Текст книги "Большая Советская Энциклопедия (УР)"

Уравнение

Уравне'ние в математике, аналитическая запись задачи о разыскании значений аргументов, при которых значения двух данных функций равны. Аргументы, от которых зависят эти функции, называются обычно неизвестными, а значения неизвестных, при которых значения функций равны, – решениями (корнями); о таких значениях неизвестных говорят, что они удовлетворяют данному У. Например, 3x – 6 = 0 является У. с одним неизвестным, а х = 2 есть его решение; x² + y² = 25 является У. с двумя неизвестными, а х = 3,y = 4 есть одно из его решений. Совокупность решений данного У. зависит от области М значений, допускаемых для неизвестных. У. может не иметь решений в М, тогда оно называется неразрешимым в области М. Если У. разрешимо, то оно может иметь одно или несколько, или даже бесконечное множество решений. Например, У. x⁴ – 4 = 0 неразрешимо в области рациональных чисел, но имеет два решения:

  x₁ =

= –

=

, x

= –

, x

= i

, x

= –

х =

 

  Совокупность У., для которых требуется найти значения неизвестных, удовлетворяющие одновременно всем этим У., называется системой У.; значения неизвестных, удовлетворяющих одновременно всем У. системы, – решениями системы. Например, х + 2y = 5, 2x + у – z = 1 является системой двух У. с тремя неизвестными; одним из решений этой системы является х = 1, у = 2, z = 3.

  Две системы У. (или два У.) называются равносильными, если каждое решение одной системы (одного У.) является решением др. системы (другого У.), и наоборот, причём обе системы (оба У.) рассматриваются в одной и той же области (см. Равносильные уравнения ). Например, У. х – 4 = 0 и 2x – 8 = 0 равносильны, т.к. решением обоих У. является лишь х = 4. Всякая система У. равносильна системе вида f_k (x₁, x₂,..., х_п ) = 0, где k = 1, 2,... Процесс разыскания решений У. заключается обычно в замене У. равносильным. В некоторых случаях приходится заменять данное У. другим, для которого совокупность решений шире, чем у данного У. Решения нового У., не являющиеся решениями данного У., называются посторонними решениями (см. Посторонний корень ).

  Например, возводя в квадрат У. , получают У. x – 3 = 4, решение которого х = 7 является посторонним для исходного У. Поэтому, если при решении У. делались действия, могущие привести к появлению посторонних решений (например, возведение У. в квадрат), то все полученные решения преобразованного У. проверяют подстановкой в исходное У.

  Наиболее изучены У., для которых функции f_k являются многочленами от переменных x₁, x₂,..., х_п, – алгебраические У. Например, алгебраическое У. с одним неизвестным имеет вид:

  a_{xⁿ + a1x^n-1 +... + an = 0 (a0 ¹ 0); (*)}

  число n называется степенью У. Решение алгебраич. У. было одной из важнейших задач алгебры в 16–17 вв., когда были получены формулы и методы решения алгебраических У. 3-й и 4-й степеней (см. Алгебра , Кардано формула ) (правила решения алгебраических У. 1-й и 2-й степеней были известны ещё в глубокой древности). Для корней У. 5-й и высших степеней общей формулы не существует, поскольку эти У., вообще говоря, не могут быть решены в радикалах (Н. Абель , 1824). Вопрос о разрешимости алгебраических У. в радикалах привёл (около 1830) Э. Галуа к общей теории алгебраических У. (см. Галуа теория ).

  Каждое алгебраическое У. всегда имеет хотя бы одно решение, действительное или комплексное. Это составляет содержание т. н. основной теоремы алгебры, строгое доказательство которой впервые было дано К. Гауссом в 1799. Если a – решение У. (*), то многочлен a_{xⁿ + a1x^n-1 +... + an делится на х – a. Если он делится на (х – a) ^k, но не делится на (х – a) ^k+1 , то решение a имеет кратность k. Число всех решений У. (*), если каждое считать столько раз, какова его кратность, равно n .}

  Если f (x ) – трансцендентная функция , то У. f (x ) = 0 называются трансцендентным (см., например, Кеплера уравнение ), причём в зависимости от вида f (x ) оно называется тригонометрическим У., логарифмическим У., показательным У. Рассматриваются также иррациональные У., то есть У., содержащие неизвестное под знаком радикала. При практическом решении У. обычно применяются различные приближённые методы решения У.

  Среди систем У. простейшими являются системы линейных У., то есть У., в которых f_k суть многочлены первых степеней относительно x₁, x₂,..., х_п (см. Линейное уравнение ).

