Текст книги "Фейнмановские лекции по физике. 5. Электричество и магнетизм"

Автор книги: Ричард Фейнман

сообщить о нарушении

Текущая страница: 2 (всего у книги 5 страниц) [доступный отрывок для чтения: 2 страниц]

Лучше всего пользоваться абстрактным представлением о поле. Жаль, конечно, что оно абстрактно, но ничего не поделаешь. Попытки представить электрическое поле как движение каких-то зубчатых колесиков или с помощью силовых линий или как напряжения в каких-то материалах потребовали от физиков больше усилий, чем понадобилось бы для того, чтобы просто получить правильные ответы на задачи электродинамики. Интересно, что правильные уравнения поведения света в кристаллах были выведены Мак-Куллохом еще в 1843 г. Но все ему говорили: «Позвольте, ведь нет же ни одного реального материала, механические свойства которого могли бы удовлетворить этим уравнениям, а поскольку свет – это колебания, которые должны происходить в чем-то, постольку мы не можем поверить этим абстрактным уравнениям». Если бы у его современников не было этой предвзятости, они бы поверили в правильные уравнения поведения света в кристаллах намного раньше того, чем это на самом деле случилось.

А что касается магнитных полей, то можно высказать следующее замечание. Предположим, что вам, в конце концов, удалось нарисовать картину магнитного поля при помощи каких-то линий или каких-то шестеренок, катящихся сквозь пространство. Тогда вы попытаетесь объяснить, что происходит с двумя зарядами, движущимися в пространстве параллельно друг другу и с одинаковыми скоростями. Раз они движутся, то они ведут себя как два тока и обладают связанным с ними магнитным полем (как токи в проводах на фиг. 1.8). Но наблюдатель, который мчится вровень с этими двумя зарядами, будет считать их неподвижными и скажет, что никакого магнитного поля там нет. И «шестеренки», и «линии» пропадают, когда вы мчитесь рядом с предметом! Все, чего вы добились,– это изобрели новую проблему. Куда могли деваться эти шестерни?! Если вы чертили силовые линии – у вас появится та же забота. Не только нельзя определить, движутся ли эти линии вместе с зарядами или не движутся, но и вообще они могут полностью исчезнуть в какой-то системе координат.

Мы бы еще хотели подчеркнуть, что явление магнетизма – это на самом деле чисто релятивистский эффект. В только что рассмотренном случае двух зарядов, движущихся параллельно друг другу, можно было бы ожидать, что понадобится сделать релятивистские поправки к их движению порядка v²/c². Эти поправки должны отвечать магнитной силе. Но как быть с силой взаимодействия двух проводников в нашем опыте (фиг. 1.8)? Ведь там магнитная сила – это вся действующая сила. Она не очень-то смахивает на «релятивистскую поправку». Кроме того, если оценить скорости электронов в проводе (вы сами можете это проделать), то вы получите, что их средняя скорость вдоль провода составляет около 0,01 см/сек. Итак, v²/с² равно примерно 10^-25. Вполне пренебрежимая «поправка». Но нет! Хоть в этом случае магнитная сила и составляет 10^-25 от «нормальной» электрической силы, действующей между движущимися электронами, вспомните, что «нормальные» электрические силы исчезли в результате почти идеального баланса из-за того, что количества протонов и электронов в проводах одинаковы. Этот баланс намного более точен, чем 1/10²⁵, и тот малый релятивистский член, который мы называем магнитной силой,– это единственный остающийся член. Он становится преобладающим.

Почти полное взаимное уничтожение электрических эффектов и позволило физикам изучить релятивистские эффекты (т. е. магнетизм) и открыть правильные уравнения (с точностью до v²/с²), даже не зная, что в них происходит. И по этой-то причине после открытия принципа относительности законы электромагнетизма не пришлось менять. В отличие от механики они уже были правильны с точностью до v²/с².

