Текст книги "Живая математика. Математические рассказы и головоломки"

Автор книги: Яков Перельман

сообщить о нарушении

Текущая страница: 4 (всего у книги 10 страниц) [доступный отрывок для чтения: 4 страниц]

РЕШЕНИЯ ГОЛОВОЛОМОК 30-41

30. После того как мать взяла половину, осталась ¹/ ₂; после заимствования старшего брата осталась ¹/ ₄; после отца – ¹/ ₈; после сестры – ¹/ ₈х ³/ ₅= ³/ ₄₀. Если 30 см составляют ³/ ₄₀первоначальной длины, то вся длина равна 30: ³/ ₄₀= 400 см, или 4 м.

31. Так как число жителей городка неизвестно, то ответ на вопрос этой полушуточной головоломки возможен лишь в такой форме, достаточно, впрочем, определенной: «Требуется столько штук сапог, сколько в городке жителей».

В самом деле. Пусть число жителей равно п.Тогда для снабжения одноногих требуется ⁿ/ ₃штук сапог. Из прочих ²ⁿ/з жителей нуждается в обуви только половина – ¹/ ₃; а так как каждому из этой части населения нужно по два сапога, то им требуется ²/ ₃штук. Всего же для городка следует заготовить

т. е. столько штук, сколько в городке жителей.

32. Позже всего выпадает, конечно, тот волос, который сегодня моложе всех, т. е. возраст которого 1 день. Посмотрим же, через сколько времени дойдет до него очередь выпасть. В первый месяц из тех 150 000 волос, которые сегодня имеются на голове, выпадет 3 тысячи, в первые два месяца – 6 тысяч, в течение первого года – 12 раз по 3 тысячи, т. е. 36 тысяч. Пройдет, следовательно, четыре года с небольшим, прежде чем наступит черед выпасть последнему волосу. Так определилась у нас средняя долговечность человеческого волоса: четыре с небольшим года.

33. Многие, не подумав, отвечают: 200 руб. Это неверно: ведь тогда основная зарплата будет больше сверхурочных только на 150 руб., а не на 200.

Задачу нужно решать так. Мы знаем, что если к сверхурочным прибавить 200 руб., то получим основную зарплату. Поэтому если к 250 руб. прибавим 200 руб., то у нас должны составиться две основные зарплаты. Но 250 + 200 = 450. Значит, двойная основная зарплата составляет 450. Отсюда одна зарплата без сверхурочных равна 225 руб., сверхурочные же составят остальное от 250 руб., т. е. 25 руб.

Проверим: зарплата, 225 руб., больше сверхурочных, т. е. 25 руб., на 200 руб., – как и требует условие задачи.

34. Эта задача любопытна в двух отношениях: во-первых, она легко может внушить мысль, что искомая скорость есть средняя между 10 км и 15 км в час, т. е. равна 12 ¹/ ₂км в час. Нетрудно убедиться, что такая догадка неправильна. Действительно, если длина пробега а километров, то при 15-километровой скорости лыжник будет в пути ^а/ ₁₅часов, при 10-километровой – ^a/ ₁₀, при 12 ¹/ ₂-километровой -, или ^2a/ ₂₅.Но тогда должно существовать равенство

потому что каждая из этих разностей равна одному часу. Сократив на а,имеем

или, по свойству арифметической пропорции:

равенство неверное:

т. е. ⁴/ ₂₄, а не ⁴/ ₂₅.

Вторая особенность задачи та, что она может быть решена не только без помощи уравнений, но даже просто устным расчетом.

Рассуждаем так. Если бы при 15-километровой скорости лыжник находился в пути на два часа дольше (т. е. столько же, сколько при 10-километровой), то он прошел бы путь на 30 км больший, чем прошел в действительности. В один час, мы знаем, он проходит на 5 км больше; значит, он находился бы в пути 30: 5 = 6 ч. Отсюда определяется продолжительность пробега при 15-километровой скорости: 6-2 = 4 ч. Вместе с тем становится известным и проходимое расстояние:

15 х 4 = 60 км.

