Текст книги "Загадки и диковинки в мире чисел"
Автор книги: Яков Перельман
Жанры:
Математика
,сообщить о нарушении
Текущая страница: 5 (всего у книги 10 страниц) [доступный отрывок для чтения: 5 страниц]
Три девятки
В следующей витрине выставлено наибольшее из всех трехзначных чисел: 999
Любопытная особенность числа 999 проявляется при умножении на него всякого другого трехзначного числа. Тогда получается шестизначное произведение, первые три цифры которого есть умножаемое число, только уменьшенное на единицу, а последние три цифры – дополнения первых до 9. Например:
Стоит лишь взглянуть на следующую строку, чтобы понять происхождение этой особенности: 
Отсюда вытекает весьма простой прием «мгновенного» умножения любого трехзначного числа на 999:
847 × 999 = 846153; 509 × 999 = 508491; 981 × 999 = 980019 и т. п.
А так как 999 = 9 × 111 = 3 × 3 × 3 × 37, то вы можете, опять-таки с молниеносной быстротой, писать целые колонны шестизначных чисел, кратных 37, – чего не знакомый со свойствами числа 999, конечно, не в состоянии сделать. Короче говоря, вы можете устраивать перед непосвященными маленькие сеансы «мгновенного умножения и деления» не хуже иного фокусника.
Число Шехеразады
Следующим на очереди у нас 1001
А именно: целое общество непосвященных в арифметические тайны гостей вы можете поразить следующим фокусом. Пусть кто-нибудь напишет на бумажке, секретно от вас, какое хочет трехзначное число и затем пусть припишет к нему еще раз то же самое число. Получится шестизначное число, состоящее из трех повторяющихся цифр. Предложите тому же товарищу или его соседу разделить – по-прежнему секретно от вас – это число на 7, причем вы заранее предсказываете, что остатка не получится. Результат деления передается соседу, который по вашему предложению делит его на 11; и хотя вы не знаете делимого, вы все же смело утверждаете, что и оно разделится без остатка. Полученный результат вы просите передать следующему соседу, которого просите разделить это число на 13 – деление снова выполняется без остатка, о чем вы заранее предупреждаете. Результат третьего деления вы, не глядя на полученное число, вручаете первому товарищу со словами:
– Вот число, которое вы задумали!
Этот красивый арифметический фокус, производящий на непосвященных впечатление волшебства, объясняется очень просто: вспомните, что приписать к трехзначному числу его само значит умножить его на 1001, т. е. на произведение 7 × 11 × 13. Шестизначное число, которое ваш товарищ получит после того, как припишет к задуманному числу его само, должно будет поэтому делиться без остатка и на 7, и на 11, и на 13, а после деления последовательно на эти три числа (т. е. на их произведение – 1001) должно снова дать первоначальное число.
Не вправе ли мы после сказанного приравнять число Шехеразады к тем чудесам волшебных арабских сказок, которым мы дивились в детстве? Разница лишь в том, что арифметическое чудо имеет естественное объяснение, а чудеса Востока непостижимы, – да еще и в том, что наше чудо действительно существует, а чудеса волшебных сказок вымышлены…
Число 10101
После сказанного о числе 1001
Можно ли проделывать с помощью этого числа фокусы необычайного отгадывания, как с помощью числа 1001? Конечно, и здесь даже возможно обставить фокус эффектнее, разнообразнее, если иметь в виду, что 10101 есть произведение четырех простых чисел:
10101 = 3 × 7 × 13 × 37.
Предложив первому гостю задумать какое-нибудь двузначное число, вы предлагаете второму приписать к нему то же число, а третьего приписать то же число еще раз. Четвертого гостя вы просите разделить получившиеся шестизначное число, например, на 7; пятый гость должен разделить полученное частное на 3; шестой гость делит то, что получилось, на 37, и, наконец, седьмой делит этот результат на 13, – причем все 4 деления выполняются без остатка. Результат последнего деления вы просите передать первому гостю: это – задуманное им число.
При повторении фокуса вы можете внести в него некоторое разнообразие, обращаясь каждый раз к новым делителям. А именно, вместо множителей 3 × 7 × 13 × 37 можете взять следующие группы множителей: 21 × 13 × 37; 7 × 39 × 37; 3 × 91 × 37; 7 × 13 × 111.
Число это – 10101 – пожалуй, даже удивительнее волшебного числа Шехеразады, хотя и менее известно своими поразительными свойствами, нежели 1001. А между тем о нем писалось еще двести лет тому назад в «Арифметике» Магницкого, в той главе, где приводятся примеры умножения «с некоим удивлением». Тем с большим основанием должны мы включить его в наше собрание арифметических диковинок.Шесть единиц
В соседней витрине мы видим другую диковинку арифметической консткамеры, число
111111 = 111 × 1001.
