Текст книги "Математика для любознательных"

Автор книги: Яков Перельман

сообщить о нарушении

Текущая страница: 6 (всего у книги 15 страниц) [доступный отрывок для чтения: 6 страниц]

Странная задача на премию

Проф. Г. Симона

Ряд лет тому назад в Берлине подвизался искусный счетчик, предлагавший публике такую задачу (переделываем ее на русский лад):

«Кто сможет уплатить 5 рублей, 3 рубля или 2 рубля полтинниками, двугривенными и пятаками, всего 20-ю монетами, – тому будет выдано наличными деньгами сто рублей».

Посетителям вручались необходимые монеты, – конечно, заимообразно. Но обещанная сотня рублей должна была остаться навсегда в руках счастливца, которому удалось бы решить задачу.

Разумеется, пол-Берлина потело над разрешением этой задачи (стояли как раз жаркие июльские дни), казавшейся не особенно трудной. Сто рублей хорошо пригодились бы всем, значит – стоит потрудиться. По мере того, как выяснялась бесполезность попыток, физиономии решавших вытягивались и розовые мечты о заманчивой награде испарялись. Надежды оказывались обманчивыми. Ловкий счетчик мог безбоязненно обещать в десять раз большую награду. Никто не в праве был бы на нее притязать, ибо задача требует невозможного.

Как в этом убедиться?

Нам не понадобится глубоко забираться в дебри алгебры, но все же не будем бояться х, у и z.

Рассмотрим сначала, можно ли уплатить требуемым образом пять рублей. Пусть для этого нужно х полтинников, у – двугривенных и z – пятаков. Сумма их должна составить 500 копеек, т. е.

50x + 20y + 5z = 500,

или, разделив на 5,

10x + 4y + z = 100.

Это легко осуществить на разные лады. Если, например, взять х = 8, то будем иметь

80 + 4y + z = 100,

или

4y + z = 20;

последнему уравнению можно удовлетворить, если принять z = 4, или 8, или 12, или 16 и, следовательно (при z = 4), 4у = 16, у = 4. Действительно, 8 полтинников, 4 двугривенных и 4 пятака составляют 500. Однако при этом не выполнено условие употребить в общей сложности 20 монет: мы употребили 8 + 4 + 4 = 16 монет. К нашему первому уравнению

10x + 4y + z = 100

необходимо, следовательно, присоединить второе

x + y + z = 20.

Соединяя их в одно, посредством вычитания второго из первого, мы освобождаемся от z и получаем

9х + 3у = 80;

теперь сразу становится очевидным, что не может быть таких целых чисел, которые удовлетворили бы этому уравнению. Потому что 9 раз х, каково бы ни было х, есть непременно число кратное 3; то же верно для числа 3у; следовательно, сумма 9х + 3у должна делиться без остатка на 3, то есть никак не может равняться 80.

Задача приводит к противоречивому требованию, и значит – ее решение невозможно.

Совершенно так же невозможно и составление требуемым образом сумм в 3 рубля и в 2 рубля. В первом случае, как каждый легко может убедиться, получается уравнение:

9х + 3у = 40;

во втором:

9x + 3y = 20.

Оба равенства невозможны, так как ни 40, ни 20 не делятся без остатка на 3.

Сказанным задача собственно исчерпывается. Но поучительно присоединить к ней рассмотрение вопроса, какие же суммы можно этими 20-ю монетами в самом деле уплатить, – разумеется так, чтобы получилось целое число рублей.

Если обозначим это число рублей через т, то у нас будет уравнение

50x + 20y + 5z = 100m,

или

10x + 4y + z = 20m,

при условии, что

x + y + z = 20,

откуда путем вычитания имеем:

9x + 3y = 20m-20 = 20 (m-1).

Так как 9х + 3у кратно 3, то и 20 (m-1) должно быть кратно 3.

Но 20 не делится на 3, так что кратным 3 должно быть только m-1.

