Текст книги "Живой учебник геометрии"

Автор книги: Яков Перельман

сообщить о нарушении

Текущая страница: 2 (всего у книги 11 страниц) [доступный отрывок для чтения: 5 страниц]

§ 7. Смежные углы. Прямой угол

На черт. 15 вы видите углы 1 и 2, которые расположены так, что вершины их совпадают (в точке А) и одна сторона (AD) у них общая, т. е. принадлежит одновременно обоим углам, другие же стороны АВ и АС этой пары углов составляют одну прямую линию. Углы, которые так расположены, называются с м е ж н ы м и. На черт. 16 вы видите несколько пар смежных углов: уг. 1 и уг. 2; уг. 3 и уг. 4; уг. 5 и у г. 6; у г. а и у г. b; уг. с и у г. d, и др.

Если углы, составляющие одну пару смежных углов, равны между собою, – как уг. 7 и 8 на черт. 16, – то каждый из них называется прямым углом. Значит:

П р я м о й у г о л е с т ь о д и н и з д в у х р а в н ы х с м е ж н ы х у г л о в.

Так как оба равных смежных угла составляют вместе один развернутый угол, то прямой угол есть половина развернутого угла. Но все развернутые углы равны друг другу; поэтому равны и их половины, т. е. прямые углы. Значит:

В с е п р я м ы е у г л ы р а в н ы д р у г д р у г у.

Прямые линии, встречающиеся под прямым углом (черт. 17), называются перпендикулярными друг к другу. На черт. 17, например, уг. 1 = уг. 2, а так как эти углы смежные и притом равные, то они – прямые. Поэтому CDперпендикулярно к АВ и АВ перпендикулярно к CD.

Слово «перпендикулярный» не надо смешивать со словом «вертикальный». В е р т и к а л ь н о й, или о т в е с н о й, называют всякую прямую линию, имеющую направление свободно свешивающейся нагруженной нити.

Все те линии, которые составляют с вертикальной линией прямой угол, называются г о р и з о н т а л ь н ым и. Горизонтальны, например, все линии, проведенные по поверхности воды (черт. 18). Отвесное направление проверяют отвесом (черт. 18); горизонтальное – плотничьим ватерпасом.

На бумаге прямой угол чертят помощью линейки и чертежного треугольника (черт. 19). Проверить, правильно ли изготовлен чертежный треугольник, можно так. Проведя по линейке прямую линию и начертив с помощью треугольника другую прямую к ней, перпендикулярную, прикладывают чертежный треугольник прямым углом к смежному углу: если эти углы равны, то треугольник изготовлен правильно.

Углы, меньшие, чем прямой, называются о с т р ы м и; большие, чем прямой, – т у п ы м и.

Повторительные вопросы к §§ 6 и 7

Какой угол называется развернутым? – Какие углы называются смежными (начертите несколько таких углов)? – Какой угол называется прямым? – Как называется угол, который равен смежному с ним? – Могут ли прямые углы иметь различную величину? – Объясните значение слов: перпендикулярный, вертикальный, отвесный, горизонтальный. – Как чертить перпендикулярные прямые помощью чертежного треугольника? – Какие углы называются острыми? Тупыми? Начертите несколько острых и несколько тупых углов.

Применения

1. Уменье чертить взаимно-перпендикулярные прямые позволяет строить так наз. «графики», т. е. ломаные (или кривые) линии, наглядно показывающие ход изменения явлений. Пусть требуется построить график температуры за неделю по следующим данным:

Изобразим эти температуры рядом перпендикуляров к одной прямой, приведенных на равных расстояниях друг от друга: длина перпендикулярных отрезков будет изображать температуру дня. Верхушки перпендикуляров соединим прямыми линиями: полученная ломаная линия и есть «график температур».

2. На черт. 20 изображены графики годового хода температуры воздуха в разных местах земного шара: на о-ве Цейлон, в Ницце, в Самаре, во Владивостоке и в Верхоянске. Рассматривая эти графики, мы можем ответить себе на ряд могущих возникнуть вопросов, например:

a) Какова температура в среднем за много лет во всех на званных местах 1 мая?