Но 111 = 3 × 37, а 1001 = 7 × 11 × 13. Отсюда следует, что наш новый числовой феномен, состоящий из одних лишь единиц, представляет собою произведение пяти простых множителей. Соединяя же эти 5 множителей в две группы на всевозможные лады, мы получаем 15 пар множителей, дающих в произведении одно и то же число 111111, а именно:
З × (7 × 11 × 13 × 37) = З × 37037 = 111111
7 × (3 × 11 × 13 × 37) = 7 × 15873 = 111111
11 × (3 X 7 X 13 × 37)= 11 X 10101=111111
13 × (3 × 7 × 11 × 37) = 13 × 8547 = 111111
37 × (3 × 7 × 11 × 13) = 37 × 3003 = 111111
(3 × 7) × (11 × 13 × 37) = 21 × 5291 = 111111
(3 × 11) × (7 × 13 × 37) = 33 × 3367 = 111111
и т. д.Это значит, что вы можете засадить общество из 15 человек за работу умножения, и хотя каждый будет перемножать другую пару чисел, все получат один и тот же оригинальный результат: 111111. То же число, наконец, пригодно и для отгадывания задуманных чисел – наподобие того, как выполняется это с помощью чисел 1001 и 10101. В данном случае нужно предлагать задумывать число однозначное, т. е. цифру, и повторять 6 раз. Делителями здесь могут служить пять простых чисел: 3, 7, 11, 13, 37 и получающиеся из них составные: 21, 33, 39 и т. д. Это дает возможность до крайности разнообразить выполнение фокуса.
Числовые пирамиды
В следующих витринах галереи нас поражают числовые достопримечательности совсем особого рода – некоторое подобие пирамид, составленных из чисел. Рассмотрим поближе первую из таких пирамид.
Как объяснить эти своеобразные результаты умножения, эту странную закономерность?
Возьмем для примера какой-нибудь из средних рядов нашей числовой пирамиды 123456 × 9 + 7. Вместо умножения на 9 можно умножить на (10 – 1), т. е. приписать 0 и вычесть умножаемое:
Достаточно взглянуть на последнее вычитание, чтобы понять, почему тут получается результат, состоящий только из одних единиц.
Мы можем также понять это, исходя и из других рассуждений. Чтобы число вида 12345… превратилось в число вида 11111… нужно из второй его цифры вычесть 1, из третьей – 2, из четвертой – 3, из пятой – 4 и т. д. – иначе говоря, вычесть из него то же число вида 12345… но вдесятеро меньшее и предварительно уменьшенное на последнюю цифру. Теперь понятно, что для получения искомого результата нужно наше число умножить на 10, прибавить к нему следующую за последней цифру и вычесть из результата первоначальное число (умножить на 10 и отнять множимое значит умножить на 9). Сходным образом объясняется образование и следующей числовой пирамиды,
получающейся при умножении определенного ряда цифр на 8 и прибавлении последовательно возрастающих цифр. Особенно интересна в этой пирамиде последняя строка, где в результате умножения на 8 и прибавления 9 происходит превращение полного натурального ряда цифр в такой же ряд, но с обратным расположением.
Необходимость получения таких странных результатов уясняется из следующей строки [22] :
то есть 12345 × 8 + 5 = 111111 – 12346. Но, вычитая из числа 111111 число 12346, составленное из ряда возрастающих цифр, мы, как легко понять, должны получить ряд убывающих цифр 98765.
Обоснованность третьей числовой пирамиды, воспроизведенной здесь, есть прямое следствие существования
первых двух. Связь эта устанавливается очень легко. Из первой пирамиды мы знаем уже, что например:
12345 × 9 + 6 = 111111.
Умножив обе части на 8, имеем:
(12345 × 8 × 9) + (6 × 8) = 888888.
Но из второй пирамиды мы знаем, что
12345 × 8 + 5 = 98765, или что 12345 × 8 = 98760.
Значит:
888888 = (12345 × 8 × 9) + (6 × 8) = (98760 × 9) + 48 = (98760 × 9) + (5 × 9) + 3 = (98760 + 5) × 9 + 3 = 98765 × 9 + 3.