Если m-1 равно 0, 3, 6, 9, 12 и т. д., то т должно быть на 1-цу больше, т. е. одно из чисел: 1, 4, 7, 10, 13 и т. д. Только такие суммы рублей могут быть уплачены нашими 20-ю монетами. Но очевидно, что 10 рублей – наибольшая сумма, так как 20 полтинников составляют уже 10 рублей. Принимая поэтому только четыре возможных суммы – в 1 р., в 4 р., в 7 р. и в 10 р., имеем четыре случая:

9х + 3у-20(m-1) = 0, или 60, или 120, или 180,

другими словами

3х + у = 0, или 20, или 40, или 60.

Только эти случаи и надо рассмотреть.

1) Один рубль. 3х + у = 0.

Это равенство возможно лишь тогда, когда и х, и у равны нулю, так как, приняв для них даже наименьшее целое число 1, получим 4, а не 0. Единственное решение для этого случая, следовательно, есть х = 0, у = 0, а потому z = 20, то есть один рубль можно уплатить, только употребив 20 пятаков.

Рассмотрим теперь другой крайний случай:

2) Десять рублей. 3х + у = 60.

Так как у должно быть кратно 3 (иначе сумма его с 3x не делилась бы без остатка на 3), то примем y = 0, 3, 6… Для случая у = 0 имеем х = 20 и z = 0. Это дает нам уже упомянутое решение: 20 пятаков. Но оно и единственное, потому что для у = 3 имеем х = 19, и х + у превышает высшую сумму 20.

3) Четыре рубля. 3х + у = 20.

Принимая

х = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8…,

получаем, что

y = 20-3x = 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, -1, -4…

Имеют смысл, очевидно, только первые семь значений. Им соответствуют

z = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12.

Четыре рубля можно, как видим, уплатить 7-ю различными способами, например: 6 полтинниками, 2 двугривенными и 12 пятаками.

4) Семь рублей. 3х + у = 40.

Здесь не приходится рассматривать значения для х от 0 до 9, так как при этом для у получаются числа от 40 до 13, и х + у составляет по меньшей мере 22, что нарушает требование. Остается рассмотреть поэтому лишь случаи:

x = 10, 11, 12, 13,

причем

у = 40-3х = 10, 7, 4, 1,

z = 0, 2, 4, 6.

Остальные случаи исключаются, так как ближайшее у уже отрицательное.

Этим вопрос исчерпывается полностью. Кто хотя немного имел дело с уравнениями, тот заметил, вероятно, что здесь не приходится оперировать так механически, как обычно. Это от того, что мы имеем в нашем случае больше неизвестных, нежели уравнений, а именно – 3 неизвестных при 2 уравнениях. Неизвестное z мы устранили и получили одно уравнение с двумя неизвестными х и у. Поэтому задача становится неопределенной; можно лишь установить взаимную обусловленность чисел х и у, так что для любого х можно найти соответствующее значение у. В сущности, имеется бесконечное множество пар решений задач такого рода. Но число их ограничивается требованием, вытекающим из сущности задачи, а именно: либо чтобы искомые числа были целые (как в нашей задаче, где речь идет о монетах), либо чтобы они не были отрицательные (наш случай), либо чтобы их сумма не превышала определенного числа (у нас – 20-ти), и т. п.

Итак, возвращаясь к первоначальной задаче, скажем: счетчик мог безопасно посулить сколь угодно большую награду – задача неразрешима. Для вас тем самым открывается легкая возможность предлагать своим друзьям крепкие головоломки. Можете обещать им величайшую награду – не попадетесь: как истые математики, вы можете быть твердо уверены в себе. А кто пожелал бы узнать подробнее об уравнениях в роде рассмотренных выше, – пусть спросит своего учителя математики о Диофанте Александрийском.