О т в е т. На Цейлоне +27° в Ницце +18°, в Самаре +15°, во Владивостоке +10°, в Верхоянске 0°.

b) Какие дни в году (в среднем) самые жаркие и самые холодные в Верхоянске?

О т в е т. 1-е июля + 15°1-е января – минус 50°

c) В каких городах в апреле средняя температура ниже0°?

О т в е т. В Верхоянске, Владивостоке и Самаре.

d) Какова разница между самой высокой и самой низкой средней температурой в Ницце? В Самаре?

О т в е т ы. В Ницце средняя температура колеблется от +9° до +24°; в Самаре – от минус 10° до +21°.

§ 8. Свойство смежных углов

Сумма обоих смежных углов, очевидно, равна развернутому углу. Но развернутый угол равен двум прямым углам, взятым вместе. Поэтому:

С у м м а о б о и х с м е ж н ы х у г л о в р а в н а д в у м п р я м ы м у г л а м.

Например, на черт. 21 уг. 1 +уг. 2 = двум прямым углам.

Бывает, что по одну сторону прямой расположено не два угла, как в случае смежных углов, а несколько углов, – как на черт. 22. Легко убедиться, что сумма этих углов также равна двум прямым: из них всегда можно составить одну пару смежных углов (на черт. 22 углы АОD и DOВ, или АОЕ и ЕОВ).

Подобным же образом можно найти, чему равна сумма углов,! расположенных вокруг общей вершины, как на черт. 23. Продолжив одну из сторон за общую вершину (черт. 24), получим две группы углов: группу 1 и а, сумма которых равна двум прямым (почему?), и группу углов 2, 3, Ь, сумма которых равна также двум прямым углам; значит, сумма всех углов вокруг общей вершины равна 4 прямым углам.

Повторительные вопросы

Чему равна сумма смежных углов? – Сумма нескольких углов, расположенных по одну сторону прямой линии? – Сумма всех углов, расположенных вокруг общей вершины?

§ 9. Противоположные углы

Предварительные упражнения

1) На черт. 25 уг. 1 = 48°. Найти прочие углы.

2) На черт. 25 уг. b = 136 °. Найти прочие углы.

Когда две прямые линии пересекают друг друга (черт. 25), они образуют две пары углов, стороны которых составляют продолжение одни других: одна пара – уг. 1 и уг. 2; другая – уг. а и уг. b. Особенность противоположных углов та, что углы, составляющие такую пару, всегда равны между собою: у г. 1 = уг. 2, уг. а = у г. b. Действительно, если например (черт. 25) уг. 1 = 40°, то уг. b = 180° – 40° = 140°, уг. 2 = 180° – 140° = 40°, и уг. а = 180° – 40° = 140°; мы видим, что уг. 1 = уг. 2, и уг. а = уг. b. Вообще, так как уг. 1 вместе с углом а равен двум прямым (почему?), а уг. 2 вместе с тем же углом а тоже равен двум прямым, то ясно, что уг. 1 должен равняться уг. 2. Итак:

П р о т и в о п о л о ж н ы е у г л ы р а в н ы.

Повторительные вопросы.

Какие углы называются противоположными? знаете свойство противоположных углов?

§ 10. Окружность

До сих пор мы говорили только о прямых линиях. Из к р и в ы х линий остановимся на о к р у ж н о с т и (черт. 26). Окружность чертят циркулем. Острие ножки раздвинутого циркуля втыкают в бумагу, другую же ножку с карандашом вращают вокруг первой; когда карандаш сделает полный оборот, он проведет на бумаге замкнутую кривую – окружность. Та точка, в которую было воткнуто острие циркуля, называется ц е н т р о м окружности. Понятно, что все точки окружности удалены от центра на одинаковое расстояние; это расстояние называется р а д и у с о м окружности. Значит:

О к р у ж н о с т ь е с т ь к р и в а я л и н и я, в с е т о ч к и к о т о р о й о д и н а к о в о у д а л е н ы о т о д н о й

т о ч к и, н а з ы в а е м о й ц е н т р о м.

