Текст книги "Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике"

Автор книги: Альберт Виолант-и-Хольц

сообщить о нарушении

Текущая страница: 4 (всего у книги 9 страниц)

Наконец, будем считать е столь близким к 0, что им можно пренебречь. Имеем 2а = 0, следовательно, а = 0 – это корректная точка минимума данной функции.

Как можно видеть, после «приравнивания» мы получили уравнение, равносильное равенству нулю производной этой функции. Но в те времена не было известно ни о вычислении производных, ни о нахождении пределов функций. Поэтому не удивительно, что некоторые математики признавали этот метод лишь с оговорками. Но в этом случае Ферма проявил потрясающую интуицию. Он выглядел фокусником, который умело манипулирует алгебраическими выражениями и в итоге непостижимым образом получает желаемый результат.

Разносторонние интересы

Восстановление утерянных трудов Аполлония было частью амбициозного проекта, начатого Виетом и Марино Гетальди, к которым позднее присоединились Виллеброрд Снелл и сам Ферма, высоко ценивший Аполлония. Кроме этого, Ферма был великолепным знатоком античных языков, а благодаря знаниям математики с удивительной легкостью справился бы со сложной задачей перевести труды античных авторов с латыни и греческого. Поэтому неудивительно, что переводчики, работавшие со сложными научными текстами, обращались к нему за советом.

В Тулузе Ферма познакомился с Шарлем де Моншалем, специалистом по древнегреческому языку и большим библиофилом, чья коллекция рукописей впоследствии составила часть Королевской библиотеки. Ферма получил доступ к этому удивительному собранию. Моншаль продемонстрировал ему Les harmoniques – книгу о музыке, написанную византийским автором XIV века. Ферма прочитал ее и сделал несколько пометок на полях в своем стиле: когда он читал, то давал простор воображению, у него возникало множество идей, и он записывал их, чтобы вернуться к ним позже.

В Кастре он познакомился с Пьером Сапорта, который в 1664 году написал «Трактат об измерении текущей воды» (Traité sur la mesure des eaux courantes) – перевод на французский язык книги бенедиктинского священника Бенедетто Кастелли.

Он также перевел на французский одну из работ Торричелли на ту же тему. Кроме того, Сапорта решил включить в свой перевод описание инструмента для измерения плотности жидкостей, которое написал Ферма. Этот инструмент впервые описал Синезий, епископ из Кирены, современник Гипатии Александрийской. Тот же Кастелли указал, что до Ферма многие безуспешно пытались понять принцип действия этого устройства. Сапорта ценил эрудицию Ферма и посвятил ему свою книгу, осыпав похвалами: «Страницы этой тетради, которые остались пустыми, натолкнули меня на мысль наполнить их результатами, которые недавно сообщил мне несравненный господин Ферма, в высшей степени любезно отнесшийся ко мне во время нашей беседы». В этой же книге он пишет: «Все мудрецы, сведущие в литературе, оказывают нам помощь при толковании сложных пассажей, которые мы находим в книгах.

Я могу привести множество превосходных наблюдений, сделанных вами о Синезии, Фронтине, Афинее и о многих других авторах, а также те разъяснения, которые вы дали для изречений, оставшихся не понятыми Скалигером, Казобоном, Петавиусом и Сомме. Наконец, кажется, сеньор, что вы родились, чтобы править царством слов и быть высшим законодателем для всех мудрецов».

Эрудицию Ферма признавали многие из тех, кто его знал. Подлинный энциклопедист, не знавший границ между науками и языками, он интересовался всеми областями знаний. Ферма был готов выслушать любого и высказать свое мнение. Многие обращались к нему с просьбами о сотрудничестве.

Ферма делал заметки на полях прочитанных книг, отмечая свои наблюдения и мысли. По сути, работы Ферма стали известны только благодаря пометкам на полях книг из его личной библиотеки. В их числе «Смиряюсь пред Богом, или умирающим Христом» (Cede Deo seu Christus moriens) – поэма из ста стихов, написанная гекзаметром на латыни, которую он посвятил Гезу де Бальзаку. Поэма была зачитана в Академии Кастра в 1656 году.

