Текст книги "Удивительные числа Фибоначчи (СИ)"

Автор книги: Александр Бородулин

сообщить о нарушении

Текущая страница: 2 (всего у книги 3 страниц)

Безусловно, это очень простые примеры. Но, даже при более сложных вычислениях калькулятор производит те же самые действия, которые мы только что рассмотрели.

В компьютере каждый символ имеет свое числовое значение, которое записывается абсолютно так же. И тексты, и картинки, и звуки, и видео записано в виде потоков пустых и заполненных ячеек. Понятно, что этих ячеек для записей и обработки этих записей в любом электронном устройстве великое множество.

Все «чудеса» поисковых систем – это всего лишь результат многоуровневых сложений и вычитаний. Система ищет по сочетаниям слов в запросе и выдает результаты в виде списка возможных ответов и ссылок, которые заносятся программами (которые написаны людьми) из информации, которую предоставляют люди. Компьютер может накапливать информацию, систематизировать информацию, но ничего своего компьютер выдумать не может!

Говоря простыми словами, чтобы какая-нибудь железяка начала думать, она, прежде всего, должна иметь желание это делать. Но, никакое устройство не имеет, да и не может иметь ни желаний, ни стремлений, ни предпочтений. Интеллект может возникнуть лишь на базе самосознания, которого у искусственных устройства нет и быть не может! Искусственный интеллект – это очередной миф! Кто-то очень не хочет, чтобы люди учились мыслить самостоятельно! Ведь, людьми, которые не умеют и не хотят думать, очень легко управлять. Поэтому, Ребята, учитесь! Не надейтесь на призрачные супер устройства, которые будут указывать вам как жить!

Право и возможность самостоятельно мыслить – это величайший дар Природы! И любые задачи, математические и не только, мы можем решать и без использования громоздких и трудно запоминающихся формул!

Вот, например, есть такая задача.

К моменту времени Т1 объект альфа преодолел расстояние в десять раз большее, чем преодолел объект бета. А к моменту времени Т2 отношение расстояния, которое преодолел объект альфа, к расстоянию, которое преодолел объект бета, стало равно двум. Требуется рассчитать расстояние, которое преодолел объект альфа, к моменту времени Т0, когда объект бета начал перемещение, если за период с момента Т1 до момента Т2 оба объекта преодолели по восемьдесят километров.

Очевидно, что те, которые придумывают подобные задачи, не очень то хотят, чтобы математика была привлекательной и общедоступной наукой!

Некоторые скажут, что данная задача совсем не сложная. Нужно выразить неизвестные величины через буквы латинского алфавита, составить систему уравнений, затем выразить одно неизвестное через другое, произвести расчет, и, наконец, вычислить искомую величину. Либо вспомнить формулу: ((R2 – 1) / (R1 – R2) + 1) • S

А вот у всех остальных, после прочтения условий данной задачи появится скорее отвращение, чем желание решать эту задачу! Потому, что эта задача безликая, беспредметная, и потому кажется бесцельной и бессмысленной!

Давайте попробуем преобразовать эту задачу и изложить ее, хотя бы, так.

Ранним утром, Сергей выехал из своего родного поселка Верхнереченска в областной центр. Было раннее утро, и на трассе было не очень много машин. Проехав немного, Сергей заметил автомобиль, такой же модели, как и у него.

Сергей немного прибавил газу. Поравнявшись, Сергей узнал машину Олега, своего знакомого, который проживал в поселке Нижнереченске. Они познакомились в автосалоне, когда покупали свои автомобили. Сергей посигналил, Олег тоже узнал приятеля и остановился у обочины. Они вышли, чтобы немного передохнуть и поговорить. Заметив придорожный знак, который показывал, что до областного центра осталось ровно восемьдесят километров, Сергей, с улыбкой, сказал, что Олег проехал в десять раз больше его. Примерно через сорок минут они достигли областного центра. Олег, с улыбкой, сказал, что теперь он проехал только в два раза больше, чем Сергей. Приятели пожелали друг другу удачного дня, и разъехались по своим делам.

