Текст книги "Удовольствие от X.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир"

Автор книги: Стивен Строгац

сообщить о нарушении

Текущая страница: 4 (всего у книги 13 страниц) [доступный отрывок для чтения: 4 страниц]

10. Игра с квадратами

Формула для вычисления корней квадратного уравнения – это Родни Дэнджерфилд[47]47
  Родни Дэнджерфилд (1921–2004) – популярный американский комедийный актёр. Сниматься стал поздно. Известен благодаря фильмам «Гольф-клуб» (1980), «Лёгкие деньги» (1983) и «Снова в школу» (1986). Прим. перев.


[Закрыть] алгебры. И, будучи одной из формул всех времён и народов, она не заслужила никакого уважения. Даже профессионалы не особо её жалуют. Когда математиков и физиков просят составить десятку самых красивых или важных уравнений[48]48
  Книги о великих уравнениях: M. Guillen, Five Equations That Changed the World (Hyperion, 1995); G. Farmelo, It Must Be Beautiful (Granta, 2002) и R. P. Crease, The Great Equations (W.W. Norton and Company, 2009).


[Закрыть] всех времён, квадратное уравнение никогда не проходит отбор. Да, конечно, все восторгаются 1+1=2, E=m∙c² и элегантной маленькой теоремой Пифагора, которая важничает просто потому, что она вот такая: a²+b²=c². Но квадратное уравнение? Конечно же нет.

По общему признанию, формула для вычисления корней квадратного уравнения некрасива. Некоторые студенты начинают робко выяснять у неё результат, произнося как ритуальное заклинание:

«x равен минус b плюс-минус квадратный корень из b квадрат минус четыре a∙c, делённое на два a».

Другие сделаны из более прочного материала и смотрят формуле прямо в лицо, бесстрашно сопротивляясь пугающей смеси из букв и символов:

И только когда вы осознаёте, на что способна эта формула, вы начинаете ценить её внутреннюю красоту. Надеюсь, эта глава поможет вам совладать с кажущимся сумбуром символов, а также позволит понять, что означает уравнение и откуда оно берётся.

Во многих ситуациях мы хотели бы выяснить значение некоего неизвестного числа. Какую дозу лучевой терапии следует применить, чтобы уменьшить опухоль щитовидной железы? Сколько денег вам придётся платить ежемесячно, чтобы покрыть тридцатилетний ипотечный кредит в размере 200 тысяч долларов при фиксированной годовой процентной ставке, равной 5 %? С какой скоростью должны лететь ракеты, чтобы преодолеть притяжение Земли?

В алгебре мы уже получили первый опыт решения простейших задач такого типа. Эти решения были разработаны исламскими математиками около 800 года нашей эры и основывались на более ранних исследованиях египетских, вавилонских, греческих и индийских учёных. Импульсом для их разработки послужили сложности при расчёте размера наследства[49]49
  Множество подобных примеров обсуждается в статье S. Gandz, The algebra of inheritance: A rehabilitation of al-Khuwarizmi, Osiris, Vol. 5 (1938), рр. 319–391.


[Закрыть] по канонам исламского права.

Например, предположим, что умирает вдовец и оставляет всё своё имущество (10 дирхемов) дочери и двум сыновьям. Согласно законам ислама, сыновья должны получить равные доли, причём каждому сыну положена сумма вдвое бо́льшая, чем дочери. Сколько дирхемов причитается каждому из наследников?

Давайте используем букву x для обозначения суммы наследства дочери. Пока нам неизвестно значение x, мы можем рассуждать о нём как об обычном числе. В частности, мы знаем, что каждый сын получит в два раза больше, чем дочь, то есть по 2∙x. Таким образом, общее наследство равно x+2∙x+2∙x, всего 5∙x,и эта сумма должна равняться общей стоимости наследственного имущества в 10 дирхемов. Следовательно, 5∙x=10 дирхемов. Наконец, разделив обе части уравнения на 5, мы видим, что х=2 дирхема (это доля дочери). Поскольку каждый из сыновей наследует 2∙x, то им причитается по 4 дирхема.

Обратите внимание, что в этой задаче появилось два типа чисел: известные – 2, 5 и 10 и неизвестные, такие как x. Как только мы смогли вывести соотношение между ними (воплощённое в уравнении 5∙x=10), сразу же получили возможность выделить неизвестное x, упростив уравнение путём деления его обеих частей на 5. Это немного напоминает, как скульптор обрабатывает кусок мрамора, пытаясь освободить статую из камня.