§ 6. Электромагнетизм в науке и технике

В заключение мне хочется закончить эту главу следующим рассказом. Среди многих явлений, изучавшихся древними греками, были два очень странных. Первое: натертый кусочек янтаря мог поднять маленькие клочки папируса, и второе: близ города Магнезия были удивительные камни, которые притягивали железо. Странно думать, что это были единственные известные грекам явления, в которых проявлялись электричество и магнетизм. А почему только это и было им известно, объясняется прежде всего сказочной точностью, с которой сбалансированы в телах заряды (о чем мы уже упоминали). Ученые, жившие в позднейшие времена, раскрыли одно за другим новые явления, в которых выражались некоторые стороны тех же эффектов, связанных с янтарем и с магнитным камнем. Сейчас нам ясно, что и явления химического взаимодействия и, в конечном счете, саму жизнь нужно объяснять с помощью понятий электромагнетизма.

И по мере того как развивалось понимание предмета электромагнетизма, появлялись такие технические возможности, о которых древние не могли даже мечтать: стало возможным посылать сигналы по телеграфу на большие расстояния, беседовать с человеком, который находится за много километров от вас, без помощи какой-либо линии связи, включать огромные энергетические системы – большие водяные турбины, соединенные многосоткилометровыми линиями проводов с другой машиной, которую пускает в ход один рабочий простым поворотом колеса; многие тысячи разветвляющихся проводов и десятки тысяч машин в тысячах мест приводят в движение различные механизмы на фабриках и в квартирах. Все это вращается, двигается, работает благодаря нашему знанию законов электромагнетизма.

Сегодня мы используем и еще более тонкие эффекты. Гигантские электрические силы можно сделать очень точными, их можно контролировать и использовать на всякий лад. Наши приборы так чувствительны, что мы способны узнать, что сейчас делает человек только по тому, как он воздействует на электроны, заключенные в тонком металлическом прутике за сотни километров от него. Для этого только нужно приспособить этот прутик в качестве телевизионной антенны!

В истории человечества (если посмотреть на нее, скажем, через десять тысяч лет) самым значительным событием XIX столетия, несомненно, будет открытие Максвеллом законов электродинамики. На фоне этого важного научного открытия гражданская война в Америке в том же десятилетии будет выглядеть мелким провинциальным происшествием.

* Нужно только договориться о выборе знака циркуляции.

Глава 2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ

§1, Понимание физики

§2.Скалярные и векторные поля – Т и h

§3. Производные нолей —градиент

§4.0ператор ▽

§5.Оверации с ▽

§6. Дифференциальное уравнение потока тепла

§7.Вторые производные векторных полей

§8.Подвохи

Повторить гл.1 (вып. 1) «Векторы»

§ 1. Понимание физики

Физик должен обладать умением подходить к задаче с разных точек зрения. Точный анализ реальных физических проблем обычно крайне сложен, и любое конкретное физическое явление может оказаться слишком запутанным и не поддающимся анализу путем решения дифференциальных уравнений. Но можно все же получить хорошее представление о поведении системы, выработав в себе особую способность чувствовать характер решения в различных обстоятельствах. Этой цели хорошо служат представления о линиях поля, о емкостном, индуктивном и активном сопротивлениях. Мы потратим достаточно много времени на их изучение. Это поможет нам приобрести способность ощущать, что происходит в тех или иных электромагнитных явлениях. С другой стороны, ни одна из вспомогательных, эвристических моделей (например, картина силовых линий) на самом деле не может вместить в себя адекватно и точно все события. Имеется лишь один точный способ представления законов – способ дифференциальных уравнений. Уравнения обладают тем преимуществом, что, во-первых, они фундаментальны, а

во-вторых (насколько нам известно), точны. Если вы их выучили, вы всегда можете к ним вернуться. В них нет ничего, что следовало бы потом забыть.