Ну, а мы попытаемся, используя полученную информацию, чтобы выяснить протяженность дороги от Нижнереченска до Верхнереченска.

Сначала вспомним, что когда приятели доехали до областного центра, Олег сказал, что проехал в два раза больше, чем Сергей. Это может означать только то, что от Нижнереченска до Верхнереченска такое же расстояние, как от Верхнереченска до областного центра. Разумеется, что имеется ввиду расстояние по трассе!

Но что нам это даст? Пока мы только можем утверждать, что это расстояние больше восьмидесяти километров. На несколько километров, но больше! Но насколько? Давайте рассуждать. Олег выехал из своего Нижнереченска, проехал восемьдесят километров и еще несколько километров. Итак, он проехал Верхнереченск, откуда, примерно в это же время выехал Сергей. Проехав еще те же несколько километров, приятели встретились. Значит, к моменту их встречи Олег проехал восемьдесят километров, еще несколько, да еще несколько. А Сергей проехал только несколько. Но, как он сам сказал, это в десять раз меньше, чем проехал Олег. Иными словами, если бы Сергей проехал десять раз эти несколько километров, то это было бы ровно столько, сколько проехал Олег.

Теперь, давайте превратим километры в граммы. Дистанцию в восемьдесят километров мы превратим в гирьку весом восемьдесят грамм, а эти несколько километров в монетки, вес которых нам пока неизвестен.

Итак, на одной чаше весов находится гирька с двумя монетками, а на другой чаше десять таких же монет. Но нам нужно узнать точный вес. Поэтому, нужно убрать две монетки с чаши, где находится гирька. А для того, чтобы сохранить равновесие, нужно убрать две монетки и с другой чаши. Вот теперь, ясно, что восемь монет весят восемьдесят грамм. А значит одна монетка весит десять грамм.

Теперь, снова превратим граммы в километры, и убедимся, что Сергей, до встречи с Олегом, проехал десять километров. А его приятель Олег проехал восемьдесят километров, затем десять, затем еще десять. То есть сто километров, что в десять раз больше, чем десять.

И вот, теперь, можно с уверенностью ответить, что протяженность дороги от Нижнереченска до Верхнереченска составляет девяносто километров, как и от Верхнереченска до областного центра, как и расстояние, которое преодолел объект альфа к моменту времени Т0.

Вот так, даже не составляя систему уравнений, мы решили эту задачу. Для этого нам потребовалось, всего-навсего, наполнить задачу образами, и провести пошаговые рассуждения.

Некоторые могут сказать, что мы слишком долго "жевали". Но мы ответим, что длительное жевание, и в прямом, и в переносном смысле, способствует более легкому усвоению.

Эту же задачу можно превратить в загадку о возрасте. Например, брат старше своей сестры в два раза, хотя восемь лет назад он был в десять раз старше ее. Насколько лет брат старше сестры?

И при этом мы можем просто отгадывать эту загадку. Иными словами, решать задачу методом «проб и ошибок».

Некоторые возмутятся, и скажут, что это вообще антинаучно!

Ах, если бы, эти некоторые, только знали, сколько научных открытий было совершено именно этим методом!

Поэтому, можно, без всякого смущения, пробовать и проверять. Понятно, что возраст сестры более восьми полных лет. Иначе, задачка была бы бессмысленной! Предположим, что сестренке сейчас десять лет. Значит ее брату двадцать. Теперь, следует проверить, во сколько раз брат был старше сестры восемь лет назад? Ему было двенадцать лет , а ей два годика. При этом, выходит, что брат был старше сестры только в шесть раз. Значит, первое предположение оказалось ошибочным. А значит, нужно сделать следующее предположение! Но теперь, стоит немного призадуматься, в какую же сторону двигаться? Ну, поскольку, это пока непонятно, попробуем в сторону увеличения. Предположим, что сестре двенадцать лет, а брату соответственно двадцать четыре. Но, при таком раскладе, восемь лет назад брату было шестнадцать, а сестре четыре. Значит, второе предположение не только неправильное, но, даже, более неправильное, чем первое! А это значит, что двигаться нужно было в сторону уменьшения! А в сторону уменьшения остается один единственный вариант: сестренке девять лет. Теперь, проверив это предположение, можно убедиться, что оно правильное!