  Решение системы У. (не обязательно линейных) сводится, вообще говоря, к решению одного У. при помощи т. н. исключения неизвестных (см. также Результант ).

  В аналитической геометрии одно У. с двумя неизвестными интерпретируется при помощи кривой на плоскости, координаты всех точек которой удовлетворяют данному У. Одно У. с тремя неизвестными интерпретируется при помощи поверхности в трёхмерном пространстве. При этой интерпретации решение системы У. совпадает с задачей о разыскании точек пересечения линий, поверхностей и т.д. У. с большим числом неизвестных интерпретируются при помощи многообразий в n -мерных пространствах.

  В теории чисел рассматриваются неопределенные У., то есть У. с несколькими неизвестными, для которых ищутся целые или же рациональные решения (см. Диофантовы уравнения ). Например, целые решения У. x² + y² = z² вид х = m²-n², у = 2 mn, z = m² + n² где m и n – целые числа.

  С наиболее общей точки зрения, У. является записью задачи о разыскании таких элементов некоторого множества А, что F (a ) = Ф (а ), где F и Ф – заданные отображения множества А в множество В. Если множества А и В являются множествами чисел, то возникают У. рассмотренного выше вида. Если А и В – множества точек в многомерных пространствах, то получаются системы У., если же A и В – множества функций, то в зависимости от характера отображения могут получаться также дифференциальные уравнения , интегральные уравнения и др. виды У. Наряду с вопросами нахождения решения У. в общей теории У. различного вида изучаются вопросы существования и единственности решения, непрерывной зависимости его от тех или иных данных и т.д.

  Термин «У.» употребляется (в отличном от указанного выше смысле) и в др. естественных науках, см., например, Уравнение времени (в астрономии), Уравнение состояния (в физике), Уравнения химические , Максвелла уравнения в электродинамике, Кинетическое уравнение Больцмана в теории газов.

Уравнение времени

Уравне'ние вре'мени, разность между средним и истинным солнечным временем; равна разности прямых восхождений истинного и среднего Солнца. Часто У. в. определяют как разность истинного и среднего времени; в этом случае оно имеет противоположный знак, что нужно иметь в виду при пользовании справочниками.

  У. в. непрерывно меняется. Это обусловлено тем, что истинное солнечное время, измеряемое часовым углом истинного Солнца, течёт неравномерно вследствие, во-первых, неравномерности движения Земли по орбите и, во-вторых, наклона эклиптики к экватору. Поэтому У. в. получается в результате сложения двух волн приблизительно синусоидальной формы и почти равной амплитуды (см. рис. ). Одна из этих волн имеет годичный, другая – полугодичный периоды. Четыре раза в году, а именно: около 16 апреля, 14 июня, 1 сентября и 25 декабря У. в. равно нулю и достигает 4 раза наибольшего значения (по абсолютной величине): около 12 февраля + 14,3 мин, 15 мая – 3,8 мин, 27 июля + 6,4 мин и 4 ноября – 16,4 мин. С помощью У. в. может быть найдено среднее местное солнечное время, если известно истинное солнечное время, определённое по наблюдениям Солнца, например с помощью солнечных часов; при этом пользуются формулой:

  m = m _{+ h,}

  где m – среднее время, m _{– истинное время, h – У. в. Значения У. в. на каждый день даются в астрономических ежегодниках и календарях. См. Время .}

График уравнения времени: 1 – составляющая уравнения времени, определяемая неравномерностью движения Земли по орбите; 2 – составляющая уравнения времени, определяемая наклоном эклиптики к экватору; 3 – уравнение времени.

Уравнение состояния

Уравне'ние состоя'ния, связывает давление р, объём V и температуру Т физически однородной системы в состоянии равновесия термодинамического : f (p, V, Т ) = 0. Это уравнение называется термическим У. с., в отличие от калорического У. с., определяющего внутреннюю энергию системы U как функцию какого-либо двух из трёх параметров р, V, Т. Термическое У. с. позволяет выразить давление через объём и температуру р = p (V, Т ) и определить элементарную работу dA = = p dV при бесконечно малом расширении системы dV . У. с. является необходимым дополнением к термодинамическим законам, которое делает возможным их применение к реальным веществам. Оно не может быть выведено с помощью одних только законов термодинамики , а определяется или рассчитывается теоретически на основе представлений о строении вещества методами статистической физики . Из первого начала термодинамики следует лишь существование калорического У. с., а из второго начала термодинамики – связь между термическим и калорическим У. с. , откуда вытекает, что для идеального газа внутренняя энергия не зависит от объёма  = 0. Термодинамика показывает, что для вычисления как термического, так и калорического У. с., достаточно знать любой из потенциалов термодинамическихв виде функции своих параметров. Например, если известна Гельмгольцева энергия F как функция Т и V, то У. с. находят дифференцированием:

  , .