Чтобы начать понимать, что должно произойти в тех или иных условиях, вам понадобится какое-то время. Вам придется порешать уравнения, и всякий раз, когда вы решите их, вы тем самым узнаете что-то новое о характере решений. Чтобы запомнить эти решения, полезно также сформулировать их смысл на языке линий поля и иных подобных понятий. Таков путь, на котором приходит истинное «понимание» уравнений. В этом и заключается разница между физикой и математикой. Математики или люди с математическим складом ума часто при «изучении» физики теряют физику из виду и впадают в заблуждение. Они говорят: «Послушайте, эти дифференциальные уравнения – уравнения Максвелла – ведь это все, что есть в электродинамике; ведь сами физики признают, что нет ничего, что бы не содержалось в этих уравнениях. Уравнения эти сложны; ладно, но это всего лишь математические уравнения, и если я разберусь в них математически, я разберусь и в физике». Но ничего из этого не выходит. Математики, которые подходят к физике с этой точки зрения (а таких очень много), обычно не делают большого вклада в физику, да, кстати, и в математику. Их постигает неудача оттого, что настоящие физические ситуации реального мира так запутаны, что нужно обладать гораздо более широким пониманием уравнений.

Дирак объяснил, что значит действительно понять уравнение – понять, не ограничиваясь его строгим математическим смыслом. Он сказал: «Я считаю, что понял смысл уравнения, если в состоянии представить себе общий вид его решения, не решая его непосредственно». Значит, если у нас есть способ узнать, что случится в данных условиях, не решая уравнения непосредственно, мы «понимаем» уравнения в применении к этим условиям. Физическое понимание – это нечто неточное, неопределенное и абсолютно нематематическое, но для физика оно совершенно необходимо.

Обычно курс физики подобного рода строится так, что физические представления развиваются постепенно: начиная с самых простейших явлений, переходят ко все более и более сложным. Кое-что из изученного при этом неминуемо забывается (то, что верно лишь в определенных условиях, а не всегда). К примеру, «закон» обратных квадратов для электрической силы верен не всегда. Нам больше по душе обратный подход. Лучше начать с полных, самых общих законов, а затем повернуть вспять и применять их к простым задачам, развивая физические представления по мере продвижения вперед. Так мы и собираемся сделать.

Наш подход совершенно противоположен подходу историческому, когда изложение слепо следует за экспериментами, в которых впервые была получена нужная информация. Но ведь физику развивают множество очень умных людей уже свыше 200 лет, а у нас времени мало и нам нужно овладеть знаниями побыстрее. Поэтому мы не можем охватить все, что они сделали. Так что в этих лекциях мы будем вынуждены пренебречь историей предмета и не будем рассказывать об опытах. Мы надеемся, что вы восполните пропущенное на лабораторных занятиях; и, конечно, очень полезно почитать статьи и книги по истории физики.

§ 2. Скалярные и векторные поля – Т и h

Мы начинаем сейчас рассмотрение абстрактного, математического подхода к теории электричества и магнетизма. Наша цель – объяснить смысл законов, написанных в гл. 1. Но для этого надо сперва объяснить новые особенные обозначения, которые мы хотим использовать. Давайте поэтому на время позабудем электромагнетизм и разберемся в математике векторных полей. Она очень важна не только в электромагнетизме, но и во многих физических обстоятельствах, подобно тому как обычное дифференциальное и интегральное исчисление важно во всех областях физики. Мы переходим к дифференциальному исчислению векторов.

Ниже перечислены некоторые сведения из алгебры векторов. Считается, что вы с ними уже знакомы

Мы будем также пользоваться следующими двумя равенствами:

Фиг. 2.1. Температура Т – пример скалярного поля. С каждой точкой (х, у, z) в пространстве связывается число Т(х, у, z). Все точки на поверхности с пометкой Т=20° (изображенной в виде кривой при z=0) имеют одну и ту же температуру. Стрелки – это примеры вектора потока тепла h.

Уравнение (2.7) справедливо, конечно, только при Dx; Dy и Dz®0.