Ферма глубоко уважал классиков и восхищался ими, но в то же время неустанно привносил новые идеи, «которые не записаны в книгах», ни древних, ни современных. Он восторгался трудами Фрэнсиса Бэкона и был полон энтузиазма основать новую науку. Как универсальный ученый, Ферма приветствовал объединение всех наук и разделял точку зрения Мерсенна: общение и обмен идеями, безусловно, способствуют прогрессу науки.

Например, в 1657 году он написал Кюро де ла Шамбру, говоря о рефракции: «Если бы вы могли позволить мне немного объединить мою геометрию с вашей физикой, то вместе мы бы создали новую общую работу».

Портрет Фрэнсиса Бэкона. Ферма очень высоко ценил этого английского философа, сторонника научного метода.

Кроме этого, Ферма наслаждался красотой математики. Он знал, что за доказательствами и теоремами сокрыта красота и философия знания. Он делился своими результатами и предлагал новые задачи подобно энтузиасту, который стремится заразить друзей своим увлечением. 25 декабря 1640 года он пишет Мерсенну: «Как только мне напишет г-н Френикль, я отправлю ему несколько гипотез, которые он, я надеюсь, оценит. Заявляю со всей скромностью, что они намного красивее, чем всё, о чем мы говорили до этого». Позднее, 2 августа 1641 года, Френикль пишет Ферма: «Методы, приведенные вами… поистине великолепны, и вы обладаете даром излагать ваши правила, что придает им определенную красоту, благодаря которой они ценятся еще выше».

Любопытный стиль работы

Многие историки задаются вопросом: почему Ферма делал столько пометок, но почти не писал книг? Почему он не объяснял свои идеи и открытия? Но если мы лучше узнаем Ферма, то поймем, что он просто работал подобным образом. Он не был профессиональным математиком. Ему нравилось размышлять о математике, физике, литературе, философии, музыке и делать пометки. Он будто бы вступал в разговор с книгой и по мере возможности излагал свое мнение на узких полях. Это были словно мысли вслух. Но подробные и полные доказательства для всех возможных случаев он оставлял другим, возможно, более компетентным, или тем, у кого было больше времени. Написание книги потребовало бы сил, которых у него не было.

Он посвящал свой досуг размышлениям и подробному рассмотрению новых вопросов. Его интересы были столь обширны, что он не мог позволить себе задержаться и написать книгу с введением, объяснениями и подробными доказательствами. Как только вопрос становился ему ясен, он делал пометку и переходил к следующей теме.

Может показаться, что Ферма был поверхностным, хватался за разные темы, никак не связанные друг с другом, и не имел какой-то одной цели. Он не стремился заложить фундамент новой математики, как это сделал Виет в книге «Введение в аналитическое искусство», стараясь дать ответы на все вопросы, или как Декарт в книге «Геометрия», который попытался объяснить все природные явления. Но он был абсолютно уверен, что его методы помогали двигать науку вперед и полностью менять ее. Он давал другим новые средства для решения задач, ответы на которые не могли быть даны прежними способами.

Стиль работы Ферма, безусловно, составляет часть легенды о нем. Он решал задачи оригинально и творчески, но иногда в его решениях непросто разобраться, либо же он не приводил всех деталей, которые интересовали его современников. Его образ мышления лучше всего можно понять из его писем. В них он свободно говорит о науке без необходимости следовать формальному, книжному стилю. Кроме этого, письма были идеальным способом обмениваться новыми задачами. Если это требовалось, Ферма несколько углублялся в детали, но обычно он приводил лишь некоторые штрихи, словно указывая направление, в котором следует двигаться читателю, чтобы прийти к верному ответу. Так он показывал, что ему самому было известно решение, но он не собирается так просто рассказывать его. Его нежелание объяснять методы решения было частью игры, и ее кульминацией стала его последняя, великая теорема.

