытались продолжить решение этой задачи. Однако на протяжении почти ста лет их попытки терпели неудачу. «Математическая русалка» не давалась ученым. Французская Академия наук установила специальную премию Бордена в размере трех тысяч франков лишь за усовершенствование решения этой задачи в «каком-либо существенном пункте».
Эта награда, вручаемая по конкурсу, долгое время не присуждалась никому; теоретические работы по «усовершенствованию в каком-либо существенном пункте» на рассмотрение не поступали. Так безуспешно прошли два конкурса.
По условиям конкурса следовало представить два пакета под одним и тем же названием (девизом). В одном из них должно было находиться решение задачи, а во втором – записка с именем представившего материал. Вначале вскрывали пакет с решением задачи, и специалисты давали заключение по нему. После этого вскрывали второй пакет, где была указана фамилия автора. Это исключало возможность пристрастной оценки.
В 1888 г. одна из пятнадцати работ, поступивших на третий конкурс, вызвала особенный восторг ученых, членов конкурсной комиссии. Эта работа значилась под девизом: «Говори, что знаешь, делай, что обязан, будь, чему быть».
Конкурсная комиссия, состоявшая из ряда крупнейших ученых, единодушно вынесла решение выдать автору этой работы премию, увеличенную с трех до пяти тысяч франков.
В отзыве о работе, заслужившей такое одобрение, между прочим, говорилось, что она является «замечательным трудом, который содержит открытие нового случая… автор не удовольствовался прибавлением решения к тем решениям, какие перешли к нам по этому предмету от Эйлера и Лагранжа, а сделал из своего открытия углубленное исследование с применением всех возможностей современной теории функций».
После этого, вскрыв второй конверт с девизом, комиссия узнала, что автором работы, получившей такое блестящее заключение, является Софья Васильевна Ковалевская.
Известный французский математик Дюбуа-Реймон, выступая на торжественном вручении премии, сказал: «Софья Ковалевская не только превзошла немногих предшественниц в математическом образовании, но заняла между современными математиками одно из самых видных мест. Она получила премию за решение вопроса о вращении твердого тела под влиянием действующих на него сил. Решение третьей задачи, самой сложной, принадлежит Ковалевской. Ее решением исчерпываются средства современного анализа».
Сложность задачи, решенной Софьей Ковалевской, нетрудно понять, если учесть, что у исследованного ею «волчка» центр тяжести находится где-то в стороне от точки опоры (рис. 9), а следовательно, вне оси вращения.
Рис. 9. Самый сложный случай быстро вращающегося волчка, законы движения которого открыла Софья Васильевна Ковалевская.
Движение такого волчка вокруг оси неравномерное, прерывистое.
Решение задачи, рассмотренной С. В. Ковалевской, чрезвычайно сложно. В математическом изложении его под силу разобраться только крупнейшим математикам, что подтверждается, например, такими фактами.
При вручении премии президент Французской Академии наук астроном Жансен говорил:
«Между венками, которые мы даем сегодня, один из прекраснейших и труднейших для достижения возлагается на чело женщины. Наши сочлены нашли, что труд ее является свидетельством не только глубокого и широкого знания, но и признаком ума великой изобретательности».
Высокое одобрение столь сложному труду С. В. Ковалевской дал старейший французский математик того времени Шарль Эрмит. Он писал Софье Васильевне, что с нетерпением ожидает опубликования ее трудов, чтобы заняться исследованием отдельных элементов этой работы, предполагая «собирать колосья со сжатого ею поля». Он надеялся путем исследования ее труда совершить ряд новых открытий.
Глубина и широта задачи, решенной Софьей Васильевной, настолько грандиозны, что обстоятельному исследованию этой ее работы с физической и математической сторон и детальному анализу возможных случаев посвятил всю жизнь один из учеников Н. Е. Жуковского – Г. Г. Аппельрот.