Да! Потребовалось целых три попытки! Но, при этом не потребовалось мучительно вспоминать сложные формулы или составлять систему уравнений!

Давайте убедимся, что метод проб и ошибок является, хотя и длительным, зато универсальным, то есть применимым для любых задач.

На одной из многочисленных рек, протекающих в нашей необъятной стране, по обоим берегам расположены два поселка. А вот моста в этом месте реки нет. Для того, чтобы жители каждого из поселков могли общаться друг с другом, налажена паромная переправа. Это, когда некоторая плавучая платформа, на которой могут разместиться и пассажиры и автомобили, пересекает реку то в одном направлении, то в обратном. Разумеется, что у многих жителей имелись свои лодки, как моторные, так и весельные.

Представим себе, что однажды майским утром одновременно от левого берега отчалили и паром и весельная лодка. Известно, что паром движется в два раза быстрее, чем весельная лодка. Когда паром достиг правого берега, лодка еще, разумеется, продолжала путь. А если быть точным, то доплыла до середины реки. Время на высадку и посадку пассажиров мы учитывать не будем, так как для решения нашей задачи оно не существенно. А наша задача состоит в том, чтобы узнать, какое расстояние проплыла лодка к моменту встречи с паромом, когда тот уже совершал обратный рейс. Ширина реки в этом месте составляет шестьсот метров.

Ответ почти готов! Немного больше, чем триста метров! Это правильно, но нам нужно узнать точно! Как будем рассуждать?

Паром отправился в обратный рейс, а лодка пересекла середину реки. С этого момента они двигались навстречу друг другу. В момент, когда они встретились они вместе проплыли триста метров. Но паром плыл в в два раза быстрее, и поэтому преодолел расстояние в два раза большее, чем преодолела лодка. То есть две части пути проделал паром и еще одну часть пути проделала лодка. Чтобы узнать длину этой части пути нам осталось разделить весь путь (половину ширины реки) на три. И мы получим сто метров. Осталось добавить длину половину реки и, уже точный, ответ готов! Четыресто метров.

Некоторые, с усмешкой, скажут, что эту задачу можно решить применяя формулу: R * (V1 * V2) / (V1 + V2)

А если бы нам было известно расстояние, которое проплыла лодка, а надо было бы узнать ширину реки? Нам потребовалась бы формула: (L2 + L2 * V1 / V2) / 2

Но неужели держать в памяти огромное количество формул, да при этом помнить какая формула к какой ситуации подходит, легче, чем научится просто рассуждать?

Мы можем переложить эту задачу в другую. Например, папа с сыном копают грядку. Папа копает в два раза быстрее, а конкретно метр за пять минут. Длина грядки шесть метров. За сколько времени они вскопают грядку, если начнут копать с разных концов. Для этого нам необходимо и достаточно узнать сколько вскопает сын, к моменту встречи. А к моменту встречи, они вскопают всю грядку. Причем отец вскопает две части грядки, а сын только одну часть. А эта часть составит треть от всей грядки. То есть два метра. А если папа копает метр за пять минут, то сын за десять. А два метра за двадцать. Ответ готов! Через двадцать минут мама с дочкой уже могут сажать в грядку семена.