Теперь легко уже найти, с какой скоростью должен лыжник идти, чтобы прибыть на место ровно в полдень, – иначе говоря, чтобы употребить на пробег 5 час.

60: 5 = 12 км.

Легко убедиться испытанием, что этот ответ правилен.

35. Задачу можно решить, не обращаясь к уравнению, и притом различными способами.

Вот первый прием. Молодой рабочий проходит за 5 мин ¹/ ₄пути, старый – ¹/ ₆пути, т. е. меньше, чем молодой, на

Так как старый опередил молодого на ¹/ ₆пути, то молодой настигнет его через

пятиминутных промежутка, иначе говоря, через 10 мин. Другой пример проще. На прохождение всего пути старый рабочий тратит на 10 мин больше молодого. Выйди старик на 10 мин раньше молодого, оба пришли бы на завод в одно время. Если старик вышел только на 5 мин раньше, то молодой должен нагнать его как раз посередине пути, т. е. спустя 10 мин (весь путь молодой рабочий проходит за 20 мин).

Возможны еще и другие арифметические решения.

36. Нешаблонный путь решения задачи таков. Прежде всего поставим вопрос: как должны машинистки поделить между собою работу, чтобы закончить ее одновременно? (Очевидно, что только при таком условии, т. е. при отсутствии простоя, работа будет выполнена в кратчайший срок.) Так как более опытная машинистка пишет в 1 ¹/ ₂раза быстрее менее опытной, то ясно, что доля первой должна быть в 1 ¹/ ₂раза больше доли второй – тогда обе кончат писать одновременно. Отсюда следует, что первая должна взяться переписывать ³/ ₅доклада, вторая – ²/ ₅.

Собственно, задача уже почти решена. Остается только найти, за сколько времени первая машинистка выполнит свои ³/ ₅работы. Всю работу она может сделать, мы знаем, за 2 часа; значит, ³/ ₅работы будет выполнено за 2 х ³/ ₅= 1 ¹/ ₅ часа. За такое же время должна сделать свою долю работы и вторая машинистка.

Итак, кратчайший срок, в какой может быть переписан доклад обеими машинистками, – 1 час 12 мин.

37. Если вы думаете, что шестеренка обернется три раза, то ошибаетесь: она сделает не три, а четыре оборота.

Чтобы наглядно уяснить себе, в чем тут дело, положите перед собою на гладком листе бумаги две одинаковые монеты, например два двугривенных, так, как показано на рис. 36. Придерживая рукой нижнюю монету, катите по ее ободу верхнюю. Вы заметите неожиданную вещь: когда верхняя монета обойдет нижнюю наполовину и окажется внизу, она успеет сделать уже полный оборот вокруг своей оси; это будет видно по положению цифр на монете.

Рис. 36

А обходя неподвижную монету кругом, монета наша успеет обернуться не один, а два раза. Вообще, когда тело, вертясь, движется по кругу, оно делает одним оборотом больше, чем можно насчитать непосредственно. По той же причине и наш земной шар, обходя вокруг Солнца, успевает обернуться вокруг своей оси не 365 с четвертью, а 366 с четвертью раз, если считать обороты не по отношению к Солнцу, а по отношению к звездам. Вы понимаете теперь, почему звездные сутки короче солнечных.

38. Через трижды три года загадчик будет на 9 лет старше, чем теперь. Трижды три года назад он был на 9 лет моложе, чем теперь. Разница лет, следовательно, составляет 9 + 9, т. е. 18 лет. Это и есть возраст загадчика, согласно условию задачи.

Несложно решается задача и в том случае, если, обратившись к услугам алгебры, составить уравнение. Искомое число лет обозначим буквой х.Возраст спустя три года надо тогда обозначить через х+ 3, возраст три года назад – через х-3.Имеем уравнение

3(х+ 3) – 3(х – 3) = х,

решив которое получаем х= 18. Любителю головоломок теперь 18 лет. Проверим: через три года ему будет 21 год; три года назад ему было 15 лет. Разность

Зх 21 – Зх 15 = 63 – 45 = 18,

т. е. равна нынешнему возрасту любителя головоломок.