С. В. Ковалевская опубликовала еще три работы по исследованию вращения твердого тела. За одно из этих дополнительных исследований ей была присуждена в 1889 г. премия Шведской Академии наук.
По словам отца русской авиации, знаменитого русского ученого Н. Е. Жуковского, работы С. В. Ковалевской в области вращения твердого тела составили ей огромную славу ученого.
Петербургская Академия наук впервые в истории отступила от своих правил, избрав Софью Васильевну Ковалевскую по предложению русского ученого П. Л. Чебышева своим членом-корреспондентом, предварительно внеся изменения в Устав Академии, не позволявший этого сделать.
Значение избрания С. В. Ковалевской трудно переоценить. Ведь в то время женщин не допускали даже в высшие учебные заведения.
Прикладное значение классических работ Л. Эйлера, Ж. Л. Лагранжа и С. В. Ковалевской огромно. Они облегчили проведение ряда исследований по практическому использованию свойств волчка в астрономии для изучения фигур планет и во многих других отраслях науки и техники для самых различных целей. Крупные работы о волчке теоретического и практического характера выполнены русскими учеными: Булгаковым Б. В., Горячевым Д. И., Жуковским Н. Е., Колосовым Г. В., Крыловым А. Н., Ляпуновым А. М., Николаи Е. Л., Чаплыгиным С. А. и другими, а также зарубежными, например Леви-Чивита.
Познакомимся теперь несколько подробнее с основными законами «поведения» быстро вращающегося волчка.
Причины устойчивости
Внимательно наблюдая за «поведением» предметов, находящихся вокруг нас, мы обнаружим ряд любопытных явлений.
Например, соскочивший с быстро вращающихся шкивов приводной ремень некоторое время катится, словно твердое колесо. Точно так же ведет себя металлическая цепь.
Предметы, свободно подвешенные на стержнях, будут висеть в привычном для нас положении. Но стоит привести стержни в быстрое вращение, как эти предметы сначала начнут покачиваться, а затем опять займут устойчивое положение, но не совсем такое, в каком они были раньше (рис. 10).
Рис. 10. Некоторые предметы, висящие в спокойном состоянии и в процессе вращения.
Быстро вращающийся диск из бумаги при ударах издает звон. При очень больших скоростях вращения бумажным диском можно, как пилой, разрезать более твердые тела.
Нечто подобное удается наблюдать, когда вода вытекает из пожарного ствола под давлением 75—100 атмосфер с большой скоростью. Струя жидкости, встречая на своем пути более твердые тела, разрушает их. Таким способом в некоторых шахтах добывают уголь.
Нефтяники рассказывают, что из одной фонтанирующей скважины поток нефти вырывался с огромной скоростью под давлением более трехсот атмосфер. При ударе по такой струе лом отскакивал, словно от стального столба.
Струя газа, вытекающего из одной скважины, увлекая с собой частицы песка, прорезала деревянную доску и даже металлическую пластинку.
Конькобежцам, шоферам, велосипедистам хорошо известно, как трудно внезапно остановиться или резко изменить направление своего движения.
Можно без конца приводить подобные примеры. Но уже из сказанного нетрудно сделать вывод о том, что все тела стремятся сохранять направление движения и величину скорости. Это явление называется инерцией. О существовании этого явления впервые говорил еще Галилей, но открыл закон инерции и дал ему научное обоснование Исаак Ньютон.
Закону инерции, разумеется, подчинены и тела вращения, в том числе быстро вращающийся волчок. С одной стороны, сила тяжести стремится свалить волчок, с другой стороны, сила инерции стремится сохранить первоначальный характер движения, противодействуя, таким образом, падению волчка. Чем быстрее вращается волчок, тем больше сила инерции, тем труднее ее преодолеть.
Проследим, например, за движением точек А и В на диске волчка в тот момент, когда по его оси нанесен удар в направлении, указанном стрелкой (рис. 11).
Рис. 11. Опыт с быстро вращающимся волчком.