А вот математик Леонардо, сын купца Гильермо из итальянского города Пиза, по прозвищу (которое ему не нравилось) «Фибоначчи» поставил для себя очень интересную задачу: Если купить пару крольчат (мальчика и девочку), которые через месяц станут взрослыми. А еще через месяц у них родится пара крольчат (мальчик и девочка). Которые через месяц тоже повзрослеют. А к тому времени у их родителей снова родится пара крольчат (мальчик и девочка). И вот так будет со всеми кроликами постоянно! Все кролики будут всегда здоровы и никогда не умрут.

Требуется узнать какое количество пар кроликов будет на ферме при таком воспроизводстве через заданное время?

Разумеется, с кроликами подобное воспроизводство не реально. Но решение этой идеализированной задачи привело к пониманию многих реальных процессов развития живых существ!

Для того, чтобы не утруждаться подсчетом кроликов, давайте переложим эту задачку на поле чудес из сказки «Буратино». Представим, что существует некое поле чудес, где из посаженной монетки за один день вырастает деревце, а затем каждый день на нем созревают монетки, которые падают, и из них, также, вырастают денежные деревца. При этом монетки в почве не растрачиваются.

Начнем? У нас есть одна монетка, которую мы посадим в это чудесное поле.

На следующий день на поле выросло деревце.

На следующий день на деревце созрела монетка, которая упала и зарылась.

На следующий день на деревце созрела монетка, которая упала и зарылась. И выросло еще одно деревце.

На следующий день на деревце созрела монетка, которая упала и зарылась. На вновь выросшем деревце созрела монетка, которая упала и зарылась. И выросло еще одно деревце.

На следующий день на трех деревцах созрели монетки, которые упали и зарылись. И выросли еще два деревца.

Пожалуй, пора подсчитать! В первый день была только одна монетка. Во второй день так и осталась эта одна монетка. В третий день уже стало две монетки. В четвертый день мы насчитаем три монетки. В пятый день у нас в распоряжении окажутся целых пять монеток. В шестой день на поле будут уже восемь монеток.

Сколько монеток будет в седьмой день? А сколько в десятый?

С каждым разом вести подсчет будет все труднее и труднее!

Нужно понять, по какому правилу развивается эта числовая последовательность?

Самая простая и понятная для нас числовая последовательность – это ряд натуральных чисел. Эта последовательность, как мы уже говорили, образуется по правилу: следующее число образуется прибавлением единички к текущему числу. Но это не единственное правило! Давайте приведем несколько примеров.

Будем складывать те же натуральные числа, выписанные каждое по два раза. При этом один ряд начнем с нуля, а другой уже с единички.

0_1_1_2_2_3_3_4_4_5_5

1_1_2_2_3_3_4_4_5_5_6

________________________

1_2_3_4_5_6_7_8_9_10_11

Другим способом, будем удваивать текущее число и вычитать предыдущее. Начнем с нуля и единички. Единичку умножим на два и вычтем ноль. Получим число два. Затем, два умножим на два и вычтем один. Получим три. Далее, три умножим на два и вычтем два. Получим четыре. И, так далее...

А если попробовать утраивать текущее число и вычитать удвоенное предыдущее? Единичку умножим на три и вычтем дважды ноль. Получим три. Три умножим на три и вычтем удвоенную единичку. Получим семь. Семь умножим на три и вычтем удвоенное число три. Получим пятнадцать...

Ерунда какая-то получается! Но мы ведь не сдадимся? Посмотрим на получившийся ряд: ноль, один, три, семь, пятнадцать. Каждое последующее число на единичку больше удвоенного текущего. Попробуем это исправить, и из утроенного текущего числа вычитаем не только удвоенное предыдущее, а еще единичку.

Единичку умножим на три, вычтем дважды ноль и вычтем единичку. Получим два. Два умножим на три, вычтем удвоенную единичку и вычтем единичку, как постоянно вычитаемое число. Получим три. Вроде получается. Но необходимо удостовериться! Утраиваем три, вычитаем удвоенное число два, и, как повелось, вычитаем единичку. Получим четыре. Можно и дальше продолжать, но, уже и так, видно, что мы задали правильное образование ряда.