  Примерами У. с. для газов может служить Клапейрона уравнение для идеального газа p u = RT, где R – газовая постоянная , u – объём 1 моля газа;

  Ван-дер-Ваальса уравнение

, где а и b – постоянные, зависящие от природы газа и учитывающие влияние сил притяжения между молекулами и конечность из объёма, вириальное У. с. для неидеального pu / RT = 1 + B (T )/ u + С (Т )/ u² + .., где В (Т ), С (Т )... – 2-й, 3-й и т.д. вириальные коэффициенты, зависящие от сил взаимодействия между молекулами (см. Газы ). Это уравнение является наиболее надёжным и теоретически обоснованным У. с. для газов и позволяет объяснить многочисленные экспериментальные результаты на основании простых моделей межмолекулярного взаимодействия . Были предложены также различные эмпирические У. с., основанные на экспериментальных данных о теплоёмкости и сжимаемости. У. с. неидеальных газов указывает на существование критической точки (с параметрами p_k, V_k, T_k ), в которой газообразная и жидкая фазы становятся идентичными (см. Критическое состояние ). Если У. с. представить в виде приведенного У. с., т. е. в безразмерных переменных p/p_k, V/V_k, T/T_k, то при не слишком низких температурах это уравнение мало меняется для различных веществ (закон соответственных состояний ).

  Для равновесного излучения, или фотонного газа, У. с. определяется Планка законом излучения для средней плотности энергии.

  Для жидкостей из-за сложности учёта всех особенностей взаимодействия молекул пока не удалось теоретически получить общее У. с. Уравнение Ван-дер-Ваальса хотя и применяют для качественной оценки поведения жидкостей, но оно по существу неприменимо ниже критической точки, когда возможно сосуществование жидкой и газообразной фаз. У. с., хорошо описывающее свойства ряда простых жидкостей, можно получить из приближённых теорий жидкого состояния типа теории свободного объёма или дырочной теории (см. Жидкость ). Знание распределения вероятности взаимного расположения молекул (парной корреляционной функции) принципиально позволяет вычислить У. с. жидкости, но эта задача очень сложна и полностью ещё не решена даже с помощью вычислительных машин.

  Для твёрдых тел термическое У. с. определяет зависимость модулей упругости от температуры и давления. Оно может быть получено на основании теории теплового движения в кристаллах, рассматривающей фононы и их взаимодействие, но пока общего У. с. для твёрдых тел не найдено.

  Для магнитных сред элементарная работа при намагничивании равна dA = -Н dМ, где М – магнитный момент, Н – напряжённость магнитного поля. Следовательно, зависимость М = М (Н, Т ) представляет собой магнитное У. с.

  Для электрически поляризуемых сред элементарная работа при поляризации равна dA = -Е dР где Р – поляризация, Е – напряжённость электрического поля, следовательно, У. с. имеет вид Р = (Е, Т ).

  Лит.: Хилл Т., Статистическая механика, пер. с англ., М., 1960; Вукалович М. П., Новиков И. И., Уравнение состояния реальных газов, М. – Л., 1948; Мейсон Э., Сперлинг Т., Вириальное уравнение состояния, пер. с англ., М., 1972; Лейбфрид Г., Людвиг В., Теория ангармонических эффектов в кристаллах, пер. с англ., М., 1963. См. также лит. при статьях Статистическая физика и Термодинамика .

  Д. Н. Зубарев.

Уравнения математической физики

Уравне'ния математи'ческой фи'зики, дифференциальные уравнения с частными производными, а также некоторые родственные уравнения иных типов (интегральные, интегро-дифференциальные и т.д.), к которым приводит математический анализ физических явлений. Для теории У. м. ф. характерна постановка задач в таком виде, как это необходимо при исследовании физического явления. Круг У. м. ф. с расширением области применения математического анализа также неуклонно расширяется. При систематизации полученных результатов появляется необходимость включить в теорию У. м. ф. уравнения и задачи более общего вида, чем те, которые появляются при анализе конкретных явлений; однако и для таких уравнений и задач характерно то, что их свойства допускают более или менее наглядное физическое истолкование (см. Математическая физика ).

