Текст книги "Солнечная система (Астрономия и астрофизика)"

Автор книги: Владимир Сурдин

сообщить о нарушении

Текущая страница: 2 (всего у книги 22 страниц) [доступный отрывок для чтения: 9 страниц]

Театральным жестом показывает на Солнце. Народ подымает глаза и в ужасе замирает. Пылающий диск уменьшается. В отчаянии все падают ниц.

«Кайтесь! Молитесь Птаху, Хатор, Ра! Клянитесь трудиться, как велит моральный кодекс Строителя Пирамид! Не покладать рук от восхода до заката! Жертвуйте Храму! Все лучшее – богам и их детям! Клянитесь громче, и да услышат вас бессмертные боги!»

Долгий нечленораздельный, чередующийся с членораздельным, вой. Диск Солнца увеличивается, затмение кончается. Народ ликует – конец света отложен. Чаша «на воссоздание Храма Ра-Спасителя» быстро наполняется.

Какие выводы сделаем мы из этой обычной истории?

Вывод первый. Астрономия была достаточно развита в Древнем Египте. Примерно то же можно сказать и о древней Месопотамии, где также происходили подобные сценки.

Вывод второй. В отличие от Китая астрономия, да и вся наука, в Древнем Египте была не на государственной службе, а прозябала в храмах, была важной частью занятий жрецов и только жрецов.

Вывод третий. Астрономия целиком (а другие науки – частично) была эзотерической, т.е. тайной. Жрецы тщательно скрывали свои занятия наукой, выдавая за общение с богами свои наблюдения светил, а за записи воли богов – свои вычисления моментов затмений путем решения алгебраических и тригонометрических уравнений (увы, дифференциальных им боги не открыли). Если бы кто-то из жрецов прочел бы публичную лекцию «Солнечные и лунные затмения, их причины и следствия», он не дожил бы до следующего дня. Убийства за нарушение эзотеричности были в то время обычным явлением. Ведь трудно удержаться и не рассказать хоть кому-то тайну, которой владеешь. Теперь эзотеричность науки осталась только в ее военной части. Желаю вам дожить до времени, когда она исчезнет совсем. А если вы увидите или услышите о «докторе эзотерических наук», отнеситесь к этому как к вредному, а не полезному ископаемому.

Всемирное тяготение

Согласно Исааку Ньютону, любые две материальные частицы Q₁ и Q₂ притягиваются друг к другу с силой F, прямо пропорциональной массам m₁, m₂ и обратно пропорциональной квадрату расстояния r.

  F=Gm₁m₂ /r²          (1).

Коэффициент пропорциональности G называют постоянной тяготения или гравитационной постоянной.

Какой контраст с прошлым! Вместо непонятно откуда взятых нагромождений кругов – простая, коротенькая и кристально ясная формула. Все сложные движения небесных тел, и не только в крошечной Солнечной системе, а во всей Вселенной, предстали математическими следствиями соотношения (1)! С точки зрения математики, запись (1) приводит к дифференциальным  уравнениям движения небесных тел. По определению, дифференциальные уравнения механики представляют собой закон, по которому положениям и скоростям всех небесных тел ставятся в соответствие их ускорения. Скорость v любого тела есть вектор, равный производной по времени, от вектора положения r. Вектор ускорения w есть скорость изменения скорости, т.е. производная от скорости или, что то же, вторая производная от вектора положения. А сила и ускорение отличаются лишь скалярным множителем – массой.

Мы не будем здесь составлять и решать дифференциальные уравнения. Дадим лишь пояснения. Дифференциальное уравнение всегда имеет бесконечно много решений. Именно, фиксируем какой-либо момент времени t₀. Положения и скорости всех тел в этот момент могут быть произвольными. Если их закрепить, то положения всех тел для любого времени t как в будущем, так и в прошлом определяются однозначно. В астрономии принято t₀ называть начальной эпохой (хотя ничего ни первоначального, ни эпохального здесь нет), положения и скорости – состоянием системы, положения и скорости в начальную эпоху – начальными данными. Таким образом, состояние системы однозначно определяется начальными данными.