Простейшее из физических полей – скалярное. Полем, как вы помните, называется величина, зависящая от положения в пространстве. Скалярное поле – это просто такое поле, которое в каждой точке характеризуется одним-единственным числом – скаляром. Это число, конечно, может меняться во времени, но пока мы на это не будем обращать внимания. (Речь будет идти о том, как поле выглядит в данное мгновение.) В качестве примера скалярного поля рассмотрим брусок из какого-то материала. В одних местах брусок нагрет, в других – остужен, так что его температура меняется ют точки к точке каким-то сложным образом. Температура тогда будет функцией х, у и z – положения в пространстве, измеренного в прямоугольной системе координат. Температура – это скалярное поле.

Один способ представить себе скалярное поле – это вообразить «контуры»,

т. е. мысленные поверхности, проведенные через точки с одинаковыми значениями поля, подобно горизонталям на картах, соединяющим точки на одной высоте над уровнем моря. Для температурного поля контуры носят название «изотермические поверхности», или изотермы. На фиг. 2.1 показано температурное поле и зависимость Т от х и у при z=0. Проведено несколько изотерм.

Поля бывают также векторными. Идея их очень проста. В каждой точке пространства задается вектор. Он меняется от точки к точке. Рассмотрим в виде примера вращающееся тело. Скорость материала тела во всякой точке – это вектор, который является функцией ее положения (фиг. 2.2). Другой пример – поток тепла в бруске из некоторого материала. Если в одной части бруска температура выше, а в другой – ниже, то от горячей части к холодной будет идти поток тепла. Тепло в разных частях бруска будет растекаться в различных направлениях. Поток тепла – это величина, имеющая направление;

Фиг. 2.2. Скорости атомов во вращающемся теле – пример векторного поля.

обозначим ее h; длина этого вектора пусть измеряет количество протекающего тепла. Векторы потока тепла также изображены на фиг. 2.1.

Определим теперь h более точно. Длина вектора потока тепла в данной точке – это количество тепловой энергии, проходящее за единицу времени и в пересчете на единицу площади сквозь бесконечно малый элемент поверхности, перпендикулярный к направлению потока. Вектор указывает направление потока (фиг. 2.3). В буквенных обозначениях: если DJ – тепловая энергия, протекающая за единицу времени сквозь элемент поверхности Dа, то

(2.9)

где е_f – единичный вектор направления потока Вектор h можно определить и иначе – через его компоненты. Зададим себе вопрос, сколько тепла протекает через малую поверхность под произвольным углом к направлению потока. На фиг. 2.4 мы изобразили малую поверхность Аa₂ под некоторым углом к поверхности Da_t, которая перпендикулярна к потоку. Единичный вектор n перпендикулярен к поверхности

Фиг.2.3.Тепловой поток– векторное поле. Вектор h указывает направление потока. Абсолютная величина его выражает энергию, переносимую за единицу времени через элемент поверхности, ориентированный поперек потока, деленную на площадь элемента поверхности.

Фиг. 2.4. Тепловые потоки сквозь Aа₂ и сквозь Aa₁ одинаковы.

Aа₂. Угол q между n и h равен углу между поверхностями (так как h – нормаль к Da₁). Чему теперь равен поток тепла через Dа₂ на единицу площади? Потоки сквозь Dа₂ и Dа₁ равны между собой, отличаются только площади. Действительно, Dа₁ = Dа₂cosq. Поток тепла через Dа₂ равен

(2.10)

Поясним это уравнение: поток тепла (в единицу времени и на единицу площади) через произвольный элемент поверхности с единичной нормалью n равен h·n. Можно еще сказать так: компонента потока тепла, перпендикулярная к элементу поверхности Dа₂, равна h·n. Можно, если мы хотим, считать эти утверждения определением h. Сходные идеи мы применим и к другим векторным полям.

