Текст книги "Загадки, фокусы и развлечения (сборник)"

Автор книги: Яков Перельман

сообщить о нарушении

Текущая страница: 3 (всего у книги 9 страниц) [доступный отрывок для чтения: 4 страниц]

Награда

Вот что, по преданию, произошло много веков тому назад в древнем Риме [2] .

I

Полководец Теренций по приказу императора совершил победоносный поход и с трофеями вернулся в Рим. Прибыв в столицу, он просил допустить его к императору.

Император ласково принял полководца, сердечно благодарил его за военные услуги империи и обещал в награду дать ему высокое положение в сенате.

Но Теренцию нужно было не это. Он возразил:

– Много побед одержал я, чтобы возвысить твое могущество, государь, и окружить имя твое славой. Я не страшился смерти, и будь у меня не одна, а много жизней, я все их принес бы тебе в жертву. Но я устал воевать; прошла молодость, кровь медленнее бежит в моих жилах. Наступила пора отдохнуть в доме моих предков и насладиться радостями домашней жизни.

– Чего же желал бы ты от меня, Теренций? – спросил император.

– Выслушай со снисхождением, государь. За долгие годы военной жизни, изо дня в день обагряя меч свой кровью, я не успел устроить себе денежного благополучия. Я беден, государь…

– Продолжай, храбрый Теренций.

– Если хочешь даровать награду скромному слуге твоему, – продолжал ободренный полководец, – то пусть щедрость твоя поможет мне дожить жизнь в достатке и мире подле домашнего очага. Я не ищу почестей и высокого положения во всемогущем сенате. Я желал бы удалиться от власти и от жизни общественной, чтобы отдохнуть на покое. Государь, дай мне денег для обеспечения остатка моей жизни.

Император, – гласит предание, – не отличался широкой щедростью. Он любил копить деньги для себя и скупо тратил их на другие нужды. Просьба полководца заставила его задуматься.

– Какую же сумму, Теренций, считал бы ты для себя достаточной? – спросил он.

– Миллион динариев, государь.

Снова задумался император. Полководец ждал, опустив голову. Наконец, император заговорил:

– Доблестный Теренций! Ты великий воин, и славные подвиги твои заслужили щедрой награды. Я дам тебе богатство. Завтра в полдень ты услышишь здесь мое решение.

Теренций поклонился и вышел.

II

На следующий день в назначенныый час полководец явился во дворец императора.

– Привет тебе, храбрый Теренций! – сказал император.

Теренций смиренно наклонил голову.

– Я пришел, государь, чтобы выслушать твое решение. Ты милостиво обещал вознаградить меня.

Император ответил:

– Я не хочу, чтобы такой благородный воитель, как ты, получил за свои подвиги жалкую награду. Выслушай же меня. В моем казначействе лежит 5 миллионов медных брассов [3] . Теперь внимай моим словам. Ты войдешь в казначейство, возьмешь одну монету в руки, вернешься сюда и положишь ее к моим ногам. На другой день вновь пойдешь в казначейство, возьмешь монету, равную двум брассам и положишь здесь рядом с первой. В третий день принесешь монету, стоящую 4 брасса, в четвертый – стоящую 8 брассов, в пятый – 16, и так далее, все удваивая стоимость монеты. Я прикажу ежедневно изготовлять для тебя монеты надлежащей ценности. И пока хватит у тебя сил поднимать монеты, ты будешь выносить их из моего казначейства. Никто не должен помогать тебе, ты можешь пользоваться только собственными силами. И когда заметишь, что уже не можешь больше поднять монету – остановись: уговор наш кончится, но все монеты, которые удастся тебе из казначейства вынести, останутся навсегда твоими и послужат тебе наградой.

Жадно слушал Теренций каждое слово императора. Ему чудилось уже огромное множество монет, которое он вынесет из государственного казначейства…

Несколько мгновений он размышлял, потом ответил с радостной улыбкой:

– Я доволен твоею милостью, государь. Поистине щедра награда твоя!