В качестве простейшего примера приведем движение по прямой по инерции как решение дифференциального уравнения движения частицы в бессиловом поле. Силы нет, ускорение равно нулю и уравнение тривиально:

ω=0.   (2)

Его общее решение описывает прямолинейное и равномерное движение:

υ=υ₀

r=r₀+υ₀(t-t₀),   (3)

где индексом 0 помечены положение и скорость в начальную эпоху. То, что линейные функции времени (3) удовлетворяют уравнению (2), очевидно. То, что других решений нет, вытекает из теоремы, согласно которой интеграл определяется однозначно с точностью до постоянного слагаемого.

Вернемся к Ньютону. Формула (1) была ясна ему (и не одному ему) интуитивно, по аналогии со светом. Освещенность от точечного источника в среде без поглощения ослабевает обратно пропорционально квадрату расстояния. С чего бы гравитации подчиняться другому закону? Но интуиция может подвести даже гения (таких случаев история знает сколько угодно). Главная заслуга Ньютона – доказательство закона тяготения. Ученый выбрал метод, похожий на доказательство от противного. Именно, он выводит проверяемые следствия (1) и убеждается, что все они согласуются с наблюдениями в пределах ошибки измерений. Если хоть раз натолкнуться на разительное противоречие, то закон тяготения надо похоронить. Если нет… Математик скажет, что из последнего ничего не следует. «Противное» может лишь опровергнуть ваше предположение, но не доказать его. Но астрономия, физика, все естественные науки в корне отличны от математики. Закон (1) проверялся тысячами ученых на миллионах объектов во всех частях Вселенной в самых разных условиях и всегда выходил победителем. Так что истинность его установлена с наивысшей степенью надежности.

Тут самое время сделать существенную оговорку. Согласно любой из развитых философий наши знания отражают действительность не точно, а с некоторой погрешностью. Прогресс науки заключается, в частности, в том, что эта погрешность усилиями ученых уменьшается, но нулем ее сделать невозможно. Некоторые отклонения в движениях светил от ньютоновских правил все же были обнаружены, что в конце концов привело к созданию А. Эйнштейном более совершенной теории тяготения, включающей ньютоновскую в предельном случае малых (по сравнению со скоростью света) скоростей и сравнительно слабых полей тяготения. Модель Эйнштейна получила странное имя – Общая теория относительности; о ней мы поговорим позже. А пока заметим, что в подавляющем большинстве случаев релятивистскими поправками (от лат. относительными поправками, что сбивает с толку настолько, что русский перевод никогда не употребляется; имеются в виду поправки, вводимые теорией относительности, общей или частной) можно пренебречь и считать ньютоновскую теорию абсолютной истиной. Рассмотрим, по каким траекториям будут тогда двигаться небесные тела.

Движение в главном поле

Траектории небесных тел сложны и запутаны. Чтобы в них разобраться, поступим согласно канонам теории возмущений. Именно, выделим главные силы, действующие на систему и пренебрежем всеми остальными. Полученную упрощенную систему назовем невозмущенной. Решим ее. А уже потом добавим другие, малые силы. А малое воздействие, – как принято говорить, малое возмущение, – учесть значительно легче (об этом позже).

Массы планет значительно меньше массы дневного светила. Юпитер в тысячу раз легче Солнца, Сатурн в три раза легче Юпитера, Земля в сто раз легче Сатурна… Поэтому в первом приближении можно считать, что на каждую из планет действует только притяжение Солнца.

Еще более идеализируем задачу, предполагая планету материальной частицей пренебрежимо малой массы. Но Солнце считать «частицей» нельзя, оно имеет внушительные видимые размеры. Примем, что Солнце – идеальный шар, плотность которого зависит лишь от расстояния до его центра. Как доказал И. Ньютон, шар притягивает внешние частицы как материальная точка той же массы, помещенная в его центре. Мы пришли к модельной задаче одного притягивающего центра. Каковы траектории частицы в поле притяжения массивной центральной точки S? Как показал Ньютон, возможны четыре типа орбит:

1. Луч или отрезок, лежащие на прямой L, проходящей через центральное тело S. Этот случай имеет место, если начальная скорость направлена точно к S или точно в противоположную сторону. Это свойство сохраняется во все время движения, что лишний раз подчеркивает условность термина «начальная». Остальные три типа орбит – плоские кривые, не содержащие прямолинейных участков.