§ 3. Производные полей – градиент

Когда поля меняются со временем, то их изменение можно описать, задав их производные по t. Мы хотим также описать и их изменение в пространстве, потому что мы интересуемся связью, скажем, между температурой в некоторой точке и в точке с ней рядом. Как же задать производную температуры по координате? Дифференцировать температуру по х? Или по у, или по z?

Осмысленные физические законы не зависят от ориентации системы координат. Поэтому их нужно писать так, чтобы по обе стороны знака равенства стояли скаляры или векторы. Что же такое производная скалярного поля, скажем, дТ/дх? Скаляр ли это, или вектор, или еще что? Это, как легко понять, ни то ни другое, потому что если взять другую ось х, то дТ/дх изменится. Но заметьте: у нас есть три возможных производных: дТ/дх, дТ/ду и dT/dz. Три сорта производных, а ведь мы знаем, что нужно как раз три числа, чтобы образовать вектор.

Может быть, эти три производные и представляют собой компоненты вектора:

(2.11)

Ясно, конечно, что, вообще говоря, не из любых трех чисел можно составить вектор. О векторе можно говорить только тогда, когда при повороте системы координат компоненты преобразуются по правильному закону. Так что следует проследить, как меняются эти производные при повороте системы координат. Мы покажем, что (2.11) – действительно вектор. Производные действительно преобразуются при вращении системы координат так, как полагается.

В этом можно убедиться по-разному. Можно, например, задать себе вопрос, ответ на который не должен зависеть от системы координат, и попытаться выразить ответ в «инвариантной» форме. К примеру, если S=A·B и если А и В – векторы, то мы знаем (это доказано в вып. 1, гл. 11), что S – скаляр. Мы знаем, что S – скаляр, не проверяя, меняется ли он при изменении системы координат. Ему ничего иного не остается, раз он является скалярным произведением двух векторов. Подобным же образом, если мы знаем, что А – вектор, и у нас есть три числа B₁, B₂, В₃, и мы обнаруживаем, что

(2.12)

(где S в любой системе координат одно и то же), то три числа b₁, B₂, В₃ обязаны быть компонентами В_х, В_у, В_z некоторого вектора В.

Рассмотрим теперь температурное поле. Возьмем две точки P₁ и Р₂, разделенные маленьким расстоянием DR. Температура в Р₁ есть T₁, а в Р₂ она равна T₂ , и их разница DТ=Т₂-Т_{1 .}Температура в этих реальных физических точках, конечно, не зависит от того, какие оси мы выбрали для измерения координат. В частности, DT – тоже число, не зависящее от системы координат. Это скаляр.

Выбрав удобную систему координат, мы можем написать

Т₁ = Т(х, у, z) и Т₂=Т(х + Dх, у + Dу, z + Dz),

где Dx:, Dy, Dz – компоненты вектора DR (фиг. 2.5). Вспомнив (2.7), напишем

(2.13)

Слева в (2.13) стоит скаляр, а справа – сумма трех произведений каких-то чисел на Dx;, Dy, Dz, которые являются компонентами вектора. Значит,

три числа – тоже х-, у– и z-компоненты вектора.

Фиг. 2.5. Вектор DR с компонентами Dх, Dу, Dz.

Мы напишем этот новый вектор при помощи символа СТ. Символ С (называемый набла) – это D вверх ногами; он напоминает нам о дифференцировании. Читают С T по-разному:

«набла T», или «градиент T», или «gradT»:

(2.14)

С этим обозначением (2.13) переписывается в более компактной форме

(2.15)

Или, выражая словами: разница температур в двух близких точках есть скалярное произведение градиента Т на вектор смещения второй точки относительно первой. Форма (2.15) также служит иллюстрацией к нашему утверждению, что ДТ – действительно вектор.

Быть может, вы еще не убеждены? Тогда докажем иначе. (Хотя, вглядевшись внимательно, вы увидите, что это на самом деле то же самое доказательство, только подлиннее!) Мы покажем, что компоненты ДТ преобразуются абсолютно так же, как я компоненты R, а значит, ДТ – тоже вектор в соответствии с первоначальным определением вектора в вып. 1, гл. 11. Мы выберем новую систему координат х', у', z' и в ней вычислим дТ/дх', дТ/ду'_: дТ/dz'. Для простоты положим z=z', так что о третьей координате мы можем позабыть. (Можете сами заняться проверкой более общего случая.)