Фронтиспис одной из книг Франсуа Виета, у которого многому учился Ферма, хотя оба математика работали совершенно по-разному и черпали вдохновение из разных источников.

Но, несмотря на все свои достоинства, подобная переписка все же не была лишена недостатков. Иногда что-то понималось неверно, и на то, чтобы подкорректировать неточность, уходили годы, а иногда подобные ошибки и вовсе не удавалось исправить. Порой возникали споры о том, кому же принадлежит авторство решения: тому, кто первым рассказал о нем, или тому, кто первым записал его. Иногда одни и те же идеи возникали одновременно у нескольких ученых, и каждый приписывал авторство себе. Случалось, что несколько человек находили решение независимо друг от друга, а затем спорили, кому же принадлежит первенство. Не говоря уже о том, что некоторым доставляли удовольствие подобные разбирательства или что порой недопонимание имело катастрофические последствия для одной из сторон. Разумеется, Ферма всячески старался избегать этого, но тем не менее оказывался впутанным в подобные конфликты вопреки своей воле.

Письмо, написанное Ферма.

Полемика с Декартом

В начале 1637 года при содействии Мерсенна Рене Декарт обратился к королю Франции с просьбой опубликовать книгу «Рассуждение о методе» и три эссе. Богран в то время занимал ответственный пост секретаря канцлера и мог повлиять на решение вопроса. Канцлер Пьер Сегье получил на рассмотрение копию первого очерка Декарта «Диоптрика». Богран без разрешения автора и без ведома Мерсенна отправил копию очерка своему другу Ферма, попросив того высказать свое мнение.

Мерсенн узнал об этом и написал Ферма, попросив сохранять осмотрительность и сообщить свое мнение только ему и никому больше. 22 сентября 1637 года Ферма пишет Мерсенну: «Вы спрашиваете мое мнение о труде о диоптрии сеньора Декарта. Мое впечатление о его предложениях таково: хотя выводы, к которым он приходит, когда говорит о форме линз, изящны, было бы желательно, чтобы основы, на которых строятся его выводы, были доказаны лучше, так как сейчас этого не сделано. Но боюсь, что в его работе истина отсутствует в той же мере, что и доказательство». В этом же письме Ферма объясняет свое мнение. В «Диоптрике» предлагается модель света, объясняющая закон преломления. Но эта модель основана на предпосылках, которые показались Ферма не совсем обоснованными. Ферма заметил противоречие между тем, что свет распространяется мгновенно, и тем, что скорость света зависит от среды, где он распространяется. Ему также было неясно, почему свет быстрее распространяется в более плотной среде.

Мерсенн передал Декарту мнение Ферма, и, как вы можете себе представить, оно совершенно не понравилось Декарту. Так, в октябре 1637 года он отвечает Мерсенну: «Ошибка, которую нашел сеньор Ферма в моем доказательстве (о преломлении света), является надуманной и свидетельствует о том, что он ознакомился с моим трудом лишь мимоходом».

Обложка знаменитого «Рассуждения о методе» Декарта, куда вошел очерк о природе света, вызвавший споры с Ферма.

Но Ферма интересовала не полемика, а поиск истины. В письме к Мерсенну в декабре 1637 года он предлагает новую модель преломления света. В этом же послании он пишет: «…Я продолжаю этот небольшой диспут не ради зависти или жажды соперничества, но желаю лишь того, чтобы воссияла истина. Это, разумеется, доставит удовольствие сеньору Декарту, столь известному благодаря своим заслугам, которым я выражаю здесь свое почтение».

Но спор уже начался. Декарт воспринял мнение Ферма как вызов своим идеям и себе лично. «Рассуждение о методе» и три эссе составляли фундамент его философии и основу его мысли. Поэтому он решил подготовиться к сражению по всем правилам. 18 января 1638 года он пишет Мерсенну: «Если этого автора удивляет отсутствие некоторых правил в моей геометрии, я имею куда больше причин удивиться тому, что он пожелал начать бой, не приготовив оружия. Ноя хочу дать ему время снова взобраться на коня и подобрать наилучшее оружие для этого сражения».