Потребовалась бы несколько иная тактика, если бы мы столкнулись с необходимостью вычесть известное число из неизвестного, как в уравнении x−2=5. Чтобы выделить x в этом случае, мы избавляемся от 2, добавив её в обе части уравнения. Следовательно, слева будет x, а справа 5+2=7. Таким образом, x=7, что вы, конечно, уже поняли.

Хотя этот метод сейчас знаком всем студентам, изучающим алгебру, они не осознают, что от него произошло само понятие алгебры. В начале IX века работавший в Багдаде математик Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми[50]50
  Подход Аль-Хорезми к решению квадратных уравнений описан в книге V. J. Katz, A History of Mathematics, 2^nd edition (Addison Wesley Longman, 1998), рр. 244–249.


[Закрыть] написал фундаментальный учебник, в котором говорилось, что к обеим частям уравнения следует прибавлять величину, равную вычитаемой величине (число 2 в приведённом выше примере). Он назвал этот процесс al-jabr (по-арабски «восстановление»), что позже трансформировалось в «алгебру». Затем, спустя много лет после своей смерти, он опять выиграл этимологический джекпот, поскольку его собственное имя, аль-Хорезми, живёт и доныне в слове «алгоритм».

В своём учебнике, прежде чем начать пробираться сквозь хитросплетения вычислительного наследия прошлого, аль-Хорезми описал более сложный класс уравнений, воплощающий соотношение между тремя видами чисел, а не только теми двумя, которые мы рассматривали выше. Наряду с известными числами и неизвестными (x) в эти уравнения также включены квадраты неизвестных (x²). Они теперь называются квадратными уравнениями, от латинского quadratus, то есть «квадрат». Древние учёные в Вавилоне, Египте, Греции, Китае и Индии уже бились над головоломками, часто возникающими в архитектурных или геометрических задачах, связанных с определением площадей или пропорций, и показали, как решать некоторые из них.

Например, аль-Хорезми рассмотрел квадратное уравнение

x²+10∙x=39.

Однако в его время такие задачи формулировались устно, а не в виде уравнений. Он задал вопрос: «Какая площадь при увеличении на десять собственных корней даёт 39?» (Здесь термин «корень» относится к неизвестным x).

Эта задача гораздо сложнее, чем те две, которые мы рассматривали выше. Как мы можем выделить х сейчас? Приёмы, используемые ранее, неэффективны, так как члены уравнения x² и 10∙x здесь наступают друг другу на пятки. Даже если удастся освободиться от x в одном из них, другой член остаётся связанным. Например, если мы разделим обе части уравнения на 10, 10∙x сократится до x (к чему мы и стремились), но x² превратится в x²/10, что нисколько не приближает нас к желаемому результату. Основным препятствием является то, что мы хотим одновременно сделать две, по-видимому, несовместимые вещи.

На предложенном аль-Хорезми решении квадратного уравнения стоит остановиться подробнее. Во-первых, потому что оно блестяще, а во-вторых, потому что оно настолько мощное, что позволяет решать все квадратные уравнения одним махом. Это означает, что, если известные числа 10 и 39 из нашего уравнения поменять на другие, метод всё равно будет работать.

Идея аль-Хорезми состоит в том, чтобы представить каждое из слагаемых в уравнении геометрически. Первый член x² – это площадь квадрата со стороной x.

Второй член 10∙x можно рассматривать как площадь прямоугольника 10 на х, или, более изощрённо, как площадь двух равных прямоугольников, каждый размером 5 на х. (Разбиение прямоугольника на два меньших готовит почву для основного манёвра, который последует далее, – получения полного квадрата.)

Прикрепите два новых прямоугольника к площади x² для получения г-образной фигуры x²+10∙x:

В таком случае головоломка аль-Хорезми сводится к вопросу: если г-образная фигура занимает 39 квадратных единиц площади, то каким должен быть х?

Изображение само по себе неуклонно подталкивает к следующему шагу. Посмотрите на пустой угол. Если бы он был заполнен, то г-образная фигура превратилась бы в идеальный квадрат. Учтём это наблюдение и заполним квадрат.