Примечание редактора

ДИОФАНТ АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ

Упомянутый в конце очерка александрийский математик Диофант жил в III веке нашей эры. Им написана была «Арифметика», от которой до нас дошла только первая половина сочинения. В этом труде рассматриваются, между прочим, неопределенные уравнения, которые Диофантом и были впервые введены в математику; поэтому имя его осталось навсегда связанным с этими уравнениями.

О жизни Диофанта известно лишь то, что сообщается в надписи, сохранившейся на его могильном памятнике, – надписи, которая составлена в форме следующей задачи:

Путник! Здесь прах погребен Диофанта. И числа поведать Могут, о чудо, сколь долог был век его жизни. Часть шестую его составляло прекрасное детство; Двенадцатая часть протекла еще жизни, – покрылся Пухом тогда подбородок; седьмую в бездетном Браке провел Диофант. Еще пять прошло лет – Был осчастливлен рожденьем прекрасного первенца-сына, Коему рок половину лишь жизни прекрасной и светлой Дал на земле по сравненью с отцом. В печали глубокой Старец земного удела конец восприял, переживши Года четыре с тех пор, как сына лишился. Скажи, Скольких лет жизни достигнув, смерть восприял Диофант?

Составив уравнение:

узнаем из его решения (x = 84), что Диофант умер 84 лет, женился 21 года, стал отцом на 38 году и потерял сына на 80-м году.

Числовые анекдоты

Барри Пэна [37]37
  Современный английский беллетрист. Английские меры подлинника заменены метрическими, вследствие чего пришлось несколько видоизменить и самые задачи. – Ред.


[Закрыть]

1

– Еще веревочку? – спросила мать, вытаскивая руки из лоханки с бельем. – Можно подумать, что я вся веревочная. Только и слышишь: веревочку да веревочку. Ведь я вчера дала тебе порядочный клубок. На что тебе такая уйма? Куда ты ее девал?

– Куда девал бечевку? – отвечал мальчуган. – Во-первых, половину ты сама же взяла обратно…

– А чем же прикажешь мне обвязывать пакеты с бельем?

– Половину того, что осталось, взял у меня Том, чтобы удить в канаве колюшек, хотя там и нет никаких колюшек.

– Старшему брату ты всегда должен уступать.

– Я и уступил. Осталось совсем немного, да из того еще папа взял половину для починки подтяжек, которые лопнули у него от смеха, когда случилась беда с автомобилем. А после понадобилось еще сестре взять две пятых оставшегося, чтобы завязать свои волосы узлом…

– Что же ты сделал с остальной бечевкой?

– С остальной? Остальной-то было всего-навсего 30 сантиметров. Вот и устраивай телефон из такого обрывка!

Какую же длину имела бечевка первоначально?

2

Снимая наколенники, спортсмен спросил веселого малого, считавшего очки:

– Сколько у меня, Билл?

– А вот сколько: часы только что пробили по одному разу на каждую пару ваших очков, – затараторил веселый малый. – А если бы у вас было вдвое более того, что у вас есть, то имелось бы у вас втрое против того, что пробьют часы при следующем бое.

Спрашивается: который был час в начале этого разговора?

3

В воскресенье был устроен в школе детский праздник под открытым небом. Пора было звать ребят к чаю. У палатки, где предполагалось устроить чаепитие, стоял пирожник и заведующий школой. Пирожник был полный мужчина, потому что, по роду своей профессии, питался главным образом остатками пирожных. Заведующий был высок и тонок.

– Да, – сказал пирожник, – будь у нас еще пяток стульев, я мог бы накормить всю компанию в три очереди, по равному числу ребят в каждой. Надо будет поискать, нельзя ли промыслить здесь пять стульев или табуретов.

– Не беспокойтесь, – ответил заведующий, – я распределю их на четыре очереди, в каждой поровну.

– О, тогда на каждую партию придется еще по три лишних стула.

Сколько было детей и сколько стульев?

4

– Зайдите ко мне завтра днем на чашку чая, – сказал старый доктор своему молодому знакомому.