Теперь, мы можем уже смело утверждать, что если умножить текущее число на четыре, и на пять, и на шесть, и вычитать предыдущее, умноженное на три, и на четыре, и на пять, соответственно, а затем вычитать каждый раз два, три, четыре, мы будем неизменно получать ряд натуральных чисел.

А также, можем к предыдущему числу прибавлять всякий раз число два. Проверим! К нулю прибавим два. Получим два. К единичке прибавим два. Получим три. К двум прибавим два. Получим четыре. К трем прибавим два получим пять. Как говорится, что и требовалось доказать!

Вот сколько способов образования ряда натуральных чисел мы рассмотрели.

Вполне можно предположить, что и ряд «Фибоначчи» тоже образуется по какому-то определенному правилу. Определив это правило, мы можем вычислять количество монет, которое будет на поле чудес в любой день.

Но, сначала давайте образуем числовой ряд по правилу: следующее число образуется как удвоенное текущее, из которого вычтено предыдущее и добавлена единичка. Как обычно, для начала, возьмем ноль и один.

Один умножить на два минус ноль и плюс один равно трем.

Три умножить на два минус один и плюс один равно шести.

Шесть умножить на два минус три и плюс один равно десяти.

Десять умножить на два минус шесть и плюс один равно пятнадцати.

Пятнадцать умножить на два минус десять и плюс один равно двадцати одному.

Ну, пока достаточно. Теперь мы видим ряд каких-то чисел, которые возрастают, но не так плавно, как ряд натуральных чисел. Если между двумя последовательными числами натурального ряда разность постоянно равна единице, то в этом, пока непонятном, ряду разность между соседними числами постоянно увеличивается. Давайте выпишем эти разницы.

Один минус ноль равно одному.

Три минус один равно двум.

Шесть минус три равно трем.

Десять минус шесть равно четырем.

Пятнадцать минус десять равно пяти.

Уже совершенно ясно, что получается ряд натуральных чисел!

Если любое число из натурального ряда является суммой того количества единичек, которое совпадает с порядковым номером этого числа в ряду, то, вполне возможно, что любое число из нашего, пока непонятного, ряда является накопительной суммой натуральных чисел до порядкового номера этого числа. Давайте сразу это проверим!

Один плюс два равно трем.

Один плюс два плюс три равно шести.

Один плюс два плюс три плюс четыре равно десяти.

Один плюс два плюс три плюс четыре плюс пять равно пятнадцати.

Ура! Наши предположения оказались верными!

Теперь, ради забавы вспомним, что многие жители западной части нашей планеты панически боятся числа шестьсот шестьдесят шесть. В чем же причина такого необъяснимого страха? Почему они не боятся, например, числа сто одиннадцать или девятьсот девяносто девять? Дело в том, что число шестьсот шестьдесят шесть – это сумма натуральных чисел от одного до тридцати шести. А тридцать шесть – это максимальный номер на рулетке, в которую так любят играть «прожигатели жизни». Тупость этих, иначе не скажешь, олухов, заключается в том, что они боятся обыкновенного безобидного числа, а вот в азартные игры, которые, всем без исключения, приносят только несчастья, с бараньим упорством, продолжают играть!

Чтобы проверить, что число шестьсот шестьдесят шесть является суммой чисел от одного до тридцати шести, вовсе не обязательно складывать все эти числа, как, непременно, но очень быстро, сделал бы компьютерный процессор, можно умножить число тридцать шесть на следующее число, то есть тридцать семь, и разделить результат на два. К слову число тридцать семь, а точнее утроенное число тридцать семь является основанием всех трехзначных чисел с одинаковыми цифрами.

Итак, мы нашли правило образования ряда накопительных сумм натуральных чисел. Но зачем нам это? Как мы можем применить этот ряд на практике? Дело в том, что накопительной суммой натуральных чисел определяется количество возможных попарных сочетаний из некоторого набора чисел. Это звучит достаточно витиевато, поэтому лучше привести пример.