Помещение в пустой угол квадрата 5∙5 добавляет 25 квадратных единиц к уже существующей площади x²+10∙х и в общей сложности даёт x²+10∙x+25. Это равносильно выражению общей площади в виде (x+5)², так как каждая сторона заполненной площади равна x+5 единиц.

Между тем, поскольку мы добавили 25 единиц к левой части уравнения x²+10∙x=39, для сохранения баланса следует добавить 25 и к его правой части. Так как 39+25=64, то наше уравнение превращается в

(x+5)²=64.

Это уравнение наверняка решаемо. Вычисляя квадратные корни из его обеих частей, получаем х+5=8 и, следовательно, х=3.

Число 3 действительно является корнем уравнения х²+10∙x=39. Если возвести 3 в квадрат, получится 9, а затем добавить 10 раз по 3 (выйдет 30), то общая сумма составит 39, что и требовалось доказать.

В этом решении есть одна загвоздка. Если бы аль-Хорезми занимался алгеброй сейчас, то он не получил бы «полного доверия» к такому ответу, так как не упомянул, что отрицательное число x=−13 тоже является корнем. Возведение его в квадрат даёт 169, умножение на 10 даст −130, а их сумма составит 39. Но это отрицательное решение в древние времена было бы проигнорировано, поскольку квадрат со стороной отрицательной длины геометрически не имеет смысла. Сегодня алгебра меньше обязана геометрии, и мы считаем положительные и отрицательные решения одинаково правильными.

Только спустя несколько столетий после смерти аль-Хорезми учёные пришли к пониманию, что все квадратные уравнения могут решаться аналогичным способом – путём заполнения квадратов до тех пор, пока они склонны это позволять отрицательным числам (и их квадратным корням), которые часто встречаются в ответах. Такая линия аргументации выявляет, что решения любых квадратных уравнений

a∙x²+b∙x+c=0

(где a, b, c – известные, но произвольные числа, а х – неизвестная) могут быть представлены в виде формулы для вычисления их корней

Что такого примечательного в этой формуле и насколько она точна и всеобъемлюща? Ответы находятся прямо в ней: она работает при любых коэффициентах a, b и c. Учитывая наличие бесконечного множества возможных вариантов значений каждого из них, для одной формулы это уже немало.

В наше время квадратные уравнения стали незаменимым инструментом для практического применения. Инженеры и учёные используют их для настройки радиоаппаратуры, анализа вибрации пешеходных мостов и небоскрёбов, расчётов движения пушечного ядра, снижения и роста популяции животных и бесчисленного множества других явлений реального мира.

Для формулы, родившейся тринадцать веков назад, это совсем немало.

11. Инструменты силы

Если вы были страстным любителем телевидения в 1980-х, то, конечно, помните сериал под названием «Детективное агентство „Лунный свет“» с живыми диалогами и романтическими отношениями между партнёрами по фильму. В нём пару проницательных частных детективов Дэвида Эддисона и Мэдди Хэйс исполняли Брюс Уиллис и Сибилл Шепард.

В ходе расследования одного особенно жестокого дела Дэвид интересуется у помощника, кто ему кажется наиболее вероятным преступником. «Ума не приложу», – отвечает Мэдди. «А вы знаете, чего я не понимаю?» – спрашивает Дэвид. «Логарифмов?» – догадывается помощник. И Дэвид, реагируя на взгляд Мэдди, произносит: «А что? Вы их понимаете?»

Это довольно точно отражает всеобщее отношение к логарифмам. Большинство людей после окончания средней школы их никогда уже больше не используют, по крайней мере осознанно, и не обращают внимания на логарифмы, скрывающиеся за кулисами повседневной жизни.

То же самое касается и многих других функций[51]51
  Для простоты выражение x² я назвал функцией, но было бы точнее говорить об отображении x в x². Я надеюсь, что это сокращение не запутает читателя, поскольку подобные надписи мы видим на кнопках калькулятора.


[Закрыть], рассматриваемых в высшей математике и началах анализа. Степенны́е функции, показательные функции – в чём их суть? В этой главе я хочу помочь вам по достоинству оценить их полезность, даже если вам никогда не приходилось нажимать на кнопки инженерного калькулятора.

Математику необходимы функции по той же причине, что и строителю молотки и свёрла. Инструменты преобразовывают вещи. То же самое делают функции. Поэтому математики часто обращаются к ним для выполнения преобразований. Но вместо дерева и стали функции обрабатывают числа и графики, а порой и другие функции.