Прямая, соединяющая две точки окружности через центр, называется д и а м е т р о м.

Всякая часть окружности называется ее д у г о ю (черт. 27).

Плоская фигура, ограниченная окружностью, называется к р у г о м.

Повторительные вопросы

Что такое окружность? Центр? Радиус? Дуга? – Покажите все это на чертеже. – Все ли радиусы одной окружности равны между собою? – Что больше: диаметр или радиус? Во сколько раз?

Применения

3. Гудок завода слышен на 4 км. Начертить в масштабе 1 км в 1 см границу местности, где слышен гудок этого завода.

Р е ш е н и е. Вокруг точки, обозначающей положение завода, начертить окружность радиусом 4 см.

4. Радиус круга 100 см. Некоторая точка удалена от центра на 40 см. Лежит ли она внутри круга или вне его? Каково ближайшее расстояние от этой точки до окружности?

Р е ш е н и е. Точка лежит внутри круга. Ближайшее расстояние ее от окружности надо считать вдоль диаметра, проведенного через эту точку; оно равно 60 см. Дальнейшее расстояние (вдоль того же диаметра) – 140 см.

§ 11. Пересечение окружности с прямою и с другою окружностью

Две прямые линии могут пересечься друг с другом только в одной точке; более одной общей точки две разные прямые иметь не могут, – иначе они сливаются одна с другой. В скольких же точках могут пересекаться друг с другом прямая и окружность?

Начертите одну или несколько окружностей и пересеките их прямыми линиями (черт. 28). Вы убедитесь, что прямая и окружность могут встречаться или в двух точках или в одной. Более двух общих точек прямая и окружность иметь не могут.

Подобным же испытанием мы найдем, что и две окружности не могут иметь более двух общих точек: они встречаются или в одной или в двух общих точках (черт. 29). Итак, запомним:

П р я м а я и о к р у ж н о с т ь и л и д в е о к р у ж н о с т и н е м о г у т и м е т ь б о л е е д в у х о б щ и х т о ч е к.

Применения

5. В городе два завода в 8 км друг от друга. Гудок одного слышен на 5 км, другого – на 6 км. Изобразите, в выбранном вами масштабе, границы местности, где слышны гудки обоих заводов.

Р е ш е н и е. Выберем масштаб 2 км в 1 см. Взаимное удаление заводов изобразится тогда отрезком в 4 см. Наметив на чертеже две точки в расстоянии 4 см одна от другой, проведем вокруг одной из них (как около центра) окружность радиусом 21/2 см, а вокруг другой – радиусом 3 см. Окружности пересекутся, и общая часть обоих кругов будет изображать местность, где слышны гудки обоих заводов.

6. Две радиостанции расположены в 600 км одна от другой. Дальность приема одной 400 км, другой – 300 км. Начертите, в масштабе 100 км в 1 см, границу местности, где можно принимать обе станции.

Р е ш е н и е сходно с решением предыдущей задачи

§ 12. Измерение углов

Какою мерою измеряются углы? Д л и н у линий измеряют д л и н о ю определенной линейки (метром); в е с вещей – в е с о м определенной гири. Так и у г л ы измеряют определенным у г л о м, который принимают за меру углов. Мерою для углов избран

п р я м о й угол, потому что все прямые углы имеют одну и туже величину. Но прямой угол слишком велик, чтобы служить удобной единицей меры; поэтому пользуются некоторою д о л е ю его – именно 90-й. Прямой угол делят на 90 равных частей, и такими частями измеряют все прочие углы, т. е. узнают, сколько этих частей заключается в измеряемом угле. 90-я доля прямого угла называется у г л о в ы м г р а д у с о м. Угол в один градус весьма мал; все же для точных измерений приходится пользоваться даже долями такого угла. Принято употреблять для этого 60-ю долю градуса; она называется у г л о в о ю м и н у т о ю. Итак:

прямой угол = 90 углов, градусам,

градус = 60 углов, минутам.