Представьте, что у вас есть три тюбика с красками: красной, желтой, синей. Нужно узнать, сколько смешанных цветов мы получим, смешивая краски только по две, и только пополам? На этот вопрос мы легко дадим ответ перебирая возможные варианты. Красный с желтым. Желтый с синим. Синий с красным. Всего лишь три варианта. Результатами станут оранжевый, зеленый и фиолетовый цвета. Таким образом в радуге вовсе не семь, а шесть цветов! Три основных и три смешанных. Как же так? Ведь нам всегда говорили, что в радуге семь цветов. Мы даже учили поговорку «каждый охотник желает знать, где сидит фазан», чтобы выучить последовательность: красный, оранжевый, жёлтый, зелёный, голубой, синий, фиолетовый. Дело в том, что описавший спектральное разложение белого света ученый Исаак Ньютон был весьма склонен к мистике, и считал число семь магическим. Поэтому и слукавил, назвав голубой и синий двумя разными цветами. А последующие ученые олухи не посмели перечить научному авторитету, и до сих пор вводят всех в заблуждение.

Что же касается составления возможных попарных сочетаний из большего количества исходных предметов, надежнее и быстрее умножить число исходных предметов на число меньшее на единицу и разделить на два.

Например, учитель повел на экскурсию учеников в количестве восьми человек (не всех учеников заинтересовала эта экскурсия). Нужно разместить всех заинтересованных в ряд по два. Главное – замыкающая ряд пара! Не важно мальчик с девочкой, мальчик с мальчиком или девочка с девочкой. Сколько есть вариантов? Не будем заморачиваться, и умножим восемь на семь и разделим на два. Получим двадцать восемь! Согласитесь, что вычислить это вручную было бы весьма затруднительно!

Ну, а теперь, пора вернуться к ряду «Фибоначчи».

Первое число – один. Второе число – один. Третье число – два. Четвертое число – три. Пока смущают только две единицы в начале, а так вроде бы нормальное возрастание. Однако, продолжим! Пятое число – пять. Шестое число – восемь. Седьмое число мы пока не знаем, но, обязательно узнаем, если поймем закономерность. А есть ли она, эта закономерность? Закономерность есть всегда, когда задано какое-либо правило развития! Поэтому закономерность точно есть, только сложно ли будет ее обнаружить?

Попробуем установить ряд разниц между числами. Один минус один будет ноль. Два минус один будет один. Три минус два будет один. Пять минус три будет два. Восемь минус пять будет три. Получился ряд ноль, один, один, два, три. Похоже на ряд натуральных чисел, но все портит вторая единица!

Все же нам необходимо попыхтеть и установить вручную, сколько же монет окажется на поле чудес в седьмой день.

Вспомним: в шестой день на поле будут три деревца с «плодами» и два молодых деревца. Что произойдет на следующий, то есть седьмой, день? Все пять деревьев принесут «плоды», а из трех «плодов» прошлого дня вырастут молодые деревца. Таким образом, на чудесном нашем поле уже будут тринадцать монеток! То есть на пять больше, чем в шестой день. Это обусловленно тем, что плодоносящих деревьев было пять. Теперь мы можем еще раз выстроить числовой ряд из разниц. Ноль, один, один, два, три, пять.

Получается такой же ряд, только «сдвинутый» на день назад!

Ну вот теперь, совершенно очевидно, что следующее число образуется добавлением предыдущего к текущему. Так ли это?

Давайте же немедленно проверим наше предположение!

Ноль плюс один будет один. Один плюс один будет два. Два плюс один будет три. Три плюс два будет пять. Пять плюс три будет восемь. Восемь плюс пять будет тринадцать.

Снова Ура! Вот мы и разгадали эту весьма не простую задачу! Каждое последующее число образуется сложением двух предшествующих чисел!

Но давайте закрепим наш результат! По нашим расчетам в восьмой день на поле чудес будут находится, тринадцать плюс восемь, двадцать одна монетка.