2. Эллипс (рис.2). Центральное тело S, как ни странно это звучит, находится не в центре эллипса, а в одном из двух его фокусов. Отличие эллипса от окружности измеряется эксцентриситетом е – отношением расстояния между фокусами к длине большой оси. Эксцентриситет окружности равен нулю. Эллипс тем более вытянут, чем ближе е к единице.

Рис.2

3. Парабола (рис.3). По параболе частица уходит в бесконечность. Скорость частицы уменьшается, неограниченно приближаясь к нулю. Фигурально выражаясь, частица уходит в бесконечность и останавливается там.

Рис.3.

4. Гипербола (рис.4). По гиперболе частица уходит в бесконечность, приближаясь к некоторой прямой, асимптоте. Скорость частицы приближается к некоторой положительной величине υ_∞– скорости на бесконечности, оставаясь все время больше нее.

Рис.4.

По какой из трех кривых будет двигаться частица зависит от полной механической энергии Е единицы массы, включающей в себя кинетическую Е_к и гравитационную потенциальную Е_р. Поскольку трения нет, то Е сохраняется во все время движения. Оказывается, частица движется по эллипсу, если Е<0; по параболе, если Е=0; по гиперболе, если Е>0. Напомню, что потенциальная энергия имеет смысл с точностью до постоянного слагаемого. В физике и астрономии это слагаемое принято фиксировать условием Е_р=0, когда частица находится бесконечно далеко от S.

При таком соглашении

Е_к=υ²/2    и   Е_р=—К²/r,     (4)

где К =√GM, а М – масса S. Если расстояния измерять в километрах, время – в секундах, то К=364305, если S – Солнце; К = 631,35, если S – Земля. На практике часто вместо Е используют более наглядную величину – скорость υ=√2Е_к. Критическому значению Е=0 отвечает вторая космическая скорость υ_II (называемая также скоростью убегания или параболической скоростью). Понятно, что υ_II – не число, а зависящая от расстояния до S величина: скажем, для спутника Земли υ_II=11 км/с вблизи поверхности планеты, но υ_II=1,5 км/с у орбиты Луны. Полезно знать, что первая космическая (круговая) скорость υ_I и параболическая скорость υ_II различаются только множителем √2: υ_II=υ_I√2≈1,41υ_I

Между круговой и параболической скоростями есть принципиальная разница. Чтобы двигаться по окружности, круговую скорость следует направить перпендикулярно радиусу-вектору, соединяющему центральное тело и частицу. Чтобы уйти на бесконечность, достаточно развить параболическую скорость; при этом ее направление безразлично, лишь бы избежать столкновения с S.

За исключением специального случая (когда скорость направлена точно к S или точно в противоположную сторону) орбиты оказались кривыми линиями. К тому же, движение по орбитам неравномерно. Самая большая скорость – в перицентре (ближайшей к S точке орбиты), и чем дальше от перицентра, тем она меньше. Наименьшая скорость в случае эллипса – в апоцентре (наиболее удаленной от S точке орбиты).

Дадим количественные соотношения. Расстояние r_р от S до перицентра выражается через большую полуось а (среднее расстояние от движущегося тела до S) и эксцентриситет е по формуле  r_p=а(1—е). Расстояние r_а от S до апоцентра r_а=а(1+е). Скорости в экстремальных точках (апсидах) эллипса составляют:

υ_p=υ_I(a)√(1+e)/√(1—e)    и    υ_a=υ_I(a)√(1—e)/√(1+e)

Здесь υ_I(a) – круговая скорость на расстоянии от a до S. В свою очередь υ_I убывает обратно пропорционально квадратному корню из расстояния до S: υ_I=K/√r.