Вы убеждаетесь, что оригинальные числовые пирамиды не так уже загадочны, как кажутся с первого взгляда. Законы их образования нетрудно уяснить себе, вглядевшись в них повнимательнее. Это не помешало одной немецкой газете несколько лет назад поместить их на своих столбцах с припиской: «Причина такой поразительной закономерности никем еще до сих пор не была объяснена». Вы видите, что здесь и объяснять-то почти нечего.
Девять одинаковых цифр
Последняя строка первой из сейчас (стр. 86) рассмотренных пирамид:
12345678 × 9 + 9= 111111111
объясняет происхождение целой группы интересных арифметических курьезов, собранной в нашем музее в следующую таблицу: 
Примем во внимание, что
12345678 × 9 + 9 = (12345678 + 1) × 9 = 12345679 × 9.
Поэтому
12345679 × 9 = 111111111.
А отсюда прямо следует, что
12345679 × 9 × 2 = 222222222
12345679 × 9 × 3 = 333333333
12345679 × 9 × 4 = 444444444 и т. д.Цифровая лестница
Что получится, если число 111111111, с которым мы сейчас имели дело, умножить само на себя? Заранее можно предвидеть, что результат должен быть диковинный, – но какой именно? Если вы обладаете способностью отчетливо рисовать в своем воображении ряды цифр, то вам удастся найти интересующий нас результат, не прибегая к умножению на бумаге. Ведь, в сущности, здесь дело сводится только к надлежащему расположению частных произведений, потому что умножать приходится все время лишь единицу на единицу – действие, могущее затруднить разве лишь фонвизинского Митрофанушку, размышляющего о результате умножения «единожды один». Сложение же частных произведений сводится к простому счету единиц [23] . Приняв во внимание ступенчатое расположение этих девяти рядов единиц, мы легко можем найти – даже и не выписывая воспроизводимой здесь таблицы, – результат этого единственного в своем роде умножения (при выполнении которого не приходится нигде прибегать к действию умножения): 12345678987654321.
Все девять цифр выстроены в стройном порядке, симметрично убывая от середины в обе стороны. Те из читателей, которых утомило обозрение числовых диковинок, могут покинуть здесь эту галерею и перейти в следующее отделение арифметической кунсткамеры, где показываются фокусы и выставлены числовые исполины; я хочу сказать, – они могут прекратить чтение этой главы и обратиться к дальнейшим. Но кто желает познакомиться еще с несколькими интересными достопримечательностями из мира чисел, тех приглашаю осмотреть со мною несколько ближайших витрин.
Магические кольца
Что за странные кольца выставлены в следующей витрине нашей галереи? Перед нами три плоских кольца, вращающихся одно в другом. На каждом кольце написаны 6 цифр в одном и том же порядке, иначе говоря – написано одно и то же число: 142857
Магические кольца
В том, например, положении, какое изображено на прилагаемом чертеже, мы имеем при сложении двух наружных колец: 
т. е. опять-таки тот же ряд цифр: 142857, только цифры 5 и 7 перенеслись в начало.
При другом расположении колец относительно друг друга мы имеем, например:
Исключение составляет лишь единственный случай, когда в результате получается 999999 (складываемые цифры дополняют друг друга до девяти): 
Мало того. Тот же ряд цифр в той же последовательности мы получим и при вычитании чисел, написанных на кольцах. Например: 
Исключение составляет случай, когда приведены к совпадению одинаковые цифры – тогда, разумеется, разность равна нулю. Но и это еще не все замечательные свойства нашего числа 142857. Умножьте его на 2, на 3, на 4, на 5 или на 6 – и вы получите, как и раньше, снова то же число, лишь передвинутое, в круговом порядке, на одну или несколько цифр:
142857 × 2 = 285714
142857 × 3 = 428571
142857 × 4 = 571428
142857 × 5 = 714285
142857 × 6 = 857142Вы видите, что произведение отличается от умножаемого лишь порядком цифр: группа цифр, стоящих впереди, очутилась на конце.
Пора, однако, объяснить, чем же обусловлены все загадочные особенности этого числа. Мы нападем на путь к разгадке, если продлим немного последнюю табличку и попробуем умножить наше число на 7: в результате получится 999999. Значит, число наше – не что иное, как седьмая часть 999999, т. е. дробь 142857/999999 = 1/7. И действительно, если вы станете превращать 1/7 в десятичную дробь, вы получите:
Наше загадочное число есть, следовательно, период бесконечной периодической дроби, которая получается при превращении 1/7 в десятичную. Становится понятным теперь, почему при удвоении и т. д. этого числа происходит лишь перестановка одной группы цифр на другое место. Ведь умножение этого числа на 2 делает его равным 2/7 и, следовательно, равносильно превращению в десятичную дробь уже не 1/7, а 2/7 Начав же превращать дробь 2/7 в десятичную, вы сразу заметите, что цифра 2 – один из тех остатков, которые у нас получались уже при превращении 1/7: ясно, что должен поэтому повториться прежний ряд цифр частного, но он начнется с другой цифры; другими словами, должен получиться тот же период, но только несколько начальных цифр его очутятся на конце. То же самое должно произойти и при умножении на 3, на 4, на 5 и на 6, т. е. на все числа, получающиеся в остатках. При умножении же на 7 мы должны получить целую единицу, – т. е. 0,9999… если представить ее в виде бесконечной периодической дроби.