Чтобы понять, что я имею в виду, давайте построим график уравнения y=4−x². Возможно, вы помните, как это делается: сначала вы рисуете плоскость xy с горизонтальной осью x и вертикальной y. Затем для каждого значения x вычисляете соответствующее значение y; эта пара чисел является координатами одной точки графика на плоскости xy. Например, если x=1, то уравнение говорит, что y=4−1²=4−1=3. Таким образом (x, у)=(1, 3) координаты точки. После того как вы вычислите и построите ещё несколько точек на плоскости, возникнет следующая картина.

У нас получилась изогнутая математическими плоскогубцами кривая. В уравнении для y функция, которая преобразует x в x², ведёт себя подобно обычному инструменту для сгибания материала. Когда её прикладывают к любой точке на оси x (прямую от точки x до точки x² можно представить в виде прямого куска проволоки), плоскогубцы изгибают и вытягивают этот кусок проволоки в направлении вниз так, чтобы получилась изогнутая арка, как показано на рисунке.

А какую роль играет число 4 в уравнении у=4−x²? Это гвоздь, на который повесят картину на стену. Он поднимает изогнутые арки из проволоки на 4 единицы вверх. Так как при этом все точки кривой поднимаются на одинаковую высоту, то она считается постоянной функцией.

Данный пример иллюстрирует двойственный характер функций. С одной стороны, это инструменты: x² изгибает часть оси x, а 4 – её лифт. С другой – строительные блоки: 4 и x² можно рассматривать как составные части более сложной функции 4−x², точно так же, как провода, аккумуляторы и транзисторы – составные части радиоприёмника.

Как только вы начинаете смотреть на мир подобным образом, сразу же везде замечаете функции. Описанная выше в виде арки кривая, в математике называемая параболой, – это автограф, который дала квадратичная функция за кулисами. Ищите её, когда любуетесь струями фонтана. И если вам доведётся побывать в международном аэропорту Детройта, обязательно остановитесь у фонтана терминала Delta, чтобы насладиться потрясающими резвящимися параболами[52]52
  Рекламный ролик о функциях водяных струй в аэропорту Детройта, созданный WET Design, можно посмотреть на сайте http://www.youtube.com/watch?v=VSUKNxVXE4E
  Уилл Хоффман и Дерек Бойл сняли интригующее видео о параболах и их экспоненциальных кузинах, кривых, называемых цепной линией (линия, форму которой принимает гибкая однородная нерастяжимая тяжёлая нить или цепь, – отсюда и название). См. WNYC/NPR Radio Lab presents Parabolas (etc.) на сайте http://www.youtube.com/watch?v=rdSgqHuI-mw


[Закрыть].

Параболы и константы ассоциируются с более широким классом функций – степенны́ми функциями вида xⁿ, в которых значение переменной x возводится в фиксированную степень n. Для параболы n=2, для константы n=0.

Разные значения n дают различные ручные инструменты. Например, возведение x в первую степень (n=1) даёт функцию, которая работает как пандус, отражая устойчивое увеличение роста или спада. Такая функция называется линейной, потому что её графиком, построенным по точкам с координатами (x, y), является прямая линия. Если вы оставите на улице пустое ведро во время непрекращающегося ливня, то количество воды в нём будет расти линейно во времени.

Ещё один полезный инструмент – обратно пропорциональная квадратичная функция у=1/x², здесь n=−2. (Степень этой функции равна −2, так как x² стоит в знаменателе.) Эта функция хороша для описания затухания волн и ослабления сил в зависимости от расстояния x. Например, так затихает звук по мере удаления от источника.

Такие степенны́е функции служат строительными блоками, используемыми учёными и инженерами для описания роста и спада, которые происходят не слишком быстро. Но если нужен математический динамит, пора распаковать экспоненциальные функции. Они описывают все возможные быстропротекающие процессы – от цепных ядерных реакций до пролиферации бактерий в чашке Петри. Наиболее известный пример – функция y=10^x, то есть 10 возведено в степень х. Не путайте её с ранее рассмотренными степенны́ми функциями. Здесь показатель (степень x) является переменной, а основание (число 10) постоянной, тогда как в степенно́й функции, подобной х², всё наоборот. Такая перемена мест (переменной и константы) приводит к огромной разнице между этими функциями: при увеличивающемся значении x экспоненциальная функция с показателем x в конечном итоге растёт быстрее любой степенно́й функции, независимо от её степени. Экспоненциальный рост – невообразимо быстрый рост.