Между большой полуосью и периодом обращения существует связь, открытая еще И. Кеплером в начале XVII в.:

Р = 2π(а^3/2/K)       (5)

Разумеется, выражение постоянной К через G и М – заслуга Ньютона.

Если эллипс близок к окружности, различие скоростей в разных точках орбиты невелико. У Земли в ее движении вокруг Солнца е=0,016, υ_p=31км/с, υ_a=29км/с. У кометы Галлея эллипс очень вытянут: е=0,96; так что υ_p=51км/с, υ_a=1км/с. Такой характер ускорений и замедлений на орбите понять легко, если воспользоваться аналогией с вращением грузика на стержне вокруг горизонтальной оси. Внизу скорость наибольшая, наверху – наименьшая. В нашей задаче «вниз» – это направление к притягивающему центру, «вверх» – прочь от него. Причина изменений скорости и для планеты, и для маятника одна: закон сохранения энергии. «Наверху» потенциальная энергия гравитации максимальна, «внизу» – минимальна. Для кинетической энергии соотношение противоположно.

Набор орбит оказался небольшим. В век космонавтики мы можем выбирать высоту или период обращения искусственных небесных тел в широких пределах, но в силу (5) по отдельности, а не вместе. Наименьший период обращения ИСЗ – полтора часа – соответствует круговой орбите минимальной высоты. Максимального периода теоретически нет, но подавляющее большинство ИСЗ имеют период не более 24 час.

Притяжение и форма небесных тел

Многие искусственные спутники Земли (ИСЗ) летают низко, почти царапая Землю: в масштабе школьного глобуса (1:50000000) не далее сантиметра от него. Тут уж даже Землю шаром считать нельзя, хоть на глазок это и незаметно. А вот Юпитер и особенно Сатурн обладают отчетливо видимым сжатием. Одним словом, чтобы идти дальше, надо разобраться с формой небесных тел и их притяжением.

Начнем с последнего. Пусть нам известна форма и строение протяженного небесного тела Т. Как определить силу тяготения, с которой Т притягивает какую-либо частицу Q? Перейдем к ускорению – оно не зависит от массы пробной частицы (уникальное свойство гравитационного поля, открытое Г. Галилеем). Поэтому можно считать, что Т создает вокруг себя (и в себе самом тоже) поле ускорений, математически точное описание гравитационного поля. Как найти его? Разобьем мысленно Т на столь малые кубики, чтобы их размерами можно было бы пренебречь по сравнению с расстоянием до Q (рис.5).

Рис.5

Вектор ускорения w_s, сообщаемого Q со стороны s-гo кубика, равен согласно (1)

w_s=—(Gm_s/r_s³)r_s     (6)

Поясним, откуда взялся минус и куб в знаменателе. Модуль ускорения равен Gm_s/r_s², и он умножен на единичный вектор —r_s/r_s направления от массы m_s к точке Q (рис.5). Полное ускорение равно векторной сумме (6) по всем кубикам. Разумеется, так получается приближенная величина. Чтобы вычислить точную, нужно перейти к пределу, устремляя ребро кубика к нулю. В пределе получим тройной интеграл по телу Т. С помощью хорошего компьютера интеграл взять нетрудно. Но ведь даже для данного тела его нужно считать в огромном количестве точек пространства. Чаще всего идут другим путем. Как уже говорилось, Ньютон сумел вычислить интеграл для шара со сферическим распределением плотности и убедился, что внешние частицы шара притягивают в точности как материальная точка той же массы, помещенная в его центре. А дальше П.-С. Лаплас предложил следующую схему определения гравитационного поля Т. Во-первых, проще вместо векторного поля ускорений иметь дело со скалярным полем гравитационной потенциальной энергии Е_р единицы массы Q. Оба поля однозначно определяют друг друга. Во-вторых, представим поле в виде ряда, т.е. суммы бесконечного числа слагаемых:

Е_р=V₀+V₁+V₂+…      (7)