Любопытные результаты сложения и вычитания чисел на кольцах находят себе объяснение в том же факте, что 142857 есть период дроби, равной 1/7. В самом деле: что мы делаем, поворачивая кольцо на несколько цифр? Мы переставляем группу цифр спереди на конец, т. е., согласно только что сказанному, мы умножаем число 142857 на 2, на 3, на 4 и т. д. Следовательно, все действия сложения или вычитания чисел, написанных на кольцах, сводятся к сложению или вычитанию дробей 1/7, 2/7,3/7 и т. д. В результате мы должны получить, конечно, несколько седьмых долей, – т. е. опять-таки наш ряд цифр 142857 в той или иной круговой перестановке. Отсюда надо исключить лишь случаи, когда складываются такие числа седьмых долей, которые в сумме дают 1 или больше 1.
Но и последние случаи исключаются не вполне: они дают результат, правда, не тождественный с рассмотренными ранее, но все же весьма сходный с ними. Рассмотрим внимательнее, какой результат должен получиться от умножения нашего загадочного числа на множитель больше 7, т. е. на 8, на 9 и т. д. Умножить 142857, например, на 8, мы можем так: умножить сначала на 7 и к произведению (т. е. к 999999) прибавить наше число142857 × 8 = 142857 × 7 + 142857 = 999999 + 142857 = 1000000 – 1 + 142857 = 1000000 + (142857 – 1).
Окончательный результат – 1142856 – отличается от умножаемого 142857 только тем, что впереди стоит еще одна единица, а последняя цифра на единицу же уменьшена. По сходному правилу составляются произведения 142857 на всякое другое число, большее 7, – как легко усмотреть из следующих строк:
142807 × 8 = (142857 x 7) +142857 =1000000-1 + 142857=1142856
142857 × 9 = (142857 × 7) + (142857 × 2) = 1000000—1+ 285714= 1285713
142857 × 10 = (142857 × 7) + (142857 × 3) = 1000000-1 +428571 = 1428570
142857 × 16 = (142857 × 7 × 2)+ (142857 × 2) =2000000-2 + 285714 = 2285713
142857 × 39 = (142857 × 7 × 5) + (142857 × 4)=5000000– 5 + 571428 = 5571427Общее правило здесь такое: при умножении 142857 на любой множитель нужно умножить лишь на остаток от деления множителя на 7; впереди этого произведения ставится число, показывающее, сколько семерок в множителе, и то же число вычитается из результата [24] . Пусть мы желаем умножить 142857 на 86. Множитель 86 при делении на 7 дает в частном 12 и в остатке 4. Следовательно, результат умножения
12571428– 12= 12571416.
От умножения 142857 × 365 мы получим (так как 365 при делении на 7 дает в частном 52, а в остатке 1):
52142857-52 = 52142803.
Усвоив это простое правило и запомнив результаты умножения нашего диковинного числа на множители от 2 до 6 (что весьма нетрудно – нужно помнить лишь, с какой цифры они начинаются), вы можете изумлять непосвященных молниеносно быстрым умножением шестизначного числа. А чтобы не забыть этого удивительного числа, запомним, что оно произошло от 1/7, или – что то же самое – от 1/14; вот вам первые три цифры нашего числа: 142. Остальные три получаются вычитанием первых трех из девяти: 
Мы уже имели дело с такими числами – именно, когда знакомились со свойствами числа 999. Вспомнив сказанное там, мы сразу сообразим, что число 142857 есть, очевидно, результат умножения 143 на 999:
142857 = 143 × 999.
Но 143= 13 × 11. Припомнив замеченное раньше о числе 1001, равном 7 × 11 × 13, мы будем в состоянии предсказать, не выполняя действия, что должно получиться от умножения 142857 × 7:
142857 × 7 = 143 × 999 × 7 = 999 × 11 × 13 × 7 = 999 × 1001 = 999999
(все эти преобразования мы, конечно, можем проделать в уме).