39. Как и предыдущая, задача решается с помощью несложного уравнения. Если жене теперь хлет, то мужу 2х.Восемнадцать лет назад каждому из них было на 18 лет меньше: мужу 2х -18, жене х– 18. При этом известно, что муж был тогда втрое старше жены:

3(х– 18) = 2х -18.

Решив это уравнение, получаем х= 36: жене теперь 36 лет, мужу 72.

40… Пусть в начале игры у каждого было хкопеек. После первого кона у одного игрока стало х+20, у другого х-20. После второго кона прежде выигравший партнер потерял ²/ ₃своих денег; следовательно, у него осталось

Другой партнер, имевший х -20, получил ²/ ₃ (х+ 20); следовательно, у него оказалось

Так как известно, что у первого игрока оказалось вчетверо меньше денег, чем у другого, то

откуда х = 100. У каждого игрока было в начале игры по одному рублю.

41. Обозначим первоначальное число отдельных рублей через х, а число двадцатикопеечных монет через у.Тогда, отправляясь за покупками, я имел в кошельке денег

100х + 20у коп.

Возвратившись, я имел

100у + 20хкоп.

Последняя сумма, мы знаем, втрое меньше первой; следовательно,

3(100у + 20х) = ЮСЬс + 20 у.

Упрощая это выражение, получаем

% = 7 у.

Если у =1, то х = 7. При таком допущении у меня первоначально будет денег 7 руб. 20 коп.; это не вяжется с условием задачи («около 15 рублей»).

Испытаем у =2, тогда х =14. Первоначальная сумма равнялась 14 руб. 40 коп., что хорошо согласуется с условием задачи.

Допущение у =3 дает слишком большую суммуденег:

21 руб. 60 коп.

Следовательно, единственный подходящий ответ -

14 руб. 40 коп. После покупок осталось 2 отдельных рубля и 14 двугривенных, т. е. 200 + 280 = 480 коп.; это действительно составляет треть первоначальной суммы (1440: 3 = 480).

Израсходовано же было 1440 – 480 = 960. Значит, стоимость покупок 9 руб. 60 коп.

Глава четвертая УМЕЕТЕ ЛИ ВЫ СЧИТАТЬ?

Вопрос, пожалуй, даже обидный для человека старше трехлетнего возраста. Кто не умеет считать? Чтобы произносить подряд «один», «два», «три», особого искусства не требуется. И все же, я уверен, вы не всегда хорошо справляетесь с таким, казалось бы, простым делом. Все зависит от того, что считать. Нетрудно пересчитать гвозди в ящике. Но пусть в нем лежат не одни только гвозди, а вперемешку гвозди с винтами; требуется установить, сколько тех и других отдельно. Как вы тогда поступите? Разберете груду на гвозди и винты отдельно, а затем пересчитаете их?

Такая задача возникает и перед хозяйкой, когда ей приходится считать белье для стирки. Она раскладывает сначала белье по сортам: сорочки в одну кучу, полотенца в другую, наволочки в третью и т. д. И лишь провозившись с этой довольно утомительной работой, приступает она к счету штук в каждой кучке.

Вот это и называется не уметь считать! Потому что такой способ счета неоднородных предметов довольно неудобен, хлопотлив, а зачастую даже и вовсе не осуществим. Хорошо, если вам приходится считать гвозди или белье: их легко раскидать по кучкам. Но поставьте себя в положение лесовода, которому необходимо сосчитать, сколько на гектаре растет сосен, сколько на том же участке елей, сколько берез и сколько осин. Тут уж рассортировать деревья, сгруппировать их предварительно по породам нельзя. Что же, вы станете считать сначала только сосны, потом только ели, потом одни березы, затем осины? Четыре раза обойдете участок?

Нет ли способа сделать это проще, одним обходом участка? Да, такой способ есть, и им издавна пользуются работники леса. Покажу, в чем он состоит, на примере счета гвоздей и винтов.