Здесь начальное слагаемое описывает притяжение шара с центром в центре масс Т и нам уже известно из формулы (4): V₀=—К²/r. В отличие от силы, потенциал шара убывает обратно пропорционально первой степени расстояния от центра масс Т. Следующие слагаемые V_s убывают обратно пропорционально r^s+1, причем V₁=0. Если Q далеко, то достаточно взять несколько первых членов (7) или даже только начальный член, чтобы получить удовлетворительную точность. Иными словами, гравитационное поле любого тела с удалением от него все больше напоминает поле шара, в полном соответствии с наблюдением древних софистов, что издали и квадратная башня кажется круглой. Для близких Q (например, если Т – Земля, Q – ИСЗ) для высокоточного определения гравитации надо брать десятки и сотни слагаемых. Каждое из них представляет не очень сложную функцию координат точки Q. Например,

V₂=(A₁x²+A₂y²—(A1+A2)z²+A₃xy+A₄yz+A₅zx)/r⁵

Важно, что V_s содержит числовые коэффициенты. Например, в V₂ их пять: A₁÷А₅. Эти коэффициенты можно определить, измеряя гравитационный потенциал, или ускорение на поверхности тела или вблизи нее. А можно следить за движением его искусственных спутников. В любом случае мы получаем систему многих алгебраических уравнений со многими неизвестными (коэффициентами типа A_s). Ее решение непросто, но современная математика и вычислительная техника с этим справляется.

Итак, мы описали два способа представления гравитационного поля любого тела: тройным интегралом и рядом Лапласа. Существует еще несколько способов, и в каждой конкретной задаче можно выбрать оптимальный.

Перейдем к вопросу о форме, которую придает гравитация небесному телу. Пусть выполнены следующие три допущения. Во-первых, тело изолировано и компактно, т.е. никакие другие тела на него не действуют, а самогравитация значительна. Во-вторых, тело находится в жидком, газообразном или пластическом состоянии. В третьих, в теле нет источников энергии. Насколько реальны эти допущения?

1. Полной изолированности, конечно, нет. В качестве примера сравним силы, с которыми притягивают каждого из нас Земля (F₁) и Луна (F₂). В подлунной точке (там, где Луна видна в зените) в момент, когда Луна в перигее своей орбиты, F₂ максимальна. Но и тогда F₂/F₁≈4×10^-6. На самом деле влияние Луны на форму Земли еще меньше. Именно оно вызывает приливы, о чем еще будет рассказано. Сейчас достаточно заметить, что изолированность в Солнечной системе выдержана в очень хорошем приближении.

2. Солнце состоит из газа, планеты-гиганты тоже, с возможным включением жидкой и твердой фазы в центральных слоях, что несущественно. Земля же тверда, и только в центральной части присутствует жидкая фаза. Но на длительные воздействия Земля отвечает как пластическое тело, течет, как воск. – А горы? – спросите вы. Да, некоторые напряжения твердая земля может выдержать. Горы не сплющиваются, впадины не заполняются у нас на глазах. Но высота гор не может превзойти значения порядка 10 км, иначе давление превысит критическое, вещество подошвы станет пластическим, начнет расползаться под действием веса, и в результате высота горы уменьшится.

Подобная пластичность наблюдается у всех больших тел, вплоть до 500 км в диаметре. У малых тел, меньших 200 км в диаметре, гравитация незначительна, предположение пластичности не выполняется. Промежуточный случай 200-500 км с трудом поддается анализу, поскольку нужно знать древнюю историю тел. Если они подвергались сильному нагреву, то в это время были текучими и успели принять форму, диктуемую гравитацией. В противном случае они представляют собой бесформенные глыбы.

3. У планет земной группы, спутников, малых планет внутренние источники энергии существуют в виде рассеянных – в основном в коре – радиоактивных элементов. Но их энерговыделение крайне незначительно и может вызвать перемешивание вещества со скоростями разве что в сантиметры за год. Юпитер выделяет тепло за счет продолжающегося сжатия. Это приводит к конвекции вещества и дифференциальному вращению (период оборота вокруг оси зависит от широты и глубины). Солнце и большинство нормальных звезд спокойно выделяет энергию ядерных реакций, происходящих в центральной части. В результате мы наблюдаем конвекцию и дифференциальное вращение, как у планет группы Юпитера. Это вносит незначительные поправки в чисто гравитационную форму небесных тел.