– Благодарю вас. Я выйду в три часа. Может, и вы надумаете прогуляться, так выходите в то же время. Встретимся на полпути.

– Вы забываете, что я старик, шагаю в час всего только 3 километра, а вы, молодой человек, проходите, при самом медленном шаге, 4 километра в час. Не грешно бы дать мне немного вперед.

– Справедливо. Так как я прохожу больше вас на 1 километр в час, то, чтобы уравнять нас, я и дам вам этот километр, т. е. выйду на четверть часа раньше. Достаточно?

– Даже очень мило с вашей стороны, – поспешил согласиться старик.

Молодой человек так и сделал: вышел из дому в три четверти третьего и шел со скоростью 4 километра в час. А доктор вышел ровно в три и делал по 3 километра в час. Когда они встретились, старик повернул обратно и направился домой вместе с молодым другом.

Только за чаем сообразил молодой человек, что с льготной четвертью часа вышло не совсем ладно. Он сказал доктору, что из-за этого ему придется в общем итоге пройти вдвое больше, чем доктору.

– Не вдвое, а вчетверо, – возразил доктор, и был прав. Как далеко от дома доктора до дома его молодого знакомого?

5

Возвратившись из театра, где ставили «Фауста», молодой бакалейщик плотно поужинал и лег спать. Возбуждение и переполненный желудок вызвали у него кошмар.

Приснилось ему, что он стоит за прилавком. На прилавке жестянка с чаем, весы и несколько листов оберточной бумаги. Гирь не было.

«Нечем отвешивать, – подумал бакалейщик. – Если забредет покупатель, придется его как-нибудь сплавить».

В ту же минуту появился Мефистофель в красном плаще, застегнутом огромной пряжкой.

– Отвесьте килограмм чаю! – грозно сказал он.

– Слушаюсь, сию минуту пришлем вам на дом… Славная погодка нынче, не правда ли? Тепло не по сезону.

– Нечего зубы заговаривать! – рявкнул Мефистофель. – Отвешивайте!

– Простите великодушно… Удивительное происшествие… никогда раньше не случалось… Все наши гири сейчас только отправлены в поверку.

– Вот оно что, – сказал Мефистофель. – А как чашки ваших весов: обе протекают или хоть одна может удержать воду?

– Правая сделана ковшиком, и в нее можно налить воды граммов триста или даже побольше. Левая – совсем плоская.

– Вот и отлично, – сказал Мефистофель, вынимая из под плаща бутылочку с водой. – В этой бутылочке (сколько она сама весит, я не знаю) ровно 300 граммов воды. Пряжка моего плаща весит 650 граммов. Берите бутылочку и пряжку и отвесьте мне ровно килограмм чаю. Килограмм чистого веса; бумага не в счет.

– Этого никак невозможно сделать, – начал было бакалейщик.

– Нет, возможно! – крикнул Мефистофель так грозно, что бакалейщик проснулся.

Когда он обдумал свой сон, ему стало ясно, что Мефистофель-то был прав: с 300 граммов воды и пряжкой в 650 граммов совсем нетрудно отвесить в точности 1 килограмм чаю.

Каким образом?

6

Старый Осип явился на базар с арбузами и начал торговать. Арбузы были как на подбор все одинаковы.

Первый покупатель взял несколько арбузов, за которые торговец спросил по 36 копеек за штуку. Второй также купил несколько штук, за которые торговец взял по 32 копейки за штуку. Третьему покупка обошлась по 24 копейки штука.

Постовой милиционер, все время присматривавшийся к коммерческим оборотам торговца, также пожелал выступить в роли покупателя.

– Цена на арбузы, я вижу, падает, – сказал он. – У вас остался всего один последний арбуз. Что вы хотите за него?

– 48 копеек, – ответил торговец.

– Вот так раз! – с досадой воскликнул милиционер. – Почему это вы берете с меня дороже, чем со всех других?