III

Начались ежедневные посещения Теренцием государственного казначейства. Оно помещалось невдалеке от приемной залы императора, и первые переходы с монетами не стоили Теренцию никаких усилий.

В первый день вынес он из казначейства всего один брасс. Это небольшая монета, 21 миллиметр в поперечнике и 5 граммов весом.

Столь же легки были второй, третий, четвертый, пятый и шестой переходы, когда полководец выносил монеты двойного, четверного, 8-кратного, 16-кратного и 32-кратного веса.

Седьмая монета весила на наши современные меры 320 граммов и имела в поперечнике 8 1/2 сантиметров (точнее, 84 миллиметра) [4] .

На восьмой день Теренцию пришлось вынести из казначейства монету, соответствующую 128 единичным монетам. Она весила 640 граммов и была шириною около 10 1/2 сантиметров.

На девятый день Теренций принес в императорскую залу монету в 256 единичных монет. Она имела 13 сантиметров в ширину и весила более 1 1/4 килограмма.

На 12-й день монета достигла почти 27 сантиметров в поперечнике и весила 10 1/4 килограммов.

Император, до сих пор смотревший только приветливо на полководца, теперь не скрывал своего радостного чувства. Он видел, что сделано уже 12 переходов, а вынесено из казначейства всего только 2000 с небольшим медных монет.

Тринадцатый день доставил храброму Теренцию монету, равную 4096 единичным монетам. Она имела около 34 сантиметров в ширину, а вес ее равнялся 20 1/2 килограммам.

На четырнадцатый день Теренций вынес из казначейства тяжелую монету в 41 килограмм весом и около 42 сантиметров шириною.

– Не устал ли ты, мой храбрый Теренций? – спросил его император, сдерживая улыбку.

– Нет, государь мой, – хмуро ответил полководец, отирая пот со лба.

Наступил 15-й день. Тяжела была на этот раз ноша Теренция. Медленно брел он к императору, неся огромную монету, составленную из 16384 единичных монет. Она достигала 53 сантиметров в ширину и весила 80 килограммов – тяжесть рослого воина.

На 16-й день полководец шатался под ношей, лежавшей на его спине. Это была монета, равная 32768 единичным монетам и весящая 164 килограмма; поперечник ее достигал 67 сантиметров.

Полководец был обессилен и тяжело дышал. Император улыбался…

Когда Теренций явился в приемную залу императора на следующий день, он был встречен громким смехом. Он не мог уже нести свою ношу в руках, а катил ее впереди себя. Монета имела в поперечнике 84 сантиметра и весила 328 килограммов. Она соответствовала весу 65536 единичных монет.

Восемнадцатый день был последним днем обогащения Теренция. В этот день кончились его посещения казначейства и странствования с ношей в залу императора. Ему пришлось доставить на этот раз монету, соответствовавшую 131072 единичным монетам. Она имела 107 сантиметров в поперечнике и весила 655 килограммов. Пользуясь своим копьем как рычагом, Теренций с величайшим напряжением сил едва вкатил ее в залу. С грохотом упала исполинская монета к ногам императора.

Теренций был совершенно измучен.

– Не могу больше. Довольно, – прошептал он.

Император с трудом подавил смех удовольствия, видя полный успех своей хитрости. Он приказал казначею исчислить, сколько всего брассов вынес Теренций в приемную залу.

Казначей исполнил поручение и сказал:

– Государь, благодаря твоей щедрости победоносный воитель Теренций получил в награду 262143 брасса.

Итак, скупой император дал полководцу менее 20-й части той суммы в миллион динариев, которую просил Теренций.

Легенда о шахматной доске

Шахматы – одна из самых древних игр. Она существует уже около двух тысяч лет, и неудивительно, что с ее возникновением связаны предания, правдивость которых, за давностью времени, невозможно проверить. Одну из подобных легенд я и хочу рассказать. Чтобы понять ее, не нужно вовсе уметь играть в шахматы: достаточно знать, что игра происходит на доске, разграфленной на 64 клетки (попеременно черные и белые).

I

Шахматная игра была придумана в Индии, и когда царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку.

Изобретатель – его звали Сета – явился к трону повелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников.

– Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал, – сказал царь.

Мудрец поклонился.

– Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твое пожелание. Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь ее.

Сета молчал.

– Не робей, – ободрил его царь. – Выскажи свое желание. Я не пожалею ничего, чтобы исполнить его.

– Велика доброта твоя, повелитель. Но дай срок обдумать ответ. Завтра, по зрелом размышлении, я сообщу тебе мою просьбу.

Царь отпустил его.

Когда на другой день Сета снова явился к ступеням трона, он изумил царя беспримерной скромностью своей просьбы.

– Повелитель, – сказал он, – прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.

– Простое пшеничное зерно? – удивился царь.

– Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью – 4, за четвертую – 8, за пятую – 16, за шестую – 32…

– Довольно, – с раздражением прервал его царь. – Ты получишь свои жалкие зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое против предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Требуя такую ничтожную награду, ты безрассудно пренебрегаешь моею милостью. Поистине, как учитель, ты мог бы показать лучший пример уважения к доброте твоего государя. Ступай. Слуги мои вынесут тебе мешок с твоей пшеницей.

Сета улыбнулся, покинул залу и стал дожидаться у ворот дворца.

II

За обедом царь вспомнил об изобретателе шахмат и послал узнать, унес ли уже безрассудный Сета свою награду.

– Повелитель, – был ответ, – приказание твое исполняется. Придворные математики подсчитывают число следуемых зерен.

Царь нахмурился. Он не привык, чтобы повеления его исполнялись так медлительно.

Вечером, отходя ко сну, царь еще раз осведомился, давно ли Сета со своим мешком пшеницы покинул ограду дворца.

– Повелитель, – ответили ему, – твои математики трудятся без устали и надеются еще до рассвета закончить подсчет.

– Почему медлят с этим пустым делом? – гневно воскликнул царь. – Завтра, прежде чем я проснусь, все до последнего зерна должно быть выдано Сете. Я дважды не приказываю!

Утром царю доложили, что старшина придворных математиков просит выслушать важное донесение. Царь приказал ввести его.

– Прежде чем скажешь о твоем деле, – объявил Шерам, – я желаю услышать, выдана ли, наконец, Сете та жалкая награда, которую он себе назначил?

– Ради этого я и осмелился явиться перед тобой в столь ранний час, – ответил старик. – Мы добросовестно исчислили все количество зерен, которое желает получить Сета. Число это так велико…

– Как бы велико оно ни было, – перебил царь, – житницы мои не оскудеют. Награда обещана и должна быть выдана…

– Повелитель, не в твоей власти исполнять подобные желания. Во всех амбарах твоих нет такого числа зерен, какое потребовал Сета. Нет его и в житницах целого царства. Нет такого числа зерен и на всем пространстве земли. И если желаешь непременно выдать обещанную награду, то прикажи превратить все земные царства в пахотные поля, прикажи осушить моря и океаны, прикажи растопить льды и снега, покрывающие далекие северные пустыни. Пусть все эти пространства будут сплошь засеяны пшеницей. И все, что родится на этих полях, прикажи отдать Сете. Тогда он получит свою награду.

С изумлением внимал царь словам старца.

– Назови же мне это чудовищное число, – сказал он в раздумьи.

– Восемнадцать триллионов четыреста сорок шесть тысяч семьсот сорок четыре биллиона семьдесят три тысячи семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча пятьсот пятнадцать зерен. В биллионе, повелитель, миллион миллионов, а в триллионе миллион биллионов [5] .

III

Такова легенда. Действительно ли было то, что здесь рассказано, неизвестно, – но что награда, о которой говорит предание, должна была исчисляться именно таким числом, в этом вы можете сами убедиться терпеливым подсчетом. Начав с единицы, нужно сложить числа: 1, 2, 4, 8, и т. д. Результат 63-го удвоения покажет, сколько причиталось изобретателю за 64-ую клетку доски. Поступая, как объяснено было на стр. 54, мы без труда найдем все число следуемых зерен, если удвоим последнее число и отнимем одну единицу. Следовательно, подсчет сводится к перемножению 64 двоек:

2 x 2 x 2 x 2 x 2 и т. д. 64 раза.