Можно заключить, что все три предположения выполняются для крупных тел Солнечной системы и для большинства звезд. Хотя бы одно из них неверно для тесных двойных звезд, туманностей и молекулярных облаков, мелких (менее 200-300 км в диаметре) тел, бурно выделяющих энергию звезд. Эти случаи исключим из рассмотрения. Какую форму примет самогравитирующее неподвижное небесное тело? Без всяких вычислений ясно, что форму шара, причем плотность вещества будет зависеть лишь от расстояния до центра шара, убывая от центра к краю. Всякое поднятие над поверхностью должно расползтись, выемка – заполниться, всякое более тяжелое включение должно опуститься, более легкое – всплыть. А нет ли еще каких-либо неожиданных экзотических фигур равновесия неподвижного тела? Нет, и это доказал наш великий соотечественник А.М. Ляпунов (1857—1918), петербургский академик. Как обычно, доказательство несуществования оказалось очень сложным. Стоило ли вообще им заниматься? Стоило, ведь интуиция может подвести, как это видно на примере эллипсоидов Якоби и груш Пуанкаре (см. ниже). Вот откуда шарообразность Луны, Земли, Солнца и множества других небесных тел: правит бал гравитация, а не мифическое совершенство небес.

Теперь включим вращение. В наших предположениях тело будет вращаться вокруг неподвижной оси как целое. Такое вращение называют твердотельным: тело жидкое, но вращается, как будто оно твердое, так что расстояния между частицами неизменны. Действительно, всякие внутренние течения без источников энергии должны в конце концов затухнуть из-за трения.

Раз вращение твердотельно, естественно рассматривать положение каждой частицы в системе отсчета, жестко связанной с небесным телом, вращающейся вместе с ним. Именно такая система естественна для всех, кроме космонавтов. Сидя на стуле, мы считаем себя неподвижными, хотя вертимся вместе с Землей с угловой скоростью 1 оборот в сутки, чему соответствует линейная скорость на экваторе 460м/с (в Петербурге она снижается до 230м/с). Однако вращающаяся система, как принято говорить в физике, неинерциальна. Это значит, что правильное описание движений в такой системе достигается введением сил инерции. В случае равномерного вращения вокруг неподвижной оси таких сил две: кориолисова и центробежная. Кориолисова действует лишь на движущиеся в нашей системе частицы и исчезает, если они не перемещаются друг относительно друга. Центробежная направлена прочь от оси вращения (правильнее было бы говорить об «осебежной» силе, но так не принято) и сообщаемое ею ускорение равно ω²R, где ω – угловая скорость, R – расстояние до оси. Частица ощущает лишь векторную сумму двух сил: тяготения и центробежной. Сумма эта называется силой тяжести. Направление последней воспринимается как «низ», противоположное – «верх».

Поверхность находящейся в равновесии фигуры должна быть перпендикулярна силе тяжести. Тогда маленький участок поверхности кажется горизонтальным. В противном случае этот участок будет наклонным, и жидкость потечет сверху вниз. Ясно, что шар уже не может служить фигурой равновесия. Она должна быть сжата у полюсов (рис.6). Чтобы найти поверхность тела T, нужно перевести выделенные курсивом слова на язык уравнений и решить их. Вы знаете немало примеров того, как коротенькая формула заменяет долгое и неуклюжее словесное описание. Здесь ситуация противоположна: коротенькая фраза, выражающая физический смысл явления, приводит к сложным и громоздким уравнениям. Ведь тяготение описывается тройным интегралом по телу, форма которого неизвестна! Задача о форме небесных тел далека от окончательного решения, хотя основные результаты получили еще классики: И. Ньютон, К. Маклорен, Дж. Дарвин (Великобритания), П. Лаплас, Э. Рош (Франция), К. Якоби, Л. Лихтенштейн (Германия), П.Л.Чебышёв, А.М. Ляпунов (Россия), С. Чандрасекар (Индия, США) и другие.