Вот почему так трудно сложить лист бумаги пополам больше семи-восьми раз[53]53
  Историю о приключениях Бритни Галливан со складыванием бумаги см. в B. allivan, How to fold a paper in half twelve times: An «impossible challenge» solved and explained, Pomona, CA: Historical Society of Pomona Valley, 2002 на сайте http://pomonahistorical.org/12times.htm


[Закрыть]. Каждое сложение листа удваивает его толщину, что приводит к её (толщины) увеличению в геометрической прогрессии. В то же время длина, каждый раз сжимаясь пополам, уменьшается по экспоненциальному закону. После семи сложений толщина стандартного листа из записной книжки становится больше его длины, и поэтому дальше его складывать нельзя. Причём неважно, сколько усилий прикладывает человек при складывании. Предположим, лист можно сложить n раз – в результате стопка должна иметь 2ⁿслоёв. Здесь не может быть линейной зависимости, и ещё одно сложение невозможно, если толщина стопки больше её длины.

Задача считалась нерешаемой, пока в 2002 году Бритни Галливан, ученица старшего класса средней школы, не доказала обратное. Сначала она вывела формулу

L=(π∙T/6)∙(2ⁿ+4)∙(2ⁿ−1),

которая позволяла посчитать максимальное количество сложений n, где T – толщина листа бумаги, L – его длина, и складывается он только в одном направлении. Обратите внимание на запрещающее присутствие экспоненциальной функции 2ⁿ в двух местах: первый раз для учёта удвоения толщины пачки при каждом сложении, а во второй – чтобы учесть двукратное сокращение её длины.

Используя свою формулу, Бритни пришла к выводу, что ей понадобится специальный рулон туалетной бумаги почти в три четверти мили длиной. Она купила бумагу и в январе 2002 года отправилась в торговый центр в своём родном городе Помона, где и размотала её. Семь часов спустя с помощью родителей девочка побила мировой рекорд, сложив бумагу двенадцать раз!

В теории также предполагается, что экспоненциальный рост увеличит ваш банковский счёт. Если ваш вклад растёт с годовой процентной ставкой, равной r, то через год сумма увеличится в (1+r) раз от первоначального размера вклада; после двух лет она вырастет в (1+r)² раз, а после x лет – в (1+r)^х раз. Таким образом, чудо погашения долга[54]54
  Здесь речь идёт о том, что если процентная ставка депозита выше ставки по кредиту, то через несколько лет сумма на депозите может погасить сумму кредита. Прим. ред.


[Закрыть], о котором мы так часто слышим, вызвано действием экспоненциального роста.

С этого места можно вернуться к логарифмам. Мы нуждаемся в них потому, что полезно иметь инструменты, которые могут отменить действие других инструментов. Подобно тому как каждый служащий нуждается как в степлере, так и в антистеплере, каждый математик нуждается как в показательных (экспоненциальных) функциях, так и в логарифмах, поскольку они взаимообратны. Это означает, что если вы введёте в калькулятор число x и нажмёте кнопку «10^х», а затем кнопку «log x», то в результате опять получите число х. Например, если x=2, то 10^хсоставит 100. Взяв десятичный логарифм от 100, снова получим 2, так как log[55]55
  Как правило логарифм по основанию 10 записывают как lg, но на калькуляторе кнопка «log x» обозначает десятичный логарифм. Прим. ред.


[Закрыть](100)=2. Кроме того, log(1000)=3, log(10000)=4, потому что 1000=10³, 10000=10⁴.