  Классификация уравнений математической физики. Значительная часть У. м. ф. составляют линейные уравнения с частными производными 2-го порядка общего вида:

  , (1)

  где все коэффициенты a_ij (a_ij = a_ij ), b_i, с и правая часть f представляют собой заданные функции независимых переменных x₁, x₂,..., х_п (n ³ 2), а u – искомая функция тех же аргументов. Свойства решений уравнения (1) существенно зависят от знаков корней (алгебраического относительно l) уравнения

   = 0, (2)

  и поэтому классификация уравнений (1) проводится в соответствии с этими знаками. Если все n корней уравнения (2) имеют одинаковый знак, то говорят, что уравнение (1) принадлежит к эллиптическому типу; если один из корней имеет знак, противоположный знаку остальных n – 1 корней, – к гиперболическому типу; наконец, если уравнение (2) имеет один нулевой корень, а прочие корни одинакового знака, – к параболическому типу. Если коэффициенты a_ij постоянны, то уравнение (1) принадлежит к определенному типу независимо от значений аргументов; если же эти коэффициенты зависят от x₁,..., х_п, то и корни уравнения (2) зависят от x₁,..., х_п, а потому уравнение (1) может принадлежать к разным типам при различных значениях аргументов. В последнем случае (уравнение смешанного типа) изучаемая область изменения аргументов состоит из зон, в которых тип уравнения (1) сохраняется. Если корень уравнения (2), переходя от положительных значений к отрицательным, обращается в нуль, то между зонами эллиптичности и гиперболичности расположены зоны параболичности (надо отметить, что и в ряде др. отношений параболического уравнения занимают промежуточное положение между эллиптическими и гиперболическими).

  Для линейных уравнений с частными производными выше 2-го порядка и для систем уравнений с несколькими искомыми функциями классификация более сложна.

  Основные примеры уравнений математической физики.

  Волновое уравнение :

 

  – простейшее уравнение гиперболического типа, а также соответствующие неоднородные уравнения (в правой части которых добавлены известные функции) – телеграфное уравнение и т.д. Уравнения и системы этого типа появляются при анализе различных колебаний и волновых процессов. Свойства уравнений и систем гиперболического типа во многом аналогичны свойствам приведённых простейших таких уравнений.

  Лапласа уравнение :

 

  – простейшее уравнение эллиптического типа и соответствующее неоднородное уравнение – Пуассона уравнение . Уравнения и системы эллиптического типа появляются обычно при анализе стационарных состояний. Теплопроводности уравнение :

 

  – простейший пример уравнения параболического типа. Уравнения и системы параболического типа появляются обычно при анализе процессов выравнивания.

  Первым примером уравнений смешанного типа явилось т. н. уравнение Трикоми:

 

  Для этого уравнения полуплоскость  служит зоной эллиптичности, полуплоскость у < 0 – зоной гиперболичности, а прямая у = 0 – зоной параболичности.

  Ряд задач математической физики приводит к интегральным уравнениям различных типов. Так, например, интегральные уравнения Вольтерра возникают в тех задачах физики, в которых существует предпочтительное направление изменения независимого переменного (например, времени, энергии и т.д.). В задаче о крутильных колебаниях возникает некоторое интегро-дифференциальное уравнение .

  Постановка задач и методы решения уравнений математической физики. На первом этапе развития теории У. м. ф. много усилий было затрачено на отыскание их общего решения. Уже Ж. Д'Аламбер (1747) получил общее решение волнового уравнения. Основываясь на подстановках, применявшихся Л. Эйлером (1770), П. Лаплас предложил (1773) «каскадный метод», дающий общее решение некоторых др. линейных однородных гиперболических уравнений 2-го порядка с двумя аргументами. Однако такое общее решение удалось найти в весьма редких случаях; в отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений, для уравнений с частными производными не выделено ни одного сколько-нибудь значительного класса уравнений, для которых общее решение может быть получено в виде достаточно простой формулы. Кроме того, оказалось что при анализе физических процессов У. м. ф. обычно появляются вместе с дополнительными условиями, характер которых коренным образом влияет на направление исследования решения (см. Краевые задачи , Коши задача ).

  Широкое распространение получили методы приближённого решения краевых задач, в которых задача сводится к решению системы алгебраических (обычно линейных) уравнений (см. Ритца и Галёркина методы . Сеток метод ). При этом за счёт увеличения числа неизвестных в системе можно достичь любой степени точности приближения.

  Лит.: Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 2 изд., М., 1971; Годунове. К., Уравнения математической физики, М., 1971; Соболев С. Л., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1966; Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1972.

Назад к карточке книги "Большая Советская Энциклопедия (УР)"