Проверим это пересчетом. К окончанию седьмого дня было пять деревьев с плодами и три молодых деревца. Значит, в восьмой день восемь деревьев принесут по новой монетке, и вырастут пять новых деревьев. Как будем считать? К удвоенному количеству плодоносящих деревьев (удвоенное потому, что одна монетка в корнях, вторая на ветвях) прибавим количество пока еще молоденьких деревьев (только одна монетка, которая в корнях). Дважды восемь будет шестнадцать. Плюс еще пять, будет двадцать одна.

Мы – молодцы! Закономерность найдена!

Теперь мы можем точно подсчитать количество монеток в любой день!

Причем мы знаем, что текущее число соответствует количеству плодоносящих деревьев, предыдущее число соответствует количеству молоденьких деревьев. Кстати! Давайте уже выйдем со сказочного поля чудес, и рассмотрим развития этого числового ряда в реальности.

Однажды погожим весенним утром, когда из, согретой лучами солнышка, земли взошел тоненький, нежный росток. Первые два месяца он просто тянулся к солнышку. Вторые два месяца он стал крепнуть и в последующие два месяца он еще подрос сам, да еще пустил новую нежную веточку. Но тут наступила осень, а потом снежок укрыл этот маленький, но живучий росток от зимних морозов. Долго длилась зима, но росток все это время крепко спал, и проснулся только тогда, когда земля снова согрелась, и питательные соки побежали по росточку. И за четвертые два, благоприятных для роста, месяца подрос основной стебелек, который пустил еще одну веточку, а также подросла и окрепла веточка, которая появилась еще прошлым летом. Прошло еще два теплых месяца. Пятые по счету из теплых. Стебель еще подрос и вывел еще одну веточку. Первая веточка сама подросла и вывела уже свою веточку. Вторая веточка тоже подросла. И теперь, растение состояло уже из пяти оконечностей, три из которых в следующие два месяца выпустят по новой веточке.

Дальнейшая программа развития этого растения при благоприятных условиях нам уже хорошо известна.

Возможно, вам, Ребята, придется услышать такую формулировку: «Даже галактики закручиваются, подчиняясь закону Фибоначчи!» Подобные формулировки в основе своей неправильны и просто невежественны! Природные явления не подчиняются закономерностям, которые открыли люди! Они существовали, существуют и будут существовать всегда, вне зависимости от их открытия людьми или какими-либо другими существами, которые сами являются творениями Природы. Правильно, надо говорить: «Формирование галактических спиралей математически можно описать числовой последовательностью, которую впервые определил Леонардо Пизанский».

Но давайте поинтересуемся, есть ли у это числового ряда зеркальное отражение? Ведь мы начали с двух единиц. А это значит, что вторая единица получилась в результате сложения предыдущей единицы с каким-то другим числом. Совершенно ясно, что это число – ноль. Тогда первая единица является суммой этого нуля и какого-то числа. Понятно, что число – один. Число ноль является суммой этой единицы и еще одной единички, к которой следует прикрепить знак «минус». И вот эта минусовая единичка может сложиться только с числом два, чтобы получилась просто единичка. Продолжая таким образом, мы, с удивлением, увидим, что в зазеркалье числа «Фибоначчи» имеют прикрепленный минус только через одного!

И, как обычно, подружившись с кем-нибудь или с чем-нибудь, возникает желание поиграть.

Как же можно поиграть с числами «Фибоначчи?» Ну, например, давайте попробуем поиграть в «чехарду», когда предыдущий перескакивает через текущего и становиться следующим. С числами можно тоже так поиграть.

Например, мы теперь знаем, что пять получается в результате сложения числа три и числа два. А можем ли мы получить число пять в результате сложения числа два и числа один, то есть предпредыдущих чисел?

Если мы удвоим число два и прибавим один, то получим пять. А если удвоим число три и прибавим два, то получим восемь. А если удвоим число пять и прибавим три, то, как уже всем понятно, получим тринадцать.