Обратите внимание, в этом есть что-то магическое: как только числа внутри логарифмов увеличиваются мультипликативно каждый раз с десятикратным увеличением от 100 до 1000 и до 10 000 (то есть умножаются на 10), их логарифмы растут аддитивно, увеличиваясь от 2 до 3 и до 4. Наш мозг выполняет подобный трюк, когда мы слушаем музыку. Частоты нот в музыкальной гамме – до, ре, ми, фа, соль, ля, си – становятся нам слышны благодаря увеличению высоты звука равными интервалами. Но объективно их частоты растут, умноженные на равные множители. Мы же воспринимаем расстояние между высотой звука в гаммах «логарифмически»[56]56
  Для справок и дальнейшего обсуждения нотных гамм и нашего (почти) логарифмического восприятия высоты звука см. J. H. McDermott and A. J. Oxenham, Music perception, pitch, and the auditory system, Current Opinion in Neurobiology, Vol. 18 (2008), pp. 1–12 на:
  http://en.wikipedia.org/wiki/Pitch_(music)
  http://en.wikipedia.org/wiki/Musical_scale
  и
  http://en.wikipedia.org/wiki/Piano_key_frequencies
  Для подтверждения того, что наше врождённое арифметическое мышление также и логарифмическое см. S. Dehaene, V. Izard, E. Spelke, and P. Pica, Log or linear? Distinct intuitions of the number scale in Western and Amazonian indigene cultures, Science, Vol. 320 (2008), pp. 1217–1220 на сайте http://www.sciencedaily.com/releases/2008/05/080529141344.htm
  Прим. ред.: О связи математики и музыки см. Волошинов А.В. Математика и искусство. М.: Просвещение, 2000. Эта книга не только для тех, кто любит математику или искусство, но и для тех, кто желает задуматься о природе прекрасного и красоте науки. Настоятельно рекомендую эту книгу.


[Закрыть].

Везде, где появляются логарифмы, – от шкалы Рихтера для определения магнитуды землетрясений до коэффициента кислотности pH, – они становятся замечательными «уплотнителями». Логарифмы идеально подходят для величин, изменяющихся в широком диапазоне, и сжимают их, чтобы они стали более управляемыми. Например, 100 и 100 000 000 отличаются в миллион раз – эту пропасть большинство из нас даже не может вообразить. Но их логарифмы разнятся всего в четыре раза (равны 2 и 8, так как 100=10² и 100000000=10⁸). Когда мы разговариваем о заработной плате, то используем грубую версию логарифмической краткости, определяя заработную плату в интервале между 100 000 и 999 999 долларов шестью цифрами. Эта «шестёрка» является приблизительным логарифмом этих сумм заработной платы, которые на самом деле находятся в диапазоне от 5 до 6.

Поскольку только инструменты математика могут сделать так впечатляюще много, как описанные функции, возможно, именно поэтому я до сих пор не собрал купленные книжные шкафы.

Часть III. Фигуры

12. Танец квадратов

Спорим, я смогу угадать ваш любимый раздел математики в средней школе?

Это геометрия. Правильно?

Столько из встреченных мной за эти годы людей говорили мне о своей любви к этому предмету. Вместе с тем, скольких образно мыслящих людей, у которых лучше развито правое полушарие, используемое при занятиях геометрией, отпугнула её холодная логика? Наверное, многих. Но некоторые признавались, что любят геометрию именно за её логичность. Математическое доказательство каждой новой теоремы представляет собой цепочку логических следствий из уже ранее доказанных теорем. Таким образом, при доказательстве теоремы оно сводится к ранее доказанному, что для многих становится источником вдохновения.

Но лучшая моя догадка (и откровенное признание, почему лично я люблю геометрию) заключается в том, что люди наслаждаются этой наукой, потому что она замужем за логикой и интуицией. Она хорошо себя чувствует, когда мы используем оба полушария мозга.

Чтобы проиллюстрировать, какое удовольствие можно получить от геометрии, снова обратимся к теореме Пифагора, которую вы, наверное, помните в виде равенства a²+b²=c². Здесь я преследую две цели: убедиться, что она верна, и оценить её значение. Помимо этого, рассмотрев два её различных доказательства, мы сможем воочию убедиться, что они могут быть не только правильными, но и элегантными.

Теорема Пифагора относится к прямоугольному треугольнику, то есть к треугольнику, один из углов которого равен 90°. Такие треугольники интересны тем, что их можно получить, разрезав прямоугольник по диагонали на две равные части:

А так как в условиях различных задач прямоугольники не редкость, то, соответственно, и прямоугольные треугольники тоже. Например, они встречаются в геодезии.

Измеряя поле прямоугольной формы, вы, возможно, захотите узнать расстояние по диагонали от одного угла до противоположного. (Кстати, в начале своего существования геометрия применялась именно при измерении площади земельного участка, то есть в измерении земли: geo – земля, а metr – измерение.)