Когда Ферма отправил на рассмотрение парижских математиков свой труд «Методы нахождения максимумов и минимумов и построения касательных к кривым», Декарт нашел возможность отыграться и объявил рассуждения Ферма сомнительными. Роберваль и Этьен Паскаль встали на его защиту, а Мидорж и Дезарг приняли сторону Декарта. В апреле 1638 года Роберваль пишет: «Когда сеньор Декарт всецело поймет метод максимумов и минимумов и построения касательных к кривым сеньора Ферма, то оставит сомнения в том, почему этот метод нашел своих сторонников, и оценит по достоинству этот превосходный метод, достойный своего автора». Любопытную роль в этой истории сыграл Мерсенн, так как вся переписка велась через него. Декарт, равно как и Ферма, отправлял письма Мерсенну, подразумевая, что он объяснит их содержание противоположной стороне. В итоге Дезарг признал правоту Ферма, и Декарту пришлось принять очевидное: «Увидев последний метод, примененный для нахождения касательных к кривым, я не могу ответить иначе как признав, что он очень хорош и что если бы он был объяснен в такой форме с самого начала, то я абсолютно не стал бы противоречить».

Страсти постепенно улеглись. 29 июня 1638 года Декарт пишет Мерсенну: «Я вижу, что вы оказали любезность сообщить мне о письмах Ферма в мой адрес, прежде всего относящихся к тому, что он сказал, что его чрезвычайно огорчили слова моей первой статьи. Я смиренно прошу у него прощения за высказанные упреки».

Наконец, в октябре 1638 года Декарт впервые пишет самому Ферма в знак примирения: «Должен признаться, что я никогда не встречал никого, кто производил бы впечатление человека, столь сведущего в геометрии, как вы… Несмотря на это, подобно тому как наш взгляд более пристально задерживается на малейших изъянах бриллианта, чем на крупных огрехах простого камня, так и я посчитал нужным более пристально рассмотреть ваши слова по сравнению со словами любого другого человека, которого я ценил бы не столь высоко».

Но инцидент этим не исчерпался. Декарт видел в Ферма гения и соперника, поэтому побаивался его и старался подорвать его авторитет при любой возможности. Как-то раз, проанализировав работу Ферма об определении касательной к циклоиде (работа не содержала ошибок), Декарт написал Мерсенну, что в труд Ферма вкрались ошибки и Ферма не соответствует званию математика и мыслителя. Декарт занимал заметное положение в научном сообществе того времени, и это, несомненно, повлияло на то, что у многих ученых сложилось ошибочное представление о Ферма.

Но гений Ферма не переставал сверкать. Он первым заложил основы алгебраической геометрии, опередив Декарта с его «Геометрией». Вместе с Паскалем он создал теорию вероятностей. Достигнутые им результаты в алгебре и методы доказательства, которые он использовал, дали начало современной теории чисел. Его вклад в математику этим не ограничивается – мы привели лишь несколько примеров. Наконец, Ферма как математик несомненно превзошел Декарта. Ферма всячески старался сгладить трения и остроумно заметил, комментируя ошибку в «Геометрии», что так ценит гений Декарта, что, несмотря на все имеющиеся ошибки, эта работа достойнее других, в которых нет ни единой неточности.

Теория преломления света

История имела продолжение, когда речь зашла о теории преломления света. После смерти Декарта один из учеников предложил опубликовать все его письма. Он обратился за помощью к Ферма, попросив у того все письма, полученные от Декарта. Это побудило Ферма пересмотреть свою работу о преломлении света. Он остался недоволен своими же рассуждениями и решил заняться этой темой повторно. Именно тогда он сформулировал принцип, согласно которому свет распространяется по траектории, для которой время движения минимально. Этот принцип теперь известен как принцип Ферма. Он был включен в труд «Анализ и синтез преломления лучей», опубликованный примерно в 1660 году. С помощью этого принципа стало возможным дать математическое объяснение закону Снелла. И опять мы видим, с каким упорством Ферма подходил к решению задач. Он возвращался к ним снова и снова, всякий раз совершая новые открытия. Такого же упорства он ждал и от своих современников при решении задач, которые предлагал им.