На письме градус сокращенно обозначается маленьким кружком (как и градус температуры), а минута – знаком ’. Например, 23° 27’ означает 23 градуса 27 минут.

Объясним теперь, каким образом производится измерение углов на практике.

Проведем в какой-нибудь окружности два диаметра под прямым углом друг к другу (черт. 30). Получим четыре угла (1, 2, 3 и 4), вершины которых лежат в центре. Угол, вершина которого лежит в центре круга, называется ц е н т р а л ь н ы м углом. У нас имеется, следовательно, 4 равных центральных угла. Легко убедиться, что в этом случае равны и те 4 дуги, которые лежат между сторонами наших углов, т. е. что дуга АD = дуге DB= дуге ВС = дуге СА. Для этого достаточно лишь мысленно перегнуть окружность по начерченным диаметрам. При перегибании по диаметру АВ прямая ODдолжна пойти по ОС, потому что угол 4 равен углу 3; точка D должна оказаться в точке С, потому что OD = ОС (как радиусы одной окружности). Значит, начала (А) и концы дуг ADи СА совпадут; но при этом непременно совпадут и все промежуточные точки обеих дуг, потому что они удалены от центра О одинаково. Таким же образом можно убедиться, что равны между собою все 4 дуги. Вообще, равные центральные углы одной окружности имеют всегда и равные дуги между их сторонами. Поэтому, если каждый из 4-х прямых углов 1, 2, 3, 4 разделить на 90 равных частей, то и дуги между ними разделятся на равные части, которые будут составлять 360-ю долю полной окружности. Эта 360-я часть полной окружности тоже называется «градусом», но – в отличие от углового – д у г о в ы м. Мы видим, что каждому дуговому градусу отвечает один угловой градус; поэтому сколько между сторонами какого-нибудь центрального угла содержится д у г о в ы х градусов, столько же в этом угле у г л о в ы х градусов. Узнать же, сколько между сторонами измеряемого угла дуговых градусов, можно при помощи особого чертежного инструмента – т р а н с п о р т и р а.

Т р а н с п о р т и р – это металлический или бумажный полукруг (черт. 31), дуга которого разделена на градусы (т. е. на 180 равных частей).

При измерении угла накладывают на него транспортир так, чтобы вершина утла была в центре полуокружности. Таким образом, измеряемый угол п р ев р а щ а е т с я в ц е н т р а л ь н ы й, и тогда число градусов в его дуге легко отсчитать по делениям, нанесенным на краю транспортира. Диаметр дуги транспортира должен при этом сливаться с одной стороной измеряемого угла. Черт. 32 поясняет сказанное.

Прибавим еще, что 60-я доля дугового градуса называется «дуговой минутой».

Над числами, которые получаются от измерения углов, можно производить различные действия – складывать, вычитать, умножать, делить. Если, например, надо сложить два угла: в 14° 32’ и 19° 45’, то подписывают их один под другим, как здесь показано:

Затем складывают минуты с минутами, градусы с градусами. Так как минут в этом случае получается 77, т. е. на 17 минут больше одного градуса, то в столбце минут записываем 17 минут, а 1 градус прибавляем к сумме градусов. В результате имеем:

34°17’ Сходным образом выполняются и другие действия.

Повторительные вопросы

Что называется угловым градусом? Угловой минутой? – Как они обозначаются? – Какой угол называется центральным? – Что называется дуговым градусом? – Что такое транспортир? – Покажите на чертеже, как им пользоваться.

§ 13. Параллельные прямые. Углы при них

Мы знаем, что прямые линии при встрече образуют углы. [Бывает, однако, и такое расположение прямых на плоскости, когда они вовсе не встречаются, сколько бы их ни продолжали. Такие непересекающиеся линии на зываются п а р а л л е л ь н ы м и (черт. 33). Примером параллельных линий могут быть рельсы прямолинейного железнодорожного пути, линовка тетради и т. п.