Теорема Пифагора[57]57
  Оказывается, древние вавилоняне, индийцы и китайцы уже за несколько веков до Пифагора и греков обладали знаниями, содержащимися в теореме Пифагора. Для получения дополнительных сведений об истории и значении теоремы, а также обзор множества её изобретательных доказательств см. книгу E. Maor, The Pythagorean Theorem (Princeton University Press, 2007).
  Прим. ред.: Аналогом данной книги на русском языке может служить книга Литцман В. Теорема Пифагора. М.: ГИФМЛ, 1960.


[Закрыть] указывает, какова длина диагонали по сравнению со сторонами прямоугольника. Если одна сторона имеет длину a, а другая – b, то теорема утверждает, что длиной диагонали будет c, где

a²+b²=c².

Почему-то самая длинная сторона прямоугольного треугольника называется гипотенузой[58]58
  На странице 13 своей книги Маор объясняет, что слово «гипотенуза» означает «натянутая под», и указывает, что это имеет смысл, если считать, что гипотенуза прямоугольного треугольника находится внизу (см. евклидово доказательство теоремы Пифагора). Он также отмечает, что эта интерпретация хорошо вписывается в китайское слово, обозначающее гипотенузу, «сянь» (hsien) – струна, натянутая между двумя точками (как в лютне).


[Закрыть], хотя я никогда не встречал никого, кто знает историю происхождения этого термина. (Может, какой-нибудь древнеримский или греческий учёный?)

Посмотрим, как работает теорема Пифагора. Для этого в выражение a²+b²=c² подставим числа. Пусть a=3 ярдам и b=4 ярдам. Тогда, чтобы определить неизвестную длину стороны c, мы надеваем чёрные капюшоны и читаем нараспев: с² – это сумма 3² и 4², что равно 9 и 16. (Имейте в виду, что все величины теперь измеряются в квадратных ярдах, так как мы возводим в квадрат не только сами числа, но и ярды.) Так как 9+16=25, то c²=25 квадратным ярдам. Далее извлекаем квадратные корни из обеих частей уравнения и получаем длину гипотенузы c=5 ярдов.

Такой подход к теореме Пифагора создаёт впечатление, что в ней говорится о длине сторон треугольника. Хотя традиционно считается, что в ней идёт речь о площадях. Это становится очевидным, если посмотреть, как Пифагор её сформулировал.

Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах.

Обратите внимание на слова «построенный на». Мы не говорим о квадрате гипотенузы – это новомодная алгебраическая концепция об умножении длины гипотенузы саму на себя. Нет, мы здесь имеем в виду некий квадрат, «сидящий» на гипотенузе примерно вот так:

Давайте назовём его большим квадратом, чтобы отличить от малого и среднего, которые можно построить на двух других сторонах:

Теперь теорема утверждает, что большой квадрат имеет такую же площадь, как малый и средний, вместе взятые.

На протяжении тысяч лет этот чудесный факт подтверждался следующей диаграммой, представляющей мнемоническую символьную схему танца квадратов:

Рассматривать теорему с точки зрения площадей квадратов весьма приятно. Например, построив квадраты из множества маленьких крекеров[59]59
  Дети и их родители насладятся съедобными иллюстрациями теоремы Пифагора, предложенными Джорджем Хартом на его постере Pythagorean crackers («Пифагорейские крекеры») для музея математики по адресу http://momath.org/home/pythagorean-crackers/


[Закрыть], вы можете сначала эмпирическим путём проверить верность теоремы, а затем съесть их. Или можно представить теорему как детскую головоломку, состоящую из пазлов различной формы и размера. Путём их перестановки теорему очень легко доказать.

Давайте вернёмся к наклонённому квадрату, сидящему на гипотенузе.

Интуитивно это изображение должно немного смущать. Квадрат выглядит потенциально нестабильным: кажется, что он может свалиться или съехать вниз по наклонной плоскости. А тут ещё явное самоуправство: каждая из его четырёх сторон хочет соприкасаться с треугольником.

Чтобы усмирить все стороны квадрата, поместим ещё три таких же треугольника на три его оставшиеся стороны так, чтобы получилась более устойчивая и симметричная картинка.

Теперь вспомним, что мы пытаемся доказать, что наклонённый белый квадрат (большой квадрат, всё ещё сидящий на гипотенузе) имеет такую же площадь, как малые и средние квадраты, вместе взятые. Но где же здесь другие квадраты? Чтобы найти их, надо переместить часть треугольников. Представьте картинку как изображение головоломки. В углах её жёсткой рамки вставлены четыре кусочка треугольной формы.