* * *

ЗАКОН СНЕЛЛА

Если погрузить палочку в воду, то кажется, будто она сломана пополам и что угол наклона в воде и в воздухе отличается. Это оптическое явление, называемое преломлением, происходит из-за того, что скорость света меняется в зависимости от плотности среды, в которой он распространяется. Плотность воздуха меньше, чем воды, и скорость света в воздухе выше, чем в воде, так как в воздухе свет встречает меньше «препятствий» на своем пути.

Виллеброрд Снелл открыл формулу, известную как закон Снелла, которая связывает скорости света в двух средах и углы преломления:

sin θ₁/V₁ = sin θ₂/V₂

Принцип Ферма дает математическое объяснение этому явлению. Согласно этому принципу, свет распространяется по траектории, для которой время движения минимально. Допустим, что, как показано на рисунке, птица хочет попасть из точки А (конец палочки, расположенный над водой) в точку В (конец палочки, погруженный в воду).

Предположим, что птица летит в воздухе со скоростью v₁ а под водой плывет со скоростью v₂. Ферма доказал, что кратчайшим путем из точки А в точку В является не прямая, а линия, повторяющая изгиб палочки. Значит, птица должна следовать вдоль палочки, чтобы как можно скорее попасть в точку В.

Глава 4
Происхождение последней теоремы

Невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него.

Пьер де Ферма

В один прекрасный день в руки Ферма попала копия «Арифметики» Диофанта. Во время чтения его мысли витали среди прекрасных математических пейзажей, и в голову ему приходили очередные запутанные задачи, которые он впоследствии предложит математическому сообществу. Среди этих задач была его знаменитая последняя теорема. Из всех его задач доказательство этой теоремы заняло больше всего времени. Ферма записал теорему на полях страницы с задачей 8 из книги II, о чем мы подробнее поговорим чуть позже.

Корни этой загадки Ферма уходят в александрийскую эпоху. С одной стороны находились «Начала» Евклида, датируемые II веком до н. э., с другой стороны – уже упомянутая «Арифметика» Диофанта, написанная пять или шесть веков спустя. На этих двух книгах основывались практически все математические исследования в Средиземноморье и на Востоке на протяжении примерно полутора тысяч лет.

«Начала» Евклида

«Начала» Евклида включают три книги по арифметике (книги VII, VIII и IX). В них впервые упоминается общая теория делимости. Речь идет о наибольших общих делителях и алгоритме их вычисления. Этот алгоритм известен как алгоритм Евклида. Также приводится определение простых чисел и показывается, что их бесконечно много. Помимо этого, говорится о взаимно простых числах и совершенных числах, то есть числах, равных сумме всех своих делителей.

Совершенные числа

История совершенных чисел заслуживает отдельной главы. Поиски совершенных чисел в некотором смысле можно сравнить с поисками знаков π. Несколько из них были известны с самого начала, а остальные находились по мере развития математики. Не обходилось и без ошибок, но со временем их исправляли. Сегодня, в эпоху компьютеров, при всех знаниях, что нам известны, все совершенные числа до сих пор не найдены. Более того, неизвестно даже, является множество совершенных чисел конечным или бесконечным.

Обложка первого английского издания «Начал» Евклида, датируемого 1570 годом.

* * *

ПИФАГОРОВЫ ТРОЙКИ

В «Началах» Евклида приводится общая формула для нахождения пифагоровых троек, то есть натуральных чисел, которые являются решениями уравнения а² + Ь² = с². Для этого выбираются произвольные натуральные числа m и n, причем m > n. Затем рассчитывается

а = m² – n²; b = 2mn; с = m² + n².