Важнейшее свойство параллельных линий с л е д у ющ е е: когда прямая линия пересекает ряд параллельных (черт. 34), то образующиеся при этом так называемые с о о т в е т с т в е н н ы е углы равны. На черт. 34 соответственные углы 1, 2, 3, а также углы a, b, с– равны.

На черт. 35 из 8 образовавшихся углов равны между собою следующие с о о т в е т с т в е н н ы е углы:

1 и 5

2 и 6

3 и 7

4 и 8

Поэтому, если на черт. 35 уг. 1 = 50°, то и уг. 5 = 50°; если уг. 2 = 130°, то уг. 6 также равен 130°, – и т. д.

Предварительные упражнения

1) На черт. 35 уг. 1 равен 25°. Найти все прочие углы.

2) На черт. 35 уг. 6 равен 150°. Найти все прочие углы.

3) На черт. 35 уг. 1 равен а. Найти все прочие углы.

Из равенства соответственных углов вытекает равенство еще и других углов. Действительно, если уг. 1 = уг. 5, то и у г. 4 = у г. 5 (почему?). Далее: из того, что уг. 2 = у г. 6, следует, что и уг. 3 = уг. 6 (почему?). Рассуждая подобным образом, мы можем установить равенство следующих пар так называемых п е р е к р е с т н ы х углов:

4 и 5

3 и 6

2 и 7

1 и 8

Итак, мы установили:

П р и п а р а л л е л ь н ы х л и н и я х с о о т в е т с т в е н н ы е, а т а к ж е п е р е к р е с т н ы е у г л ы р а в н ы.

Предварительные упражнения

1) На черт. 35 уг. 3 = 160 °. Чему равен уг. 5?

2) На черт. 35 уг. 4 = 28 °. Чему равен уг. 6?

3) На черт. 35 уг. 2= 156°. Чему равен yrv 8?

Кроме перечисленных ранее углов, особые названия даются также следующим парам углов при параллельных линиях:

Углы этих пар не должны быть непременно равны между собою; они имеют другую особенность: сумма их составляет два прямых угла. Легко понять, почему это так: уг. 3 + уг. 4 = двум прямым углам; заменяя уг. 4 равным ему углом 5, узнаем, что уг. 3 + уг. 5 = двум прямым углам. Таким же образом убеждаемся, что углы остальных перечисленных пар в сумме равны двум прямым. Итак, запомним:

С о о т в е т с т в е н н ы е у г л ы, а т а к ж е п е р е к р е с т н ы е п р и п а р а л л е л ь н ы х р а в н ы м е ж д у

с о б о ю; п а р а о д н о с т о р о н н и х с о с т а в л я е т в м е с т е д в а п р я м ы х у г л а.

§ 14. Углы с параллельными сторонами

Предварительные упражнения

Начертите несколько пар углов, расположенных так, что стороны одного угла параллельны сторонам другого. Какие здесь возможны случаи? Возможно ли, чтобы обе пары параллельных сторон имели одинаковое направление (например, все направлялись бы влево от вершин углов)? Возможно ли, чтобы параллельные стороны имели встречное направление? Еще какое возможно здесь расположение?

Рассмотрим свойство углов, расположенных так, что стороны одного угла параллельны сторонам другого и притом одинаково направлены (считая от вершины; см. черт. 36). Нетрудно убедиться, что такие углы всегда равны: продолжив сторону одного угла до пересечения

со стороною другого угла (черт. 37), видим, что уг. 2 = уг. 3; уг. 1 = уг. 3; значит, уг. 1 = уг. 2. Это верно и при ином расположении углов с параллельными сторонами: когда обе стороны угла направлены п р о т и в о п о л о ж н о о б е и м сторонам другого (черт. 38). Убедиться в этом можно таким же образом, как и в сейчас рассмотренном случае.