При такой интерпретации наклонённый квадрат будет свободным пространством в середине головоломки. Оставшуюся часть внутри рамки занимают пазлы. Попробуем их подвигать. Конечно, что бы мы ни делали, мы никогда не сможем изменить общую площадь свободного пространства внутри рамки – оно всегда будет областью, лежащей вне пазлов.

После небольшого мозгового штурма переставим пазлы таким образом:

Пустое пространство неожиданно принимает форму среднего и малого квадрата, которые мы ищем. А так как общая площадь свободного пространства неизменна, вот мы и доказали теорему Пифагора!

Это доказательство даёт гораздо больше, чем уверенность в правильности теоремы, – оно её разъясняет. И именно это делает его элегантным.

Для сравнения рассмотрим ещё одно доказательство. Не менее знаменитое, и, пожалуй, самое простое из тех, где не используются площади.

Как и прежде, возьмём прямоугольный треугольник со сторонами a, b и гипотенузой c, как показано ниже на рисунке слева.

Далее (как что-то подсказывает нам по божественному вдохновению или благодаря собственной гениальности) проведём перпендикуляр вниз от гипотенузы к противоположному углу, как это сделано в правом треугольнике.

Эта маленькая умная «бестия» внутри исходного треугольника создаёт ещё два меньших треугольника. Легко доказать, что все они подобны, то есть у них одинаковая форма, но различные размеры. Что, в свою очередь, означает, что длина их соответствующих сторон имеет подобные пропорции. Это можно записать в виде следующей системы равенств:

a/f=b/e=c/b и a/d=b/f=c/a

Мы также знаем, что

c=d+e,

поскольку построенный перпендикуляр делит гипотенузу c на два меньших отрезка d и e.

В этот момент не стыдно немного растеряться или просто не знать, что делать дальше. Мы в трясине из пяти представленных выше равенств и пытаемся привести их к равенству

a²+b²=c².

Попробуйте сделать это за несколько минут. Вы обнаружите, что два равенства излишни. Следовательно, это неэлегантное доказательство. В изящном доказательстве не должно быть ничего лишнего. Конечно, все крепки задним умом, но ведь сначала мы ничего не знали об этих равенствах. Что, впрочем, не делает нашу мину при плохой игре лучше.

Тем не менее, манипулируя тремя «нелишними» равенствами, можно вывести требуемое соотношение. (См. пропущенные шаги доказательства в примечании[60]60
  Вот рассуждения, пропущенные во втором доказательстве. Возьмём равенство a/d=c/a и преобразуем его в d=a²/c. Аналогично преобразуя другое равенство, получим e=b²/c. Наконец, подставив выражения для d и e в равенство c=d+e, получим c=a²/c+b²/c. Теперь умножим обе части последнего равенства на c и выведем искомую формулу c²=a²+b².


[Закрыть] в конце книги.)

Согласны ли вы с тем, что с эстетической точки зрения этот вариант уступает первому? Конечно, он приводит к доказательству. Но кто пригласил на вечеринку всю эту алгебру? Ведь это геометрическая теорема.

Однако более серьёзный недостаток последнего доказательства – непрозрачность. К тому времени, когда вы закончите упорно продираться сквозь его дебри, может быть, скрепя сердце вы и поверите в верность теоремы, но всё ещё в этом не убедитесь.

Но оставим в стороне доказательства. Что вообще даёт теорема Пифагора? Она выявляет фундаментальную истину о природе пространства, показывая, что оно плоское, а не изогнутое. Например, для поверхности шара или тора (фигура, похожая на бублик) подобную теорему придётся изменить. Эйнштейн столкнулся с этим в своей общей теории относительности (где гравитация рассматривается не как сила, а как проявление искривления пространства), как и Георг Риман[61]61
  Георг Риман (1826–1866) – немецкий математик. Внёс огромный вклад сразу в несколько разделов математической науки. Положил начало геометрическому направлению в теории аналитических функций, вместе с Огюстеном Коши сформулировал теорию интегралов. Развил комплексный анализ и теорию чисел. Прим. перев.


[Закрыть] и другие учёные в условиях, когда только закладывались основы неевклидовой геометрии.

От Пифагора до Эйнштейна пролегла долгая дорога. Но по крайней мере она прямая – свою бо́льшую часть.