Полученные числа а, Ь, с удовлетворяют соотношению

а² + Ь² = (m² – n²)² + (2mn)² = m⁴ – 2m²n² + n⁴ + 4m²n² = m⁴ + 2m²n² + n⁴ = (m² + n²)² = с²,

следовательно, они образуют пифагорову тройку. Если мы выберем m и n так, чтобы они были взаимно простыми и только одно из них было четным, то по этой же формуле можно получить все примитивные пифагоровы тройки, то есть те, в которых а, b и с являются взаимно простыми. Отсюда следует, что существует бесконечное количество примитивных пифагоровых троек.

Для каждой тройки можно построить прямоугольный треугольник, длины сторон которого будут выражены целыми числами. Ферма доказал, что площадь таких треугольников никогда не может быть равна квадрату числа.

* * *

Слово «совершенные» больше связано с эстетикой, чем с математикой. Эти числа красивы не из-за каллиграфического написания, не потому, что их сложно найти и не из-за витиеватости определения. Вместо этого они обладают одним очень простым свойством.

Возьмем в качестве примера число 6. Его делители, то есть числа, на которые оно делится без остатка, – это 1, 2, 3 и 6. Удивительно, но 1 + 2 + 3 = 6, то есть сумма всех делителей, меньших 6, дает в сумме 6. Следующее совершенное число – 28. Его делители равны 1, 2, 4, 7, 14 и 28. Нетрудно видеть, что 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Следующее совершенное число – 496. Его делители таковы: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248 и 496, и нетрудно показать, что 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496. Следующее совершенное число – 8128, так как 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 = 8128. Эти четыре совершенных числа были известны еще в Античности. Евклид упоминает их в своей книге «Начала» и в теореме 36 книги IX приводит общую формулу для этих чисел.

Появление совершенных чисел

Примерно в 100 году философ Никомах Герасский, представитель неопифагореизма, написал «Введение в арифметику», где приводилась классификация всех чисел. Числа делились на избыточные (сумма делителей которых больше самого числа), недостаточные (сумма делителей которых меньше самого числа) и совершенные (сумма делителей которых равна самому числу). В этой книге объясняется формула Евклида для нахождения совершенных чисел, «которая охватывает все совершенные числа и не включает ни одного, которое таковым не является. Совершенные числа находятся так. Сначала нужно записать в ряд некоторое количество степеней двойки, начиная с единицы и заканчивая любым выбранным вами числом: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096. Для каждого нового члена нужно найти сумму этого ряда. Если результат не является составным числом, его нужно умножить на последнее число, добавленное в ряд. Результат умножения всегда будет совершенным числом. Если же сумма не является простым числом, нужно прибавить к ней следующий член ряда и посмотреть, является ли новая сумма составным числом. Если результат – составное число, нужно продолжать складывать члены ряда. Если же результат является простым числом, его нужно умножить на последний член ряда, результат будет совершенным числом, и так до бесконечности. Это легко проверить на конкретных примерах:

1 + 2 = 3 является простым, следовательно,

(1 + 2)·2 = 3·2 = 6 – совершенное число.

1 + 2 + 4 = 7 является простым, следовательно,

(1 + 2 + 4)·4 = 7·4 = 28 – совершенное число.

1 + 2 + 4 + 8 = 13 не является простым, поэтому мы пропускаем его.

Далее

1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 является простым, следовательно,

(1 + 2 + 4 + 8 + 16)·16 = 31·16 = 496 – совершенное число.

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63 не является простым, поэтому мы пропускаем его.

Наконец, 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127 – простое, следовательно,

(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64)·64 = 127·64 = 8128 – совершенное число.

С помощью этой формулы действительно можно найти первые четыре совершенных числа. Существует и другая, более простая формула для нахождения совершенных чисел. Нетрудно видеть, что если мы складываем степени двойки, начиная с нулевой и не пропуская ни одной, то результатом будет следующая степень двойки минус один, иными словами,

1 + 2 = 3 = 4–1 = 2² – 1;

1 + 2 + 4 = 7 = 8–1 = 2³ – 1;

1 + 2 + 4 + 8 = 15 = 16 – 1 = 2⁴  – 1.