Для облегчения выкладок разделим эти 64 множителя на 6 групп по 10 двоек в каждой и одну последнюю группу из 4 двоек. Произведение 10 двоек, как легко убедиться, равно 1024, а 4-х двоек – 16. Значит, искомый результат равен

1024 x 1024 x 1024 x 1024 x 1024 x 1024 x 16

Перемножив 1024 x 1024, получим 1048576. Теперь остается найти 1048576 x 1048576 x 1048576 x 16,

отнять от результата одну единицу – и нам станет известно искомое число зерен: 18 446 744 073 709 551 615.

Если желаете представить себе всю огромность этого числового великана, прикиньте, какой величины амбар потребовался бы для вмещения такого количества зерен. Известно, что кубический метр пшеницы (примерно 5 четвертей) вмещает около 15 миллионов зерен. Значит, награда шахматного изобретателя должна была бы занять объем в 12000000000000 кубических метров (или 12000 кубических километров). При высоте амбара в 4 метра и ширине 10 метров длина его должна была бы простираться на 300000000 километров, – т. е. вдвое дальше, чем от Земли до Солнца! IV

Разумеется, индусский царь не в состоянии был выдать подобной награды. Но он легко мог освободится от столь обременительного долга. Для этого нужно было лишь предложить Сете самому отсчитать себе, зерно за зерном, всю причитающуюся ему пшеницу.

В самом деле: если бы Сета, принявшись за счет, вел его непрерывно день и ночь, отсчитывая по зерну в секунду, он в первые сутки отсчитал бы всего 86400 зерен (4 четверика). Чтобы отсчитать миллион зерен, ему понадобилось бы не менее 10 суток неустанного счета. Один кубический метр пшеницы он отсчитал бы примерно за полгода: это дало бы ему всего 5 четвертей. Считая не прерывно в течение 10 лет, он отсчитал бы себе не более 100 четвертей. Вы видите, что, посвятив счету даже весь остаток своей жизни, Сета получил бы лишь ничтожную часть потребованной им награды…

Быстрое размножение

Спелая маковая головка полна крошечных зернышек; из каждого может вырасти целое растение. Сколько же получится маков, если все зернышки прорастут? Чтобы узнать это, надо сосчитать зернышки в целой головке. Скучное занятие, но результат подсчета так интересен, что стóит запастись терпением и довести его до конца. Оказывается, одна головка мака содержит круглым числом 3000 зернышек!

Что отсюда следует? То, что будь вокруг нашего макового растения достаточно подходящей земли, каждое упавшее зернышко дало бы росток, и на будущее лето на этом месте вырасло бы уже 3000 маков. Целое маковое поле от одной головки!

Посмотрим же, что будет дальше. Каждое из 3000 растений принесет не менее одной головки (чаще приносит несколько), содержащей 3000 зерен; проросши, семена каждой головки дадут 3000 новых растений, и, следовательно, на второй год у нас будет уже не менее

3000 x 3000 = 9000000 растений.

Легко рассчитать, что на третий год число потомков нашего единственного мака уже будет достигать 9000000 x 3000 = 27000000000.

А на четвертый год 27000000000 x 3000 = 81000000000000.

На пятом году макам будет уже положительно тесно на земном шаре, потому что число растений будет равно 81000000000000 x 3000 = 243000000000000000;

поверхность же всей суши, т. е. всех материков и островов земного шара, составляет только 135000000000000 квадр. метров.

Вы видите, что если бы все зернышки мака прорастали, то потомство одного растения могло бы всего в пять лет покрыть сплошь всю сушу земного шара густой зарослью по две тысячи растений на каждом квадратном метре. Вот какой числовой великан скрывается в обыкновенном маковом зернышке!