Чтобы в один прием сосчитать, сколько в коробке гвоздей и сколько винтов, не разделяя их сначала по сортам, запаситесь карандашом и листком бумаги, разграфленным по такому образцу:

Затем начинайте счет. Берите из коробки первое, что попадется под руку. Если это гвоздь, вы делаете на листке бумаги черточку в графе гвоздей; если винт – отмечаете его черточкой в графе винтов. Берете вторую вещь и поступаете таким же образом. Берете третью вещь и т. д., пока не опорожнится весь ящик. К концу счета на бумажке окажется в графе гвоздей столько черточек, сколько было в коробке гвоздей, а в графе винтов – столько черточек, сколько было винтов. Остается только подытожить черточки на бумаге.

Рис. 37

Рис. 38

Счет черточек можно упростить и ускорить, если не ставить их просто одну под другой, а собирать по пяти в такие, например, фигурки, какие изображены на рис. 37.

Квадратики этого вида лучше группировать парами, т. е. после первых 10 черточек ставить 11-ю в новую колонку; когда во второй колонке вырастут 2 квадрата, начинают следующий квадрат в третьей колонке и т. д. Черточки будут располагаться тогда примерно в таком виде, как показано на рис. 38.

Рис. 39

Считать так расположенные черточки очень легко: вы сразу видите, что тут три полных десятка, один пяток и еще три черточки, т. е. всего 30 + 5 + 3 = 38.

Можно пользоваться фигурками и иного вида; часто, например, употребляют такие знаки, где каждый полный квадратик означает 10 (рис. 39).

При счете деревьев разных пород на участке леса вы должны поступить совершенно таким же образом, но на листке бумаги у вас будут уже не две графы, а четыре. Удобнее здесь иметь графы не стоячие, а лежачие. До подсчета листок имеет, следовательно, такой вид, как на рис. 40.

Рис. 40. Бланк для подсчета деревьев в лесу

Рис. 41. Заполненный бланк рис. 40

В конце же подсчета получается на листке примерно то, что показано на рис. 41.

Подвести окончательный итог здесь очень легко:

Сосен.. 53

Берез.. 46

Елей.. 79

Осин.. 37

Тем же приемом счета пользуется и медик, считая под микроскопом, сколько во взятой пробе крови оказывается красных шариков и сколько белых.

Составляя список белья для стирки, хозяйка может поступить таким же образом, сберегая труд и время.

Если вам понадобится сосчитать, например, какие растения и в каком числе растут на небольшом участке луга, вы уже будете знать, как справиться с этой задачей в возможно короткий срок. На листке бумаги вы заранее выпишете названия замеченных растений, отведя для каждого особую графу и оставив несколько свободных граф про запас для тех растений, которые вам могут еще попасться. Вы начнете подсчет с такой, например, бумажкой, какая указана на рис. 42.

Дальше поступают так же, как и при подсчете на участке леса.

Для чего, собственно, надо считать деревья в лесу? Городским жителям это представляется даже и вовсе невозможным делом. В романе Л. Н. Толстого «Анна Каренина» знаток сельского хозяйства, Левин, спрашивает своего не сведущего в этом деле родственника, собирающегося продать лес:

«– Счел ли ты деревья?

Рис. 42. Как приступить к счету растений на участке луга

– Как счесть деревья?! – с удивлением отвечает тот. – «Счесть пески, лучи планет хотя и мог бы ум высокий…»

– Ну да, а ум высокий Рябинина (купца) может. И ни один мужик не купит, не считая».

Деревья в лесу считают для того, чтобы определить, сколько в нем кубических метров древесины. Пересчитывают деревья не всего леса, а определенного участка, в четверть или половину гектара, выбранного так, чтобы густота, состав, толщина и высота его деревьев были средние в данном лесу. Для удачного выбора такой «пробной площади» нужно, конечно, иметь опытный глаз.

При подсчете недостаточно определять число деревьев каждой породы; необходимо еще знать, сколько имеется стволов каждой толщины: сколько 25-сантиметровых, сколько 30-сантиметровых, 35-сантиметровых и т. д. В счетной ведомости окажется поэтому не четыре только графы, как в нашем упрощенном примере, а гораздо больше. Вы можете представить себе теперь, какое множество раз пришлось бы обойти лес, если бы считать деревья обычным путем, а не так, как здесь объяснено.