И так далее. Таким образом, мы можем преобразовать формулу Евклида и записать ее в современной математической нотации:

6 = (2² – 1)·2

28 = (2³ – 1)·2²

496 = (2⁵ – 1)·2⁴

8128 = (2⁷ – 1)·2⁶.

И всякий раз, когда 2ⁿ – 1 простое число, (2n – 1)·2^n-1 будет совершенным числом.

Предположения о совершенных числах

Математики Античности, которым были известны первые четыре совершенных числа, выдвигали самые разнообразные предположения. Например, можно заметить, что значение n для первых четырех простых чисел является членом последовательности простых чисел 2, 3, 3, 7. Возникает соблазн предположить, что следующим совершенным числом будет (2¹¹ – 1)·2¹⁰, но это не так, потому что 2¹¹ – 1 = 2047 = 23·89. Это число не является простым, следовательно, n = 11 не соответствует совершенному числу.

Также было обнаружено, что первое совершенное число имеет одну цифру, второе – две, третье – три и так далее. Следовательно, считалось, что пятое совершенное число будет иметь пять цифр. Но это не так, потому что пятым совершенным числом является (2¹³ – 1)· 2¹²  = 8191·4096 = 33 350 336, которое имеет восемь цифр.

Древние также заметили, что последние цифры совершенных чисел чередуются: 6, 8, 6, 8, 6. Следовательно, шестое совершенное число должно заканчиваться на 8. Но и это предположение не подтвердилось, так как шестое совершенное число равно (2¹⁷ – 1)·2¹⁶ = 131 071·65 536 = 8 589 869 056 и заканчивается на 6.

Но не все предположения древних оказывались ошибочными. Они предполагали, что все совершенные числа будут четными и что с помощью данной формулы можно будет найти их все. Это очень легко предположить, но крайне сложно доказать. Лишь в XVIII веке Леонард Эйлер привел первое доказательство того, что подобным образом можно получить все четные совершенные числа. Следовательно, было доказано, что все совершенные числа оканчиваются на 6 или на 8, но эти цифры не чередуются. Но до сих пор неизвестно, существуют ли нечетные совершенные числа. Было лишь доказано, что если и существует нечетное совершенное число, то оно должно быть больше 10³⁰⁰. Однако это не доказывает, что нечетных совершенных чисел не существует, ведь что значат несколько триллионов по сравнению с необозримым бесконечным рядом натуральных чисел?

Портрет Леонарда Эйлера кисти Эмануэля Хандманна. Этот математик XVIII века совершил важные открытия, касающиеся совершенных и простых чисел.

Также была выдвинута гипотеза, что совершенных чисел бесконечно много, но пока это не удалось доказать. Постоянно объявляют о том, что открыто новое простое число Мерсенна. Каждому такому числу соответствует совершенное число. В настоящее время сотни добровольцев участвуют в проекте GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search), цель которого – поиск простых чисел Мерсенна. Участники проекта загружают на свои компьютеры программу, написанную Джорджем Вольтманом.

Результат коллективных усилий был объявлен 23 августа 2008 года – было найдено самое большое на тот момент простое число Мерсенна, 2^43112609  – 1. Ему соответствует самое большое из известных совершенных чисел, 2^43112608·(2^43112609 – 1), содержащее 25956376 цифр! 12 июня 2009 года было найдено еще одно простое число Мерсенна, на этот раз несколько меньшее: 2^42643801 – 1. Ему соответствовало сорок шестое совершенное число, равное 2^42643800·(2^42643801 – 1), состоящее из 25674128 цифр! И хотя они встречаются все реже, и каждое следующее намного больше предыдущего, никто не знает, действительно ли их на самом деле бесконечное множество. Участники проекта GIMPS продолжают поиски.