– Я ни с кого не беру лишнего, – ответил торговец. – На всем базаре не найдете более добросовестного торговца. Для меня все покупатели равны, такое уж у меня правило. Хочу со всех нажить одинаково, много ли покупают или мало.

Сколько арбузов было у торговца?

7

Учительница задала двум ученицам один и тот же пример на умножение:

1 год 1 мес. 1 ¹/ ₄дня х 36.

Первая девочка умножила сначала на 9, а полученное произведение – на 4. Ответ получился правильный.

Вторая девочка умножила сначала на 4, а потом на 9 и тоже получила правильный ответ.

Учительница оценила обе работы одинаково. Если предполагать, что вторая девочка избрала свой путь решения вполне сознательно, то учительница поступила несправедливо, дав обеим ответам одинаковую оценку. Почему?

Добавление редактора

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1) После того, как мать взяла половину, осталась ¹/ ₂, после заимствования старшего брата осталась ¹/ ₄, после отца – ¹/ ₈, после сестры – ¹/ ₈x ³/ ₅= ³/ ₄₀. Если 30 сантиметров составляют ³/ ₄₀первоначальной длины, то искомая длина равна 30: ³/ ₄₀= 400 сантиметрам или 4 метрам.

2) Пусть часы пробили х. Наличное число очков надо обозначить через 2х. Если их было вдвое больше, т. е. 4х, то это число превышало бы втрое число ударов часов при последующем бое (т. е. х + 1). Следовательно, имеем уравнение ^4x/ ₃= х + 1, откуда х = 3. Было 3 часа.

3) Обозначим число наличных стульев через х. Тогда число учеников можно выразить двояко: через 3(х + 5) и через 4(x – 3). Оба выражения должны быть равны, откуда имеем уравнение

3 (х + 5) = 4 (х – 3).

Решив его, находим x = 27. Следовательно, стульев было 27, а учеников 3x(27 + 5) = 96.

4) Обозначим расстояние между домами через х. Молодой человек всего прошел 2х, а доктор вчетверо меньше, т. е. ^x/ ₂. До встречи доктор прошел половину пройденного им пути, т. е. ^x/ ₄, а молодой человек – остальное, т. е. ^3x/ ₄. Свою часть пути доктор прошел в ^x/ ₁₂часов, а молодой человек – в ^3x/ ₁₆часов, причем мы знаем, что он был в пути на 1/4 часа дольше, чем доктор. Имеем уравнение:

откуда x = 2,4 километра. Итак, от дома молодого человека до дома доктора – 2,4 километра.

5) Налив 300 граммов воды в чашку весов, отвешиваем этой «водяной гирей» сначала 300 граммов чаю. Затем, положив на одну чашку весов эти 300 граммов чаю, кладем на другую – пряжку, т. е. 650 граммов, и досыпаем на менее нагруженную чашку в отдельный пакет столько чаю, чтобы весы пришли в равновесие, – то есть 350 г. Отвесив еще с помощью пряжки 650 г чаю, имеем 650 г + 350 г = 1000 г, т. е. 1 килограмм.

6) Обозначим себестоимость одного арбуза через х. Тогда чистая прибыль от продажи одного арбуза первой партии равна 36 – х, второй 32 – х, третьей 27 – х, наконец, последнего арбуза 48 – х. Так как чистая прибыль от продажи каждой партии одинакова, то число арбузов в первой партии должно равняться ^(48-x)/ _(36-x), во второй ^(48-x)/ _(32-x), в третьей ^(48-x)/ _(27-x). Все эти выражения, согласно условию задачи, суть целые числа. Надо, следовательно, подобрать для х такое значение, при котором выражения

превращаются в целые числа. Нетрудно найти, путем нескольких испытаний, что этому условию удовлетворяет только х = 24. Тогда первое выражение равно 2, второе – 3, третье – 8. Другими словами, в первой партии было 2 арбуза, во второй 3, в третьей 8. Всего же арбузов было привезено торговцем 2 + 3 + 8 + 1 + 14.