Феноменальная семья
Только что рассмотренное нами число 142857 является одним из членов целой семьи чисел, обладающих теми же свойствами. Вот еще одно такое число 058823594117647
0588235294117647 × 4 = 2352941176470588.
Расположив цифры этого числа на ряде могущих вращаться колец, как в предыдущем случае, – мы при сложении чисел двух колец будем получать то же число, лишь смещенное в круговом порядке: 
При кольцевом расположении все три ряда, конечно, тождественны.
От вычитания чисел двух колец опять-таки получается тот же круг цифр:
Наконец, это число, как и рассмотренное ранее шестизначное, состоит из двух половин: цифры второй половины являются дополнением цифр первой половины до 9. Нетрудно догадаться, каким образом приведенный числовой ряд оказался столь близким родственником числа 142857; если последнее число представляет собою период бесконечной дроби, равной 1/7, то наше число, вероятно, является периодом какой-нибудь другой дроби. Так оно и есть: наш длинный ряд цифр – не что иное, как период бесконечной дроби, получающейся от превращения в десятичную простой дроби 1/17:
1/17 = 0, (0588235294117647).
Вот почему при умножении этого числа на множители от 1 до 16 получается тот же ряд цифр, в котором лишь одна или несколько начальных цифр перенесены в конец числа. И наоборот – перенося одну или несколько цифр ряда из начала в конец, мы тем самым увеличиваем это число в несколько раз (от 1 до 16). Складывая два кольца, повернутых одно относительно другого, мы производим сложение двух умноженных чисел, например, утроенного и удесятеренного – и, конечно, должны получить то же кольцо цифр, потому что умножение на 13 вызывает лишь перестановку группы цифр, незаметную при круговом расположении.
При некотором положении колец получаются, однако, суммы, немного отличающиеся от первоначального ряда. Если, например, мы повернем кольца так, чтобы складывать пришлось шестикратное число с пятнадцатикратным, то в сумме должно получиться число, умноженное на 6 + 15 = 21. А такое произведение, как легко догадаться, составляется уже несколько иначе, чем произведение на множитель меньше 16. В самом деле: так как наше число есть период дроби, равной 1/17, то будучи умножено на 17, оно должно дать 16 девяток (т. е. столько, сколько их в подразумеваемом знаменателе периодической дроби), или 1 с 17 нулями минус 1. Поэтому при умножении на 21, т. е. на 4 + 17, мы должны получить четырехкратное число, впереди которого стоит 1, а от разряда единиц отнято 1. Четырехкратное же число начнется с цифр, получающихся при превращении в десятичную дробь простой дроби 4/17.
Порядок остальных цифр нам известен: 5294… Значит, 21-кратное наше число будет
2352941176470588,
столько именно и получается от сложения кругов цифр при соответственном их расположении. При вычитании числовых колец такого случая, разумеется, быть не может.
Чисел, подобных тем двум, с которыми мы познакомились, существует множество. Все они составляют словно одно семейство, так как объединены общим происхождением – от превращения простых дробей в бесконечные десятичные. Но не всякий период десятичной дроби обладает рассмотренным выше любопытным свойством давать при умножении круговую перестановку цифр. Это имеет место только для тех дробей, число цифр периода которых на единицу меньше знаменателя соответствующей простой дроби. Так, например:
Вы можете убедиться испытанием, что периоды дробей, получающихся от превращения 1/19 и 1/23 в десятичные, обладают теми же особенностями, как и рассмотренные нами периоды дробей 1/7 и 1/17. Если указанное сейчас условие (относительно числа цифр периода) не соблюдено, то соответствующий период дает число, не принадлежащее к занимающей нас семье интересных чисел. Например, 1/13 дает десятичную дробь с шестью (а не с 12) цифрами в периоде:
1/13 = 0,076923.
Помножив на 2, получаем совершенно иное число:
2/13 = 0,153846.
Почему? Потому что среди остатков от деления 1: 13 не было числа 2. Различных остатков было столько, сколько цифр в периоде, т. е. 6; различных же множителей для дроби 1/13 у нас 12, – следовательно, не все множители будут среди остатков, а только 6. Легко убедиться, что эти множители следующие: 1, 3, 4, 9,10, 12. Умножение на эти 6 чисел дает круговую перестановку (076923 × 3 = 230769), на остальные – нет. Вот почему от у получается число, лишь отчасти пригодное для «магического кольца». То же надо сказать и о целом ряде других периодов.
Как бы то ни было, нельзя не согласиться, что длиннейшие периоды бесконечных дробей представляют собою настоящую Калифорнию интереснейших арифметических достопримечательностей.