Как видите, счет является простым и легким делом только тогда, когда считают предметы однородные.Если же надо приводить в известность число разнородных предметов, то приходится пользоваться особыми, объясненными сейчас приемами, о существовании которых многие и не подозревают.

Глава пятая ЧИСЛОВЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ

42. За пять рублей – сто

Один эстрадный счетчик на своих сеансах делал публике следующее удивительно заманчивое предложение:

– Объявляю при свидетелях, что плачу 100 рублей каждому, кто даст мне 5 рублей двадцатью монетами – полтинниками, двугривенными и пятаками. Сто рублей за пять! Кто желает?

Воцарялось молчание. Публика погружалась в размышление. Карандаши бегали по листкам записных книжек, но ответного предложения все же почему-то не поступало.

– Публика, я вижу, находит 5 рублей слишком высокой платой за сторублевый билет. Извольте, я готов скинуть два рубля и назначаю пониженную цену: 3 рубля двадцатью монетами названного достоинства. Плачу 100 рублей за 3! Желающие, составляйте очередь!

Но очередь не выстраивалась. Публика явно медлила воспользоваться редким случаем, и счетчик обращался с новым предложением:

– Неужели и 3 рубля дорого? Хорошо, понижаю сумму еще на рубль: уплатите указанными двадцатью монетами всего только 2 рубля, и я немедленно вручу предъявителю сто рублей.

Так как никто не выражал готовности совершить обмены, счетчик продолжал:

– Может быть, у вас нет при себе мелких денег? Не стесняйтесь этим, я поверю в долг. Дайте мне только на бумажке реестрик, сколько монет каждого достоинства вы обязуетесь доставить.

Со своей стороны, я также готов уплатить сто рублей каждому читателю, который пришлет мне на бумаге соответствующий реестр. Корреспонденцию направлять по адресу издательства на мое имя.

43. Тысяча

Можете ли вы число 1000 выразить восьмью восьмерками? (Кроме цифр, разрешается пользоваться также знаками действий.)

44. Двадцать четыре

Очень легко число 24 выразить тремя восьмерками:

8 + 8 + 8. Не можете ли вы сделать то же, пользуясь не восьмерками, а другими тремя одинаковыми цифрами? Задача имеет не одно решение.

45. Тридцать

Число тридцать легко выразить тремя пятерками: 5 x 5 + 5. Труднее сделать это тремя другими одинаковыми цифрами. Попробуйте. Может быть, вам удастся отыскать несколько решений?

46. Недостающие цифры

В этом примере умножения больше половины цифр заменено звездочками:

Можете ли вы восстановить недостающие цифры?

47. Какие числа?

Вот еще задача такого же рода. Требуется установить, какие числа перемножаются в примере:

48. Что делили?

Восстановите недостающие цифры в примере деления:

49. Деление на 11

Напишите какое-нибудь девятизначное число, в котором нет повторяющихся цифр (все цифры разные) и которое делится без остатка на 11.

Напишите наибольшее из таких чисел. Напишите наименьшее из таких чисел.

50. Странные случаи умножения

Рассмотрите такой случай умножения двух чисел:

48 х 159 = 7632.

Он замечателен тем, что в нем участвуют по одному разу все девять значащих цифр.

Можете ли вы подобрать еще несколько таких примеров? Сколько их, если они вообще существуют?

51. Числовой треугольник

В кружках этого треугольника (рис. 43) расставьте все девять значащих цифр так, чтобы сумма их на каждой стороне составляла 20.

52. Еще числовой треугольник

Все значащие цифры разместить в кружках того же треугольника (рис. 43) так, чтобы сумма их на каждой стороне равнялась 17.

Рис. 43

53. Магическая звезда

Шестиконечная числовая звезда, изображенная на рис.

44, обладает «магическим» свойством: все шесть рядов чисел имеют одну и ту же сумму

4 + 6 + 7 + 9 = 26 11+ 6+ 8 + 1=26

4 + 8 + 12 + 2 = 26 11+ 7+ 5 + 3 = 26

9 + 5 + 10 + 2 = 26 1 + 12 + 10 + 3 = 26

Но суммачисел, расположенных на вершинах звезды, другая:

4 +11 + 9 + 3 + 2 + 1 = 30.