7) Способ второй ученицы удобнее, так как при умножении 1 года 1 мес. 1 ¹/ ₄дней на 4 – мы сразу освобождаемся от дроби, и тогда умножение на 9 выполняется легче. Способ первой ученицы таких удобств не дает, он более громоздкий. Поэтому учительница должна была дать второму решению более высокую оценку.

Хитрое разрешение мудреной задачи

В. Г. Бенедиктова [38]38
  Из неизданной рукописи поэта В. Г. Бенедиктова, относящейся к 1869 году.


[Закрыть]

Одна баба, торговавшая яйцами, имея у себя к продаже девять десятков яиц, отправила на рынок трех дочерей своих и, вверив старшей и самой смышленной из них десяток, поручила другой 3 десятка, а третьей полсотни. При этом она сказала им:

– Условьтесь наперед между собой насчет цены, по которой вы продавать будете, и от этого условия не отступайтесь; все вы крепко держитесь одной и той же цены; но я надеюсь, что старшая дочь моя, по своей смышленности, даже и при общем между вами условии, по какой цене продавать, сумеет выручить столько за свой десяток, сколько вторая выручит за 3 десятка, да научит и вторую сестру выручить за ее 3 десятка столько же, сколько младшая выручит за полсотни. Пусть выручки всех троих да цены будут одинаковы. При том я желала бы, чтоб вы продали все яйца так, чтобы пришлось круглым счетом не меньше 10 копеек за десяток, а за все 9 десятков – не меньше 90 копеек, или 30-ти алтын.

Задача была мудреная. Дочери, идучи на рынок, стали между собой совещаться, при чем вторая и третья обращались к уму и совету старшей. Та, обдумав дело, сказала:

– Будем, сестры, продавать наши яйца не десятками, как это делалось у нас до сих пор, а семерками: семь яиц – семерик; на каждый семерик и цену положим одну, которой все и будут крепко держаться, как мать сказала. Чур, не спускать с положенной цены ни копейки. За первый семерик алтын, согласны?

– Дешевенько, – сказала вторая.

– Ну, – возразила старшая, зато мы поднимем цену на те яйца, которые за продажею круглых семериков в корзинах у нас останутся. Я заранее проверила, что яичных торговок, кроме нас, на рынке никого не будет. Сбивать цены некому; на остальное же добро, когда есть спрос, а товар на исходе, известное дело, цена возвышается. Вот мы на остальных-то яйцах и наверстаем.

– А почем будем продавать остальные? – спросила младшая.

– По 3 алтына за каждое яичко. Давай, да и только. Те, кому очень нужно – дадут.

– Дорогонько, – заметила опять средняя.

– Что ж, – подхватила старшая; зато первые-то яйца по семеркам пойдут дешево. Одно на другое и наведет.

Согласились.

Пришли на рынок. Каждая из сестер села на своем месте отдельно и продает. Обрадовавшись дешевизне, покупщики и покупщицы бросились к младшей, у которой было полсотни яиц и все их расхватали. Семерым она продавала по семерику и выручила 7 алтын, а одно яйцо осталось у ней в корзине. Вторая, имевшая 3 десятка, продала 4-м покупательницам по семерику и в корзине у ней осталось два яйца: выручила она 4 алтына. У старшей купили семерик, за который она получила один алтын; 3 яйца осталось.

Вдруг явилась кухарка, посланная барыней на рынок с тем, чтобы купить непременно десяток яиц во что бы то ни стало. На короткое время к барыне в гости приехали сыновья ее, которые страшно любят яичницу. Кухарка туда-сюда по рынку мечется: яйца распроданы; всего у трех торговок, пришедших на рынок, осталось только 6 яиц: у одной – одно яйцо, у другой – 2, у третьей – 3. Давай и те сюда!