Под воздействием удара волчок наклонится влево, точка А на диске станет при этом двигаться вниз, а точка В – вверх. Однако по закону инерции обе точки, стремясь сохранить прежнее направление движения, окажут сильное сопротивление действию удара. В результате этого возникает так называемая прецессионная сила, увлекающая волчок в сторону от направления действующей силы.
Внимательно наблюдая за проводимым опытом, мы заметим, что волчок, вращающийся против часовой стрелки, если смотреть сверху, отскакивает всегда под прямым углом влево от направления действующей на него силы (рис. 12).
Рис. 12. Поведение быстро вращающегося волчка в случае толчка пальцем по его оси. 1 – направление силы процессии, уводящей волчок в сторону от валящей его силы; 2 – направление силы толчка.
Проделав подобный же опыт с волчком, вращающимся по часовой стрелке, обнаружим, что он отскакивает вправо от направления толчка также под прямым углом.
Проделав одну за другой несколько попыток свалить быстро вращающийся волчок, мы обнаружим, что при каждом толчке усиливается покачивание его оси. Наконец, оно окажется значительным. Теперь нетрудно заметить, что ось волчка описывает в пространстве определенную фигуру (рис. 13).
Рис. 13. Прецессия волчка.
Это так называемая прецессия волчка.
Стремление волчка устойчиво сохранять свое положение можно отчасти объяснить законом инерции. Но легкое покачивание оси объясняется и другим важным законом механики. Попытаемся разобраться в причинах этого явления на следующем простом примере.
Покатим с какой-нибудь постоянной скоростью по горизонтальной поверхности тяжелый металлический шар, оставляющий после себя след в виде черной черты (рис. 14, А).
Рис. 14. Опыт с катящимся шаром.
Когда шар достигнет линии ДК, нанесем по нему быстрый удар под прямым углом к направлению движения (рис. 14, Б).
В результате этого удара произойдет незначительное изменение первоначального направления, причем шар теперь покатится с несколько большей скоростью (рис. 14, В).
Если сильно увеличить скорость движения шара и затем нанести по нему удар с прежней силой, то направление движения изменится еще меньше, чем в первом случае (рис. 14, Г).
Проводя подобные опыты, мы в любом из них обнаружим, что всякая сила, приложенная к движущемуся телу, вызывает изменение его скорости. Это, безусловно, верно. Здесь действует второй закон Ньютона: всякая сила, приложенная к движущемуся телу вызывает изменение его скорости.
Движение быстро вращающегося волчка, разумеется, также подчиняется второму закону Ньютона. Именно поэтому ось волчка при любом воздействии на него посторонней силы всегда изменяет свое положение. Но такое изменение вследствие огромной разницы между силой, развивающейся в результате вращения, и «валящей» силой не заметно.
Таковы основные причины удивительного «поведения» волчка. Следует, однако, оговориться: целый ряд дополнительных причин остался не упомянутым, потому что дальнейшее углубление вопроса превратило бы большую часть нашей книжки в один из разделов теоретической механики. Поэтому мы ограничимся лишь сказанным.
Замечательные свойства быстро вращающегося волчка – вот в чем секрет устойчивости балерины, исполняющей фуэте. Этими же свойствами объясняются и поразительные манипуляции жонглера. Здесь мы видим умелое, однако безотчетное использование законов механики, законов вращения твердого тела вокруг неподвижной точки.
Где же еще, кроме эстрады и забавных детских игрушек, используются замечательные свойства волчка?
«Семейство» волчков
Изо дня в день, из века в век Солнце для нас, живущих на Земле, «восходит» и «заходит» в точно определенное для каждого дня и географического места время, «проходя» по точно определенному пути небосвода. Звезды на небе тоже «перемещаются» по строго определенным путям. Это видимое движение небесных тел является, прежде всего, следствием вращения Земли.