Рис.6. Силы, действующие на поверхностную частицу тела во вращающейся вокруг оси z системе отсчета: F₁ – сила тяготения, F₂ – центробежная сила, F – результирующая сила тяжести. Слева – сечение шара, справа – фигуры равновесия; ГГ – линия математического горизонта.

Не слишком быстро вращающееся однородное тело принимает форму сжатого эллипсоида вращения (эллипсоида Маклорена). Его параметры – большая и малая полуоси – однозначно определяются массой и угловой скоростью вращения (рис.7). Если вращать быстрее, появляются трехосные эллипсоиды (эллипсоиды Якоби). Их открытие – а они появились как решение некоторой системы уравнений – повергло ученый мир в изумление. Интуиция ясно говорила, что однородное вращающееся тело должно быть телом вращения, каламбур воспринимался как тавтология! Ан нет! Вращение тела не обязано давать тела вращения! Потом были открыты еще более экзотические тела: вращающиеся на боку груши и даже тела с волнистой поверхностью. Правда, подобная экзотика существует только на бумаге (употребим старое выражение, как-то неловко звучит «на электронных носителях»). Реальные тела вертятся медленно, и для них выполнена теорема Ляпунова: фигура равновесия осесимметрична и обладает экватором, т.е. каждое меридиональное сечение одинаково, северное и южное полушария одинаковы. Даже скучновато немного. Но природа изощренна и сумела обойти ограничения Ляпунова в тесных двойных и полуразделенных системах, где нарушено условие изолированности.

Рис.7. Формы вращающихся тел. Указаны последовательности фигур равновесия несжимаемых, «жидких» тел (сплошные линии) и сжимаемых, газовых тел (пунктир). Оси вращения у всех фигур на рисунке расположены вертикально.

Небесные тела лунных и более размеров резко неоднородны: плотность в центре существенно превышает плотность у поверхности. Для Земли – на порядок, для Юпитера – на 4-5 порядков, для Солнца – на 7 порядков. Так что однородные фигуры равновесия служат лишь крайне упрощенными моделями. Но в случае медленного вращения форму поверхности можно представить аналогичным (7) рядом Ляпунова:

ƒ(φ)= R[ƒ₀(φ)+ƒ₁(φ)+ƒ₂(φ) +…]       (8)

Тут требуются пояснения. Форму поверхности вращения естественно задавать уравнением r=ƒ(φ), связывающим широту φ с расстоянием от поверхности до центра масс r функциональной зависимостью ƒ. Таков смысл левой части (8). В правой части R – характерный размер тела, например, радиус равновеликого шара. Тогда ƒ₀ тождественно равна единице, так что в нулевом приближении тело является шаром r=R – const. Остальные члены ряда дают малые поправки, причем ƒ_s пропорциональна q^s. Здесь q=ω²R³/(GM) представляет собой безразмерный малый параметр, равный отношению центробежной силы к силе тяготения на экваторе шара массы М и радиуса R. Для Земли, Юпитера, Солнца q равно соответственно 0,0034; 0,083; 0,00002. Наибольшим значением q=0,139 в Солнечной системе обладает Сатурн.

Функция ƒ₁ имеет вид ƒ₁(φ)= Aq(1—3sin²φ), где число А определяется распределением масс внутри тела Т. Для однородного тела А=5/12. Для противоположного крайнего случая сосредоточенной в центре массы, окруженной невесомой атмосферой, А=1/6. Остальные ƒ_s можно найти последовательно методом Ляпунова.

Функция ƒ, представляющая поверхность сжатого эллипсоида вращения Е, также может быть разложена в ряд (8), причем ƒ₀=1. ƒ₁=е²(1—3sin²(φ))/6, где е – эксцентриситет меридионального сечения. Подбирая его так, чтобы Aq=е²/6, добьемся совпадения Rƒ₀ и Rƒ₁ у Т и Е. Таким образом, любая фигура равновесия в нулевом приближении – шар, в первом – сжатый эллипсоид вращения.