Разумеется, кухарка прежде кинулась к той, у которой осталось 3, а это была старшая дочь, продавшая за алтын свой единственный семерик. Кухарка спрашивает:

– Что хочешь за свои 3 яйца? А та в ответ:

– По три алтына за яичко.

– Что ты? С ума сошла! – говорит кухарка. А та:

– Как угодно, – говорит – ниже не отдам. Это последние.

Кухарка бросилась к той, у которой 2 яйца в корзине.

– По чем?

– По 3 алтына. Такая цена установилась. Все яйца вышли.

– А твое яичишко сколько стоит? – спрашивает кухарка у младшей.

Та отвечает:

– Три алтына.

Нечего делать. Пришлось купить по неслыханной цене.

– Давайте сюда все остальные яйца.

И кухарка дала старшей за ее 3 яйца – 9 алтын, что и составило с имевшимся у нее алтыном – 10; второй заплатила она за ее пару яиц – 6 алтын; с вырученными за 4 семерика 4-мя алтынами это составило также 10 алтын. Младшая получила от кухарки за свое остальное яичко – 3 алтына и, приложив их к 7-ми алтынам, вырученным за проданные прежде 7 семериков, увидела у себя в выручке тоже 10 алтын.

После этого дочери возвратились домой и отдав матери своей каждая свои 10 алтын, рассказали, как они продавали и как, соблюдая относительно цены одно общее условие, достигли того, что выручки как за один десяток, так и за три десятка и за полсотни, оказались одинаковыми.

Мать была очень довольна точным выполнением данного ею дочерям своим поручения и находчивостью своей старшей дочери, по совету которой оно выполнилось; а еще больше осталась довольна тем, что и общая выручка дочерей – 30 алтын, или 90 копеек – соответствовала ее желанию.

Примечание редактора

УВЕСЕЛИТЕЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА В. Г. БЕНЕДИКТОВА

В библиотеке Русского Общества Любителей Мироведения, в Ленинграде, хранится найденная лишь в 1924 г. неопубликованная рукопись поэта В. Г. Бенедиктова, посвященная математическим развлечениям (поэт в последние годы жизни посвящал свой досуг занятиям математикой и астрономией).

Рукопись эта представляет собою, по-видимому, вполне законченное сочинение небольшого объема (около двух печатных листов) и является, по всем признакам, не переводом, а трудом вполне самостоятельным. На рукописи нет даты ее составления, но можно установить, что она относится к 1869-му году, за пять лет до смерти поэта. Указание это извлечено мною из данных одного расчета в последней главе рукописи, где автор говорит о 7376 годах, «насчитываемых от сотворения мира»; это соответствует, по церковному летоисчислению, 1868 году нашей эры.

Заглавие рукописи неизвестно, так как первый лист не сохранился. О характере же труда и его назначении говорится в кратком «вступлении» следующее:

«Арифметический расчет может быть прилагаем к разным увеселительным занятиям, играм, шуткам и т. п. Многие так называемые фокусы (подчеркнуто в рукописи) основываются на числовых соображениях, между прочим и производимые при посредстве обыкновенных игральных карт, где принимается в расчет или число самих карт, или число очков, представляемых теми или другими картами, или и то и другое вместе. Некоторые задачи, в решение которых должны входить самые громадные числа, представляют факты любопытные и дают понятие об этих превосходящих всякое воображение числах. Мы вводим их в эту дополнительную часть арифметики. Некоторые вопросы для разрешения их требуют особой изворотливости ума и могут быть решаемы, хотя с первого взгляда кажутся совершенно нелепыми и противоречащими здравому смыслу, как, например, приведенная здесь, между прочим, задача под заглавием: «хитрая продажа яиц». Прикладная, практическая часть арифметики требует иногда не только знания теоретических правил, излагаемых в чистой арифметике, но и находчивости, приобретаемой через умственное развитие при знакомстве с различными сторонами не только дел, но и безделиц, которым поэтому дать здесь место мы сочли не излишним».