Но если параллельные стороны двух углов имеют в одной паре одинаковое направление, в другой же паре – противоположное, то такие углы не равны (уг. 1 и уг. 2 на черт. 39). Продолжив одну сторону одного угла до пересечения со стороною другого угла, видим, что уг. 2 вместе с уг. 1 составляют два прямых угла (почему?);

Повторительные вопросы к §§ 13 и 14

Какие линии называются параллельными? – Покажите на чертеже соответственные углы, перекрестные, односторонние. – Какие из них при параллельных линиях равны? – Какое вам известно свойство односторонних углов? Углов с параллельными сторонами? Какие углы с параллельными сторонами равны и какие не равны? – Каким свойством отли чаются н е р а в н ы е углы с параллельными сторонами?

Применения §§ 13 и 14.

7. Прямая линия перпендикулярна к одной из параллельных. Под каким углом встречает она другую параллельную?

Р е ш е н и е. Тоже под прямым углом, так как соответственные углы при параллельных линиях равны.

8. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух параллельных третьей прямой линией, равен 64°. Чему равны остальные 7 углов (сделайте чертеж и надпишите на нем размеры углов).

Р е ш е н и е. Углы, смежные с данным = 116°; противоположный = 64°. Такие же размеры имеют и углы, с ними соответственные.

III. ПЕРВЫЕ СВЕДЕНИЯ О ТРЕУГОЛЬНИКАХ. ПАРАЛЛЕЛОГРАММЫ

§ 15. Сумма углов треугольника Предварительные упражнения

Предварительные упражнения

1) На черт. 40 линии АВ и CD параллельны. Укажите в фигуре ABCD равные углы.

2) На черт. 41 DЕ параллельно АВ. Укажите равные углы в этой фигуре.

3) На черт. 42 CD параллельно АВ. Укажите равные углы в этой фигуре.

4) Докажите, что на черт. 42 уг. 1 + уг. 2 = уг. 3 + уг. 4.

Познакомившись со свойствами отдельных прямых линий и углов, перейдем к изучению з а м к н у т ы х фигур. Начнем с фигуры, называемой т р е у г о л ь н и к о м. Это – фигура, ограниченная тремя прямыми линиями; у нее три угла, вершины которых называются вершинами треугольника. Треугольники могут иметь весьма разнообразную форму, в зависимости от величины углов (черт. 43).

Главное свойство всякого треугольника состоит в том, что какова бы ни была длина его сторон и какую бы форму он ни имел, сумма его трех углов всегда одинакова: она равна двум прямым углам. Покажем, как в этом убедиться.

Рассмотрим для примера треугольник ABC(черт. 44). Продолжим сторону АС за вершину С, как показано на черт. 45

Получим угол BCD’, такие углы называются в н е ш-н и м и углами треугольника (в отличие от в н у т р е н-н и х). Легко убедиться, что этот угол должен равняться сумме несмежных с ним внутренних углов А и В. Для этого достаточно лишь провести через вершину С прямую СЕ, параллельную противолежащей стороне АВ. Тогда из двух углов, на которые разделится внешний угол DCВ, один – угол DCE– равен углу А, потому что это соответственные углы при параллельных СЕ и АВ; а другой угол ЕСВ равен углу В, потому что это перекрестные углы при тех же параллельных. Отсюда уг. А + уг. В = углу DCВ. Следовательно, уг. А + уг. В + уг. АСВ = уг. DCB+ ACB = двум прямым углам.

Приведенное рассуждение мы можем приложить ко всякому треугольнику, какой бы формы и величины он ни был. Во всех случаях мы убедимся, что

С у м м а у г л о в т р е у г о л ь н и к р а в н а д в у м п р я м ы м у г л а м, т. е. 180°.

Повторительные вопросы

Какая фигура называется треугольником? – Сколько у треугольника вершин? Покажите их на чертеже. – Покажите на чертеже внешний угол. – Какая зависимость существует между внешним углом и несмежными с ним внутренними? Как в этом убедиться? – Чему равна сумма углов всякого треугольника?