А как получить число тринадцать из трех и двух? Попробуем утроить число три и прибавить два. Упсс! Получится одиннадцать. А нам надо тринадцать! Что мы сделали не так? Мы увеличили один множитель, но совершенно забыли увеличить второй. Исправим эту оплошность и проверим. Три умножить на три и прибавит удвоенное два. Получилось! В смысле, получилось тринадцать.

А теперь давайте узнаем десятое число, не узнавая пока, девятое число. Итак! Шестое число – восемь. Седьмое число – тринадцать. Шестое число удвоим. Будет шестнадцать. Седьмое число утроим. Получится тридцать девять. Теперь, осталось их сложить, и получить пятьдесят пять.

Обратите внимание, Ребята, что число пятьдесят пять – это сумма чисел от одного до десяти. Проверим! Десять умножим на одиннадцать и разделим пополам. Значит, десятое число ряда накопительных сумм натуральных чисел совпадает с десятым числом ряда «Фибоначчи». На этом этапе ряд «Фибоначчи» догнал ряд накопительных сумм, и в дальнейшем, уже недосягаемо, «уйдет в отрыв».

А теперь давайте узнаем число из ряда «Фибоначчи» под номером девять. Для этого просто вычтем из пятидесяти пяти двадцать один. Получим тридцать четыре. Проверим другим способом. К двадцати одному прибавим тринадцать, или к удвоенному числу тринадцать (двадцать шесть) прибавим восемь, или к утроенному числу восемь (двадцать четыре) прибавим удвоенное число пять (десять). Есть еще варианты? Безусловно есть!

Попробуем к пяти, умноженному на четыре, прибавить утроенную тройку. Получилось двадцать девять. Что-то сделали не так! Не хватает пятерки! Значит, пять нужно умножать не на четыре, а на пять! А! Вот в чем хитрость!

Умножать надо только на те числа, которые сами входят в ряд «Фибоначчи!»

Для проверки, умножим шестое число на пятое (сорок), прибавим пятое число, умноженное на четвертое (пятнадцать). Получим десятое число (пятьдесят пять). Неужели мы обнаружили закономерность чисел «Фибоначчи» по номерам? Ведь, шесть плюс пять, плюс еще пять, и плюс четыре будет двадцать. А если двадцать поделить пополам будет десять!

Но, ни в коем случае не следует делать каких-либо выводов, основываясь на единичных фактах!

Однако, обнаруженное совпадение, можно рассматривать как повод установить закономерность...

Давайте проверим! Пятое число умножим на четвертое, и прибавим четвертое число умноженное на третье. По нашим предположениям, должно получится (пять плюс четыре плюс четыре плюс три, все деленное на два) восьмое число. Проверяем! Пятью три плюс трижды два. Получим двадцать один. Это и есть число под номером восемь.

Но даже и теперь, мы обязаны проверить наше предположение! Немного усложним условие! Число под номером шесть (восемь) умножим на число под номером четыре (три). Затем, число под номером четыре умножим на число под номером два (один). По нашим предположениям снова должно получиться (шесть плюс четыре плюс четыре плюс два, и пополам) восьмое число... Но произведя вычисления мы получим (восемь умножить на три плюс трижды один) двадцать семь. Это число не входит в последовательность «Фибоначчи». Какая досадная ошибка! Что же опять не так? Мы усложнили условие тем, что увеличили разницу между номерами. Не надо было так делать? Вернемся к этому вопросу чуть позже. А пока, еще раз проверим наше предположение без усложнения условий. Число номер семь (тринадцать) умножим на число шесть (восемь). И, к результату прибавим шестое число помноженное на пятое число (пять). Итак, по расчетам (семь плюс шесть плюс шесть плюс пять, и пополам) должно получится число номер двенадцать, значение которого мы еще не знаем. Ну и хорошо! При проверке узнаем!