Фиг. 2.6. Переход к повернутой системе координат (а) и частный

случай интервала DR , параллельного к оси х (б).

Выберем систему х', у', повернутую относительно х, y-системы на угол 9 (фиг. 2.6, а). Координаты точки (х, у) в штрихованной системе имеют вид:

(2.16)

(2.17)

или, решая относительно x и y,

(2.18)

(2.19)

Если всякая пара чисел преобразуется так же, как x и y, то она является компонентами вектора.

Рассмотрим теперь разницу в температурах двух соседних точек Р₁и Р₂(фиг. 2.6, б). В координатах х, у запишем

(2.20)

так как Dу = 0.

А в штрихованной системе? Там мы бы написали

(2.21)

Глядя на фиг. 2.6, б, мы видим, что

(2.22)

и

(2.23)

так как Dy отрицательно при положительном Dx. Подставляя в (2.21), получаем

(2.24)

(2.25)

Сравнивая (2.25) с (2.20), мы видим, что

(2.26)

Это уравнение говорит нам, что дТ/дх получается из дТ/дх' и дТ/ду' в точности так же, как х из х' и у' в (2.18). Значит, дТ/дх – это x-компонента вектора. Сходные же рассуждения показывают, что дТ/ду и dT/dz суть у– и z-компоненты. Стало быть, СТ есть на самом деле вектор. Это векторное поле, образованное из скалярного поля Т.

§ 4. Оператор С

А сейчас мы проделаем крайне занятную и остроумную вещь – одну из тех, которые так украшают математику. Доказательство того, что grad Т, или СT является вектором, не зависит от того, какое скалярное поле мы дифференцируем. Все доводы остались бы в силе, если бы Т было заменено любым скалярным полем. А поскольку уравнения преобразований одинаковы независимо от того, что дифференцируется, то можно Т убрать и уравнение (2.26) заменить операторным уравнением

(2.27)

Как выразился Джинс, мы оставляем операторы «жаждущими продифференцировать что угодно».

Так как сами дифференциальные операторы преобразуются как компоненты векторного поля, то можно назвать их компонентами векторного оператора. Можно написать

(2.28)

это означает, конечно,

(2.29)

Мы абстрагировали градиент от Т – в этом и есть остроумие. Конечно, вы должны все время помнить, что С – это оператор. Сам по себе он ничего не означает. А если С сам по себе ничего не означает, то что выйдет, если мы градиент помножим на скаляр, например на T, чтобы получилось произведение TС? (Ведь вектор всегда можно умножить на скаляр.) Это опять ничего не означает. Компонента х этого выражения равна

(2.30)

а это не число, а все еще какой-то оператор. Однако в согласии с алгеброй векторов ТСпо-прежнему можно называть вектором.

А сейчас помножим С на скаляр с другой стороны. Получится произведение СT. В обычной алгебре

(2.31)

но нужно помнить, что операторная алгебра немного отличается от обычной векторной. Надо всегда выдерживать правильный порядок операторов, чтобы их операции имели смысл. Тогда у вас трудностей не возникнет, если вы припомните, что оператор yподчиняется тем же условиям, что и производные. То, что вы дифференцируете, должно быть поставлено справа от С Порядок здесь существен.

Если помнить о порядке, то сразу ясно, что ТС – это оператор, а произведение СТ – это уже не «жаждущий» оператор, его жажда утолена. Это физическая величина, имеющая смысл. Он представляет собой скорость пространственного изменения Т: x-компонента СТ показывает, насколько быстро Т изменяется в

x-направлении. А куда направлен вектор СТ? Мы знаем, что скорость изменения Т в каком-то направлении – это компонента СТ в этом направлении [см. (2.15)]. Отсюда следует, что направление СТ – это то, по которому СТ обладает самой длинной проекцией; иными словами, то, по которому СТ меняется быстрее всего. Направление градиента Т – это направление быстрейшего подъема величины Т.