Предположим себе такой фантастический случай, когда наблюдатель находится в межзвездном пространстве против Северного полюса Земли. Отсюда он ясно видит точку воображаемой оси вращения, проходящей через полюс. Земля в течение суток, а точнее, за двадцать три часа пятьдесят шесть минут и четыре с одной десятой секунды, совершает один оборот, вращаясь против часовой стрелки.
Земля вращается практически вечно с постоянной скоростью. Это одна из главных причин того, что она устойчиво сохраняет вполне определенное положение относительно Солнца и других планет. Ось вращения Земли (ее называют еще и осью мира) постоянно направлена на Полярную звезду.
Вернемся, однако, к нашему наблюдателю, находящемуся в межзвездном пространстве. В течение дня, месяца и даже года он заметил бы лишь вращение Земли почти точно вокруг оси против часовой стрелки с постоянной скоростью – один оборот в сутки (рис. 15).
Рис. 15. Что видит фантастический наблюдатель, находящийся в космическом пространстве против Северного полюса Земли. 1 – воображаемая ось Земли (ось мира), «выходящая» на Северном полюсе, направлена на Полярную звезду.
В природе каждое тело находится под сложнейшим влиянием других, иногда многих тел. Земля находится под постоянным действием сил притяжения Луны, Солнца. На нее оказывают влияние также и планеты. Вследствие этого воображаемая ось Земли описывает правильный конус, а точка, видимая нашим фантастическим наблюдателем, описывает окружность (рис. 16).
Рис. 16. Прецессия земного шара.
Сторона конуса составляет с этой осью угол в двадцать три с половиной градуса.
Чтобы дождаться, пока земная ось полностью опишет конус, нашему наблюдателю потребовалось бы пробыть в межзвездном пространстве почти двадцать шесть тысяч лет.
Изменение положения земной оси, как известно, является одной из причин, по которым меняется климат. В наши дни в северном полушарии происходит постепенное потепление летнего периода и похолодание зимнего, а в южном – наоборот. Через тринадцать тысяч лет летом в нашем полушарии станет значительно теплее, чем сейчас. Затем начнется постепенное похолодание. Изменение наклона земной оси к так называемой плоскости эклиптики, то есть к плоскости, в которой движется Земля вокруг Солнца, за ряд тысячелетий представлено на рис. 17.
Рис. 17. Изменение наклона земной оси в пространстве под влиянием прецессии.
Нужно сказать, что еще Л. Эйлер, руководствуясь открытым им законом вращения твердого тела, указывал на возможное изменение положения земной оси с течением времени. Но тогда проверить догадку Эйлера не было возможности. Лишь во второй половине XIX века, когда измерения стали более точными, убедились в справедливости утверждения Эйлера.
Изменение положения земной оси на протяжении тысячелетий подтверждается, например, сохранившимися до наших дней описаниями звездного неба, которое наблюдали много тысяч лет тому назад. По этим документам мы узнаем, что две тысячи лет назад звезды Большой Медведицы мерцали над южной Грецией, а сейчас оттуда их видят заходящими за горизонт. Шесть тысяч лет назад над тем местом, где сейчас расположена столица нашей Родины Москва, ярко светил Южный Крест – созвездие, ныне видимое лишь в южном полушарии. В наши дни над северным полушарием Земли ярко светит Сириус, прежде невидимый в этих местах.
Итак, Земля устойчиво сохраняет положение своей оси вращения в пространстве, описывая правильный конус. Это позволяет назвать земной шар гигантским волчком, а все изменения видимого звездного неба над каким-либо одним местом в течение тысячелетий – следствием прецессии нашего гигантского волчка.
С быстро вращающимися волчками, с проявлениями их замечательных свойств мы встречаемся повседневно, ежечасно. В небесной дали находится множество их. Твердые небесные тела, вращающиеся вокруг своей оси (например, планеты), обладают всеми свойствами быстро вращающихся волчков. Эти же свойства характерны для самых малых частиц вечно движущейся материи – электронов. Такие «волчки» имеются всюду, во всех телах.