Не удастся ли вам усовершенствовать эту звезду, расставив числа в кружках так, чтобы не только прямые ряды давали одинаковые суммы (26), но чтобы ту же сумму(26) составляли числа на вершинах звезды?

Рис. 44

РЕШЕНИЯ ГОЛОВОЛОМОК 42-53

42. Все три задачи неразрешимы; и счетчик, и я могли безбоязненно обещать за их решения любую премию. Чтобы в этом удостовериться, обратимся к языку алгебры и рассмотрим задачи одну за другой.

Задача первая: уплата 5-ти рублей. Предположим, что уплата возможна и что для этого понадобилось хполтинников, удвугривенных и zпятаков. Имеем уравнение:

50 x+ 20 у+ 5 z= 500.

Сократив на 5, получаем:

10х+ 4 у + z =100.

Кроме того, так как общее число монет по условию равно 20, то х, у и zсвязаны еще и другим уравнением:

х + у + z =20.

Вычтя это уравнение из первого, получаем:

9х + 3 у =80.

Разделив на 3, приводим уравнение к виду:

Но Зх,тройное число полтинников, есть, конечно, число целое. Число двугривенных, у,также целое. Сумма же двух целых чисел не может оказаться числом дробным (26 ²/ ₃). Наше предположение о разрешимости этой задачи приводит, как видите, к нелепости. Значит, задача неразрешима.

Подобным же образом читатель убедится в неразрешимости двух других, «удешевленных» задач: с уплатою 3 и 2 рублей. Первая приводит к уравнению:

Вторая – к уравнению:

То и другое в целых числах неразрешимо.

Как видите, ни счетчик, ни я нисколько не рисковали, предлагая крупные суммы за решение этих задач: выдать премий никогда не придется.

Другое дело было бы, если бы требовалось уплатить двадцатью монетами названного достоинства не 5, не 3 и не 2 руб., а, например, 4 руб.: тогда задача легко решалась бы и даже семью различными способами [6]6
  Вот одно из возможных решений: 6 полтинников, 2 двугривенных (20-копеечная монета. – Прим. ред.)и 12 пятаков.


[Закрыть].

43. 888 + 88 + 8 + 8 + 8 = 1000.

44. Вот два решения:

22 + 2 = 24; З 3 – 3 = 24.

45. Приводим три решения:

6 х 6 – 6 = 30; З ³+ 3 = 30; 33 – 3 = 30.

46. Недостающие цифры восстанавливаются постепенно, если применить следующий ход рассуждений.

Для удобства пронумеруем строки:

Легко сообразить, что последняя звездочка в III строке цифр есть 0: это ясно из того, что 0 стоит в конце VI строки.

Теперь определяется значение последней звездочки I строки: это цифра, которая от умножения на 2 дает число, оканчивающееся нулем, а от умножения на 3 – число, оканчивающееся пятью (V ряд). Цифра такая только одна – 5.

Нетрудно догадаться, что скрывается под звездочкой II строки: 8, потому что только при умножении на 8 цифра 5 дает результат, оканчивающийся 20 (IV строка).

Наконец, становится ясным значение первой звездочки строки I: это цифра 4, потому что только 4, умноженное на 8, дает результат, начинающийся на 3 (строка IV). Узнать остальные неизвестные цифры теперь не составляет никакой трудности: достаточно перемножить числа первых двух строк, уже вполне определившиеся.

В конечном итоге получаем такой пример умножения:

47– Подобным сейчас примененному ходом рассуждений раскрываем значение звездочек и в этом случае. Получаем:

48. Вот искомый случай деления:

49. Чтобы решить эту задачу, надо знать признак делимости на 11. Число делится на 11, если разность между суммою цифр, стоящих на четных местах, и суммою цифр, стоящих на нечетных местах, делится на 11 или равна нулю.

Испытаем, для примера, число 23 658 904.