Сочинение разбито на 20 коротких ненумерованных глав, имеющих каждая особый заголовок, – в стиле сходного по содержанию старинного труда Баше-де-Мезирьяка «Занимательные и приятные задачи», единственного сборника арифметических развлечений, с которым наш поэт мог быть знаком. Первые главы носят следующие заголовки: «Так называемые магические квадраты», «Угадывание задуманного числа от 1 до 30», «Угадывание в тайне распределенных сумм», «Задуманная в тайне цифра, сама по себе обнаруживающаяся», «Узнавание вычеркнутой цифры» и т. п. Затем следует ряд карточных фокусов арифметического характера. После них – любопытная глава «Чародействующий полководец и арифметическая армия» (оригинальный, незаимствованный сюжет); умножение с помощью пальцев, представленное в форме анекдота; перепечатанная нами выше задача с продажей яиц. Предпоследняя глава «Недостаток в пшеничных зернах для 64 клеток шахматной доски» рассказывает старинную легенду об изобретателе шахматной игры.

Наконец, 20-я глава: «Громадное число живших на земном шаре его обитателей» заключает очень любопытный подсчет. «Предположим, что первоначально от одной пары людей произошло две пары, что от каждой из этих пар произошло по две пары, и потом каждая пара производит две пары. По этому предположению размножение на земле людей шло в геометрической прогрессии: 1, 2, 4, 8, 16, 32… Возьмем столько членов этой прогрессии, сколько могло перейти человеческих поколений в течение 7376 лет, насчитываемых от сотворения мира [по библейскому исчислению; отсюда выясняется дата рукописи 1869 г.]. Положим на каждое поколение 50 лет». Насчитывая всех поколений, начиная от первой пары человеческих существ, 140 и беря 140 членов прогрессии, автор приходит к выводу, что число всех живших на земле людей достигает 4 септильонов. «Половину из этого числа отбросим, принимая в соображение, что многие из родившихся умирают в младенчестве… Значит, останемся только при двух септильонах». Септильоном Бенедиктов называет 1-цу с 42 нулями.

Далее, вес этого количества людей – «160 септильонов фунтов» – он сопоставляет с «весом» земного шара, который принимает в 3 ¹/ ₂квадрильона фунтов (вместо 14 квадрильонов).

Результат получается поистине разительный: общий вес всех прежде живших людей превышает вес земного шара в 45 триллионов раз. Исправленный расчет дал бы 10 триллионов, – что, конечно, мало меняет дело. «Это показывает, – заключает автор, – что один и тот же вещественный материал, из которого формировались телесные составы живших на свете людей, был в обороте по крайней мере 45 триллионов раз, и за каждую вещественную частицу, перебывавшую в различных живых человеческих телах, могли бы спорить 45 триллионов индивидуумов».

Результат этот станет еще более поразителен, если принять в расчет, что человечество существует на земном шаре не 7 тысяч лет, а около полумиллиона. Далее, надо иметь в виду, что не вся масса земного шара участвовала в «формировании телесных составов живших на свете людей», а только масса поверхностного слоя нашей планеты, составляющего незначительную часть всего объема Земли. Наконец, в споре за «каждую вещественную частицу, перебывавшую в живых телах», должно было предъявить свои права и бесчисленное множество животных, населявших нашу планету, начиная с древнейших геологических эпох…

Возвращаясь к рукописи, надо отметить еще, что в период ее составления (1869-й год) на русском языке не было еще ни одного сочинения подобного содержания, не только оригинального, но даже и переводного. Да и на Западе имелись только две старинных французских книги – Баше-де-Мезирьяка (1612 г.) и Озанама (1694 г. и ряд позднейших переизданий). По планировке и отчасти по содержанию сочинение Бенедиктова приближается к книге Баше.