§ 5. Операции с С

Можно ли с векторным оператором С производить другие алгебраические действия? Попробуем скомбинировать его с вектором. Из двух векторов можно составить скалярное произведение, причем двоякого рода:

(Вектор)·С или С· (Вектор).

Первое выражение пока что ничего не означает – это все еще оператор. Окончательный смысл его зависит от того, на что он Судет действовать. А второе произведение – это некое скалярное поле (потому что А·В – всегда скаляр).

Попробуем составить скалярное произведение С на известное поле, скажем на h. Распишем покомпонентно

(2.32)

(2.33)

Эта сумма инвариантна относительно преобразования координат. Если выбрать другую систему (отмеченную штрихами), то получилось бы

(2.34)

а это – то же самое число, которое получилось бы и из (2.33), хотя с виду оно выглядит иначе, т. е.

(2.35)

в любой точке пространства. Итак, С·h – это скалярное поле, и оно должно представить собой некоторую физическую величину. Вы должны понимать, что комбинация производных в С·h имеет довольно специальный вид. Могут быть и другие комбинации всяческого вида, скажем dh_y/dx, которые не являются ни скалярами, ни компонентами векторов.

Скалярная величина С· (Вектор) очень широко применяется в физике. Ей присвоили имя «дивергенция», или «расходимость». Например,

С·h = div h = «Дивергенция h». (2.36)

Можно было бы, как и для СT, описать физический смысл С·h. Но мы отложим это до лучших времен.

Посмотрим сначала, что еще можно испечь из векторного оператора С. Как насчет векторного произведения? Можно надеяться, что

(2.37)

Компоненты этого вектора можно написать, пользуясь обычным правилом для векторного произведения [см. (2.2)]:

(2.38)

Подобно этому,

(2.39)

(2.40)

Комбинацию СXh называют «ротор» (пишут rot h), или (редко) «вихрь h» (пишут curl h). Происхождение этого названия и физический смысл комбинации мы обсудим позже.

В итоге мы получили три сорта комбинаций, куда входит С:

СТ = grad T = Вектор,

С·h=divh = Скаляр,

СXh = roth = Вектор.

Используя эти комбинации, можно пространственные вариации полей записывать в удобном виде, т. е. в виде, не зависящем от той или иной совокупности осей координат.

В качестве примера применения нашего векторного дифференциального оператора С выпишем совокупность векторных уравнений, в которой содержатся те самые законы электромагнетизма, которые мы словесно высказали в гл. 1. Их называют уравнениями Максвелла.

Уравнения Максвелла

(2.41)

где r (ро) – «плотность электрического заряда» (количество заряда в единице объема), a j – «плотность электрического тока» (скорость протекания заряда сквозь единицу площади). Эти четыре уравнения содержат в себе законченную классическую теорию электромагнитного поля. Видите, какой элегантной и простой записи мы добились с помощью наших новых обозначений!

§ 6. Дифференциальное уравнение потока тепла

Приведем другой пример векторной записи физического закона. Этот закон не из точных, но во многих металлах и других материалах, проводящих тепло, он проявляется совершенно четко. Известно, что если взять плиту из какого-то материала и нагреть одну ее сторону до температуры Т_{2, а другую охладить до Т1 , то тепло потечет от T2к Т1(фиг. 2.7, а). Поток тепла пропорционален площади торцов А и разнице температур. Кроме того, он обратно пропорционален расстоянию между торцами. (Для заданной разницы температур чем тоньше плита, тем мощнее поток тепла.).}

Фиг. 2.7. Тепловой поток через плиту (а) и бесконечно малая плитка, параллельная изотермической поверхности в большом блоке вещества (б).