Сделав подобный же расчет не для мака, а для какого-нибудь другого растения, приносящего меньше семян, вы пришли бы к такому же результату, но только потомство его покрыло бы всю Землю не в 5 лет, а в несколько больший срок. Возьмем, например, одуванчик, приносящий ежегодно около 100 семянок. Если бы все они прорастали, мы имели бы:

в 1-й год 1 растение

» 2-й » 100 растений

» 3-й » 10.000 »

» 4-й » 1.000.000 »

» 5-й » 100.000.000 »

» 6-й » 10.000.000.000 »

» 7-й » 1.000.000.000.000 »

» 8-й » 100.000.000.000.000 »

» 9-й » 10.000.000.000.000.000 »

Следовательно, на 9-м году все материки были бы покрыты одуванчиками по 70 на каждый квадратный метр.

Почему же в действительности мы не наблюдаем такого чудовищно быстрого размножения? Потому что огромное большинство семян погибает, не давая ростков:

они или не попадают на подходящую почву и вовсе не прорастают, или, начав прорастать, заглушаются другими растениями, или же, наконец, просто истребляются животными. Но если бы этого массового уничтожения семян и ростков не было, то каждое растение в короткое время покрыло бы сплошь всю нашу планету.

Это верно и для животных. Если бы не было смерти, то потомство одной пары любого животного рано или поздно заполнило бы всю Землю. Полчища саранчи, сплошь покрывающие огромные пространства, могут дать нам некоторое представление о том, что было бы, если бы смерть не препятствовала размножению живых существ.

В каких-нибудь два-три десятка лет все материки заросли бы непроходимыми лесами и степями, где кишели бы миллионы животных, борющихся между собою за место. Океан наполнился бы рыбой до того густо, что никакое судоходство не было бы возможно. А воздух стал бы непрозрачен от множества птиц и насекомых…

В заключение рассмотрим для примера, как быстро размножается комнатная муха. Пусть каждая муха откладывает 120 яичек и пусть в течение лета успевает появляться 7 поколений мух. За начало первой кладки примем 15 апреля и будем считать, что муха-самка в 20 дней успевает вырости настолько, что сама откладывает яйца. Тогда размножение будет происходить так:

15 апреля – самка отложила 120 яиц,

в начале мая – вышло 120 мух, из них 60 самок,

5 мая – каждая самка кладет 120 яиц,

в середине мая – выходит 60 x 120 = 7200 мух; из них 3600 самок;

25 мая – каждая из 3600 самок кладет по 120 яиц;

в начале июня – выходит 3600 x 120 = 432000 мух, из них 216000 самок;

14 июня – каждая из 216000 самок кладет по 120 яиц;

в конце июня выходит 25920000 мух, в том числе 12960000 самок;

5 июля – 12960000 самок кладут по 120 яиц;

в июле – выходит 1555200000 мух; среди них 777600000 самок;

25 июля – выходит 93312000000 мух; среди них 46656000000 самок;

13 августа – выходит 5598720000000 мух; среди них 2799360000000 самок;

1 сентября – выходит 335923200000000 мух.

Чтобы яснее представить себе огромную массу мух, которые при беспрепятственном размножении могли бы народиться от одной пары, вообразим, что они выстроены в прямую линию, одна возле другой. Так как длина мухи 7 миллиметров, то все эти мухи вытянулись бы на 2500 миллионов километров – в 18 раз дальше, чем от Земли до Солнца (т. е. примерно как от Земли до планеты Уран).

Бесплатный обед

I

Десять молодых людей решили отпраздновать окончание школы товарищеским обедом в ресторане. Когда все собрались и первое блюдо было подано, заспорили о том, как усесться вокруг стола. Одни считали необходимым разместиться в алфавитном порядке, другие – по возрасту, третьи – по степени успешности, четвертые – по росту и т. п. Спор затянулся, суп успел простыть, а за стол никто не садился.

Примирил всех официант, обратившийся к ним с такой речью:

– Молодые друзья мои, оставьте ваши пререкания. Сядьте за стол, как кому придется, и выслушайте меня.