Движение ИСЗ

Как рассчитывают трассы небесных тел в сложных гравитационных полях? Простых формул, подобных выведенным Кеплером и Ньютоном для описания движения частицы вокруг шара, для сложных полей не существует. Более того, за редчайшими исключениями вообще не существует абсолютно точных формул. Это следствие реальной сложности движений. Какими же средствами располагает современная наука? В самых общих чертах их можно разделить на две группы.

1. Аналитические методы. С их помощью сложное движение можно представить как наложение бесконечного числа простых движений. До предела упрощенный пример – знакомая по школьным учебникам формула суммы бесконечного числа членов геометрической прогрессии

1/x=1+(1-x)+(1-x)²+(1-x)³+…     (9)

Предположим, что марсиане умеют складывать, вычитать и умножать числа, представленные десятичными дробями, и знают, что есть и обратное умножению действие – деление, но делить не научились. Так вот, левую часть (9) марсиане смогут вычислить, складывая большое количество чисел из правой части, а каждое из них получается умножением (1—х) самого на себя. Уже на этом простейшем примере видны две особенности аналитического подхода.

Во-первых, для получения точного ответа нужно проделать бесконечно много операций, что невозможно. Но для достижения заданной точности нужно произвести уже конечное число операций. Последнее тем больше, чем выше требования к точности. Пусть, например, х=1,1. Чтобы ошибка (9) составила не больше 0,01, следует взять два слагаемых справа; четыре слагаемых гарантируют погрешность менее 0,0001.

Во-вторых, формулы аналитического метода работают не для одного какого-то набора значений переменных величин, а для любых их значений из некоторой области. Так, равенство (9) можно применять не только при х=1,1, а для всех значений х от нуля до двух. Но для х=—1,5 формула (9) не годится и приходится прибегать к другим соотношениям. Напимер, для —2<х<0 можно применить формулу 1/х=—[1+(1+х)+(1+х)²+(1+х)³+…]. В небесной механике орбиты разного типа также описываются разным набором аналитических формул.

2. Численные методы представляют собой вычисление положения и скорости частицы в последовательные моменты, разделенные небольшими промежутками времени, по соответствующим значениям этих величин и действующих сил в предшествующие моменты. Такой путь прост и универсален. Большое количество вычислений в век электроники – недостаток не самый важный. Хуже, что получается лишь одна траектория и даже для соседней все вычисления приходится выполнять с самого начала.

На практике нередко комбинируют аналитический и численный методы, что привело к впечатляющим успехам в описании движения планет, их спутников, комет, астероидов. Но мы нарушим исторический порядок, обратившись сначала к искусственным небесным телам. ИСЗ ближе к нам и двигаются сравнительно просто. Естественно переходить от простого к сложному.

Свой виток вокруг планеты спутник проходит почти точно по эллипсу, но виток не замкнется. Следующий оборот будет отличаться от предыдущего примерно на 1/300, так как настолько притяжение Земли вблизи ее поверхности отличается от притяжения шара. За триста оборотов (примерно месяц для близких ИСЗ) орбита может измениться до неузнаваемости. Меняется не все. Истинное движение мало (в пределах 10км) отклоняется от движения по некоторому опорному эллипсу. Опорный эллипс имеет фиксированные размер, форму и наклон к плоскости экватора, но вращается вокруг двух осей одновременно. Во-первых, линия апсид (соединяющая перигей и апогей) поворачивается в плоскости эллипса с угловой скоростью ω₁. Во-вторых, сама эта плоскость поворачивается вокруг полярной оси с угловой скоростью ω₂. В терминах небесной механики перицентр испытывает вековое возмущение со скоростью ω₁ а восходящий узел орбиты на экваторе – вековое возмущение со скоростью ω₂. В результате траектория типичного ИСЗ приобретает вид запутанного клубка, изображенного на рис.8. Описанные свойства надо учитывать при проектировании, чтобы спутник с успехом выполнял свою работу.