Обозначая через J тепловую энергию, проходящую сквозь плиту за единицу времени, мы напишем

Что произойдет в более сложных случаях, скажем, в блоке материала необычной формы, в котором температура как-то прихотливо меняется? Рассмотрим тонкий слой материала и представим себе плиту наподобие изображенной на фиг. 2.7, а, но в миниатюре. Ориентируем ее торцы параллельно изотермическим поверхностям (фиг. 2.7, б), так что для этой малой плиты выполняется уравнение (2.42).

Если площадь этой плиты DА, то поток тепла за единицу времени равен

(2.42)

Коэффициент пропорциональности c (каппа) называется теплопроводностью.

(2.43)

где Ds – толщина плиты. Но DJ/DA мы раньше определили как абсолютную величину h – вектора, направленного туда, куда течет тепло. Тепло течет от T₁ + DT к T₁,так что вектор h перпендикулярен изотермам (фиг. 2.7, б). Далее, DТ/Ds как раз равно быстроте изменения Т с изменением положения. А поскольку изменения положения перпендикулярны изотермам, то наше AT/As – это максимальная скорость изменения. Она равна поэтому величине у Т. И, наконец, раз направления СТ и h противоположны, то (2.43) можно записать в виде векторного уравнения

h = – cСТ. (2.44)

(Знак минус написан потому, что тепло течет в сторону понижения температуры.) Уравнение (2.44) – это дифференциальное уравнение теплопроводности в массиве вещества. Вы видите, что это чисто векторное уравнение. С обеих сторон стоят векторы (если x число). Это обобщение на произвольный случай частного соотношения (2.42), верного для прямоугольной плиты.

Мы с вами должны будем научиться выписывать все соотношения элементарной физики [наподобие (2.42)] в этих хитроумных векторных обозначениях. Они полезны не только потому, что уравнения начинают от этого выглядетъ проще. В них намного яснее проступает физическое содержание уравнений безотносительно к выбору системы координат.

§ 7. Вторые производные векторных полей

Пока мы имели дело только с первыми производными. А почему не со вторыми? Из вторых производных можно составить несколько комбинаций:

(2.45)

Вы можете убедиться, что никаких иных комбинаций быть не может.

Посмотрим сперва на вторую комбинацию (б). Она имеет ту же форму, что и

АX(АT) = (АXА)T = 0, потому что АXА всегда нуль. Значит,

(2.46)

Можно понять, как это получается, если расписать одну из компонент:

что равно нулю [по уравнению (2.8)]. Это же верно и для других компонент. Стало быть, СХ(СT)=0 для любого распределения температур, да и для всякой скалярной функции.

Возьмем второй пример. Посмотрим, нельзя ли получить нуль другим путем. Скалярное произведение вектора на векторное произведение, содержащее этот вектор, равно нулю

А·(АХВ) = 0, (2.48)

потому что АХВ перпендикулярно к А и не имеет тем самым составляющих вдоль А. Сходная комбинация стоит в списке (2.45) под номером (г):

С(СXh) = div(roth) = 0. (2.49)

В справедливости этого равенства опять-таки легко убедиться, проделав выкладки на компонентах.

Теперь сформулируем без доказательства две теоремы. Они очень интересны и весьма полезны для физиков.

В физических задачах часто оказывается, что ротор какой-то величины (скажем, векторного поля А) равен нулю. Мы видели в уравнении (2.46), что ротор градиента равен нулю. (Это легко запоминается по свойствам векторов.) Далее, может оказаться, что А будет градиентом какой-то величины, потому что тогда ротор А с необходимостью обратится в нуль. Имеется интересная теорема, утверждающая, что если ротор А есть нуль, то тогда А непременно окажется чьим-то градиентом; существует некоторое скалярное поле ш; (пси), такое, что A=gradш. Иными словами, справедлива

Назад к карточке книги "Фейнмановские лекции по физике. 5. Электричество и магнетизм"