Все сели как попало. Официант продолжал:

– Пусть один из вас запишет, в каком порядке вы сейчас сидите. Завтра вы снова явитесь сюда пообедать и разместитесь уже в ином порядке. Послезавтра опять сядете по-новому и т. д., пока не перепробуете всех возможных размещений. Когда же придет черед вновь сесть так, как вы сидите здесь сегодня, тогда – обещаю торжественно – я угощу вас всех бесплатно самым изысканным обедом!

Предложение понравилось. Решено было ежедневно собираться в этом ресторане и перепробовать все способы размещения за столом, чтобы поскорее воспользоваться бесплатным обедом.

Однако им не пришлось дождаться этого дня. И вовсе не потому, что официант не исполнил обещания, а потому, что число всех возможных размещений за столом чересчур велико. Оно равняется ни мало ни много – 3628800.

Такое число дней составляет, как нетрудно сосчитать, 9942 года (без малого), т. е. почти 10000 лет. Слишком долгий срок ожидания одного бесплатного обеда…

II

Может быть, вам кажется невероятным, чтобы 10 человек могли размещаться таким большим числом различных способов? В таком случае проверьте этот расчет сами. Но раньше надо научиться определять число перестановок. Для простоты начнем вычисление с небольшого числа предметов – с трех. Назовем их А, Б и В.

Мы желаем узнать, сколькими способами возможно переставлять их один на место другого. Рассуждаем так. Если отложить пока в сторону вещь В, то остальные две можно разместить только двумя способами:

Теперь будем присоединять вещь В к каждой из этих пар. Мы можем сделать это трояко:

1) поместить В п о з а д и пары,

2) поместить В в п е р е д и пары,

3) поместить В м е ж д у вещами пары.

Других положений для вещи В, кроме этих трех, очевидно, быть не может. А так как у нас две пары, АБ и БА, то всех способов разместить вещи у нас имеется 2 x 3 = 6. Способы эти следующие:

Теперь пойдем дальше – сделаем расчет для 4 вещей. Пусть у нас 4 вещи: А, Б, В и Г. Опять отложим пока в сторону одну вещь, например Г; а с остальными тремя вещами сделаем все возможные перестановки. Мы уже знаем, что число этих перестановок – 6. Сколькими же способами можно присоединить четвертую вещь Г к каждой из 6 троек? Очевидно, четырьмя:

1) поместить Г п о з а д и тройки;

2) поместить Г в п е р е д и тройки;

3) поместить Г м е ж д у 1-й и 2-й вещью;

4) поместить Г м е ж д у 2-й и 3-й вещью;

Всего получим, следовательно,

6 x 4 = 24 перестановки;

а так как 6 = 2 x 3, и 2 = 1 x 2, то число всех перестановок можем представить в виде произведения:

1 x 2 x 3 x 4 = 24.

Рассуждая таким же образом и в случае 5-ти предметов, мы узнаем, что тогда число перестановок равно

1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120.

Для 6-ти предметов:

1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720.

И так далее.

Обратимся теперь к случаю с 10 обедающими. Число возможных здесь перестановок легко определить, если дать себе труд вычислить произведение 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10.

Тогда и получится указанное выше число

3628800.

III

Расчет был бы сложнее, если бы среди 10 обедающих было 5 девушек и они желали бы сидеть за столом непременно так, чтобы чередоваться с молодыми людьми. Хотя число возможных перемещений здесь гораздо меньше, вычислить его несколько труднее. Пусть сядет за стол – безразлично как – один из юношей. Остальные четверо могут разместиться, оставляя между собою пустые стулья для девушек, – 1 x 2 x 3 x 4 = 24-мя различными способами. Так как всех стульев 10, то первый юноша может сесть 10-ю способами; значит, число всех возможных размещений для молодых людей 10 x 24 = 240. Сколькими же способами могут сесть на пустые стулья между юношами 5 девушек? Очевидно, 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120 способами. Сочетая каждое из 240 положений юношей с каждым из 120 положений девушек, получаем все число возможных размещений:

240 x 120 = 28800.

Число это во много раз меньше предыдущего и потребовало бы всего 79 лет (без малого), – так что доживи молодые посетители ресторана до столетнего возраста, они могли бы дождаться бесплатного обеда, если не от самого официанта, то от его наследников…