* * *

ПРОСТЫЕ ЧИСЛА ФЕРМА И ПОСЛЕДУЮЩИЕ ОТКРЫТИЯ

В 1650 году Ферма представил математическому сообществу одну из самых знаменитых задач в истории: нужно было показать, что все числа вида  являются простыми. Все указывало на то, что предположение Ферма было верным. Для n = 0 получим F₀ = 3 – простое число. Для n = 1 получим F₁ = 5 – тоже простое число. F₂ = 17, F₃ = 257 и F₄ = 65 537 – все это простые числа. Лишь в 1732 году Эйлер показал, что F₅ = 4294967297 = 641·6700417, следовательно, оно не является простым. Затем пришлось дождаться 1880 года, когда Ландри разложил на множители F₆ = 274177·67280421310721 настоящий подвиг для эпохи, когда все вычисления производились вручную. В 1975 году Моррисон и Бриллхарт сделали еще один шаг вперед, разложив на множители F₇ = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217·5704689200685129054721, на этот раз уже с помощью компьютера. До сегодняшнего дня не найдено больше ни одного простого числа Ферма, но также не доказано, что других таких чисел не существует. Однако разложить подобные числа на простые множители – задача, достойная титанов. Зачем нам знать, являются простыми числа подобного вида или нет? Один из ответов дал Гаусс, доказав, что правильный многоугольник можно вписать в окружность с помощью циркуля и линейки только тогда, когда разложение числа его сторон на простые множители содержит только двойки и разные простые числа Ферма.

Например, с помощью циркуля и линейки в окружность можно вписать треугольник (3 стороны), квадрат (4 = 2² стороны), пятиугольник (5 сторон), шестиугольник (6 = 2·3 сторон), восьмиугольник (8 = 2³ сторон) и десятиугольник (10 = 2·5 сторон), но не семиугольник (7 не является простым числом Ферма) и не девятиугольник (9 = З² равно произведению равных простых чисел Ферма). Хотя для этих случаев существуют приближенные построения, точное построение невозможно.

Портрет Карла Фридриха Гэусса.

* * *

АРАБСКАЯ ЗАДАЧА О ЖЕМЧУЖИНАХ

Мальба Тахан (этот псевдоним носил Жулио Сезар де Мелло и Соуза) в своей книге «Человек, который считал», изданной в 1949 году, предлагает очень красивую задачу. «Некий раджа оставил дочерям некоторое число жемчужин и повелел разделить их так: старшей дочери полагалась одна жемчужина и одна седьмая часть оставшихся, второй – две жемчужины и седьмая часть оставшихся, третьей – три жемчужины и одна седьмая часть оставшихся, и так далее для всех остальных дочерей. Младшие дочери обратились к судье, заявив, что этот способ совершенно несправедлив по отношению к ним. Судья славился умением решать задачи и быстро ответил, что просительницы ошибаются и что распределение, предложенное раджой, совершенно справедливо и честно. Судья был прав. После того как были поделены все жемчужины, оказалось, что каждой из дочерей досталось одинаковое число жемчужин. Сколько же было жемчужин и сколько дочерей было у раджи?»

Решение очень простое: жемчужин было 36, дочерей – 6. Первой дочери досталась одна жемчужина и одна седьмая от оставшихся 35, то есть 5. Получается, всего ей полагалось 6 жемчужин, осталось 30. Второй дочери досталось 2 жемчужины и седьмая часть от 28 оставшихся, то есть 4. Она получила 6 жемчужин, осталось 24. Третьей досталось 3 жемчужины и одна седьмая от 21 оставшейся, то есть еще 3, осталось 18. Четвертой досталось 4 из этих 18 и еще седьмая часть от 14, то есть 2. Следовательно, на ее долю также пришлось 6 жемчужин. Пятой дочери досталось 5 из оставшихся двенадцати и одна седьмая от 7 жемчужин, то есть 1, а всего 6. Младшей дочери достались 6 оставшихся жемчужин. Здесь красота задачи сочетается с красотой ее решения. Наследство в 36 драгоценных жемчужин досталось 6 прекрасным девушкам, 6 – совершенное число, а 36 – квадрат совершенного числа.

Графическое представление арабской задачи о жемчужинах