Сумма цифр, стоящих на четных местах:

3 + 5 + 9 + 4 = 21,

сумма цифр, стоящих на нечетных местах:

2 + 6 + 8 + 0 = 16.

Разность их (надо вычитать из большего меньшее) равна:

21 – 16 = 5.

Эта разность (5) не делится на 11, значит, и взятое число не делится без остатка на 11.

Испытаем другое число – 7 344 535:

3 + 4 + 3 = 10,

7 + 4 + 5 + 5 = 21,

21 – 10 = И.

Так как 11 делится на 11, то и испытуемое число кратно 11.

Теперь легко сообразить, в каком порядке надо писать девять цифр, чтобы получилось число, кратное 11 и удовлетворяющее требованиям задачи.

Вот пример:

352 049 786.

Испытаем:

3 + 2 + 4 + 7 + 6 = 22,

5 + 0 + 9 + 8 = 22.

Разность 22-22 = 0; значит, написанное нами число кратно 11.

Наибольшее из всех таких чисел есть:

987 652 413.

Наименьшее:

102 347 586.

Пользуюсь случаем познакомить читателей с другим признаком делимости на 11, хотя и не пригодным для решения нашей задачи, зато весьма удобным для практических надобностей. Он состоит в том, что испытуемое число разбивают справа налево на грани по две цифры в каждой и грани эти складывают как двузначные числа. Если полученная сумма делится на 11, то и испытуемое число кратно 11.

Поясним сказанное тремя примерами.

1) Число 154. Разбиваем на грани: 1-54. Складываем:

I + 54 = 55. Так как 55 кратно 11, то и 154 кратно 11:

154: 11 = 14.

2) Число 7843. Разбив на грани (78-43), складываем их: 78+43 = 121. Эта сумма делится на 11, значит, делится и испытуемое число.

3) Число 4 375 632. Разбив на грани, складываем:

4 + 37 + 56 + 32 = 129. Полученное число также разбиваем на грани (1 + 29) и складываем их: 1 + 29 = = 30. Число это не кратно 11, значит, не делится на 11 и число 129, а следовательно, и первоначальное число 4 375 632.

На чем этот способ основан? Поясним это на последнем примере.

Число 4 375 632 = 4 000 000 + 370 000 + 5 600 + 32.

Далее:

Так как числа 99, 9999 и 999 999 кратны 11, ясно, что делимость нашего числа на 11 зависит от делимости суммы чисел, стоящих в скобках, т. е. суммы граней испытуемого числа.

50. Терпеливый читатель может разыскать девять случаев такого умножения. Вот они:

12x 483 = 5796

42 х 138 = 5796

18 х 297 = 5346

27 х 198 = 5346

39 х 186 = 7254

48 х 159 = 7632

28 х 157 = 4396

4 х 1738 = 6952

4 х 1963 = 7852

51-52. Решения показаны на прилагаемых рисунках 45 и 46. Средние цифры каждого ряда можно переставить и получить таким образом еще ряд решений.

53. Чтобы облегчить себе отыскание требуемого расположения чисел, будем руководствоваться следующими соображениями.

Сумма чисел на концах искомой звезды равна 26; сумма же чисел звезды 78. Значит, сумма чисел внутреннего шестиугольника равна 78-26 = 52.

Рассмотрим затем один из больших треугольников. Сумма чисел каждой его стороны равна 26; сложим числа всех трех сторон – получим 26 х 3 = 78, причем каждое из чисел, стоящих на углах, входит дважды. А так как сумма чисел трех внутренних пар (т. е. внутреннего шестиугольника) должна, как мы знаем, равняться 52, то удвоенная сумма чисел на вершинах каждого треугольника равна 78-52 = 26; однократная же сумма = 13.

Рис. 45

Рис. 46

Рис. 47

Поле поисков теперь заметно сузилось. Мы знаем, например, что ни 12, ни 11 не могут занимать вершины звезды (почему?). Значит, испытания можно начинать с

10, причем сразу определяется, какие два числа должны занимать остальные вершины треугольника: 1 и 2. Подвигаясь таким путем далее, мы, наконец, разыщем требуемое расположение. Оно показано на рис. 47.