Текст книги "Как же называется эта книга"
Автор книги: Рэймонд М. Смаллиан
сообщить о нарушении
Текущая страница: 6 (всего у книги 13 страниц) [доступный отрывок для чтения: 6 страниц]
100. Убедить присяжных одним-единственним высказыванием в том, что вы не виновны, невозможно. Если после того, как вы сделали свое заявление, присяжные могли бы, логически рассуждая, прийти к выводу, что вы не виновны, то (поскольку они люди умные и строили свои рассуждения по всем правилам логики) это означало бы, что вы действительно не виновны вопреки условию задачи (по предположению вы виновны в совершении преступления).
101. Эта задача в известном смысле "двойственна" задаче 99 (и даже несколько проще той). Вам необходимо лишь заявить на суде: "Я не виновен". Услышав ваше заявление, присяжные стали бы рассуждать следующим образом. Если вы рыцарь (о чем они не знают), то ваше высказывание истинно.
Следовательно, вы не виновны. Если же вы не рыцарь, то вы опять-таки не виновны, так как по имеющимся у присяжных сведениям преступник – рыцарь.
102. Одно из решений состоит в том, что вы должны выступить на суде с заявлением: "Либо я рыцарь и не виновен, либо я лжец и виновен". Сформулируем ваше высказывание несколько проще: "Я либо невиновный рыцарь, либо виновный лжец".
Выслушав подобное заявление, присяжные принялись бы рассуждать следующим образом.
Первый шаг. Предположим, что он рыцарь. Тогда его высказывание истинно. Следовательно, он либо невиновный рыцарь, либо виновный лжец. Быть виновным рыцарем он не может, так как он не лжец. Значит, он невиновный рыцарь.
Следовательно, он не виновен.
Второй шаг. Предположим, что он лжец. Тогда его заявление ложно. Следовательно, он ни невиновный рыцарь, ни виновный лжец. В частности, он не может быть виновным лжецом. Но он лжец. Следовательно, он невиновный лжец и, значит, не виновен.
Третий шаг. Если он нормальный человек, то он заведомо не виновен, так как преступник – не нормальный человек.
103. Эта задача решается очень просто. Вам нужно заявить на суде: "Я лжец". Ни рыцарь, ни лжец не могли бы высказать такое утверждение. Следовательно, вы нормальный человек и, значит, не виновны.
104. Вы могли бы сказать: "Я не виновный рыцарь".
Присяжные, выслушав ваше признание, стали бы рассуждать следующим образом.
Первый шаг. Предположим, что он (то есть вы) был бы лжецом.
Тогда он не был бы рыцарем и, следовательно, не мог бы быть виновным рыцарем, поэтому его высказывание было бы истинным. Но это невозможно, так как лжецы не высказывают истинных утверждений. Следовательно, он не может быть лжецом.
Второй шаг. Нам известно, что он либо рыцарь, лицо нормальный человек. Если он нормальный человек, то он не виновен. Предположим, что он рыцарь. Тогда его высказывание истинно. Следовательно, он не может быть виновным рыцарем.
Но он рыцарь. Значит, он должен быть невиновным рыцарем.
Следует заметить, что вы могли бы сделать на суде и другие (по форме, но эквивалентные по существу) заявления, например "Либо я не рыцарь, либо я не виновен", "Если я рыцарь, то я не виновен".
105. Вы могли бы сказать: "Я виновный лжец". Выслушав ваше заявление, присяжные стали бы рассуждать следующим образом: "Ясно, что он не рыцарь. Значит, он либо нормальный человек, либо лжец. Если он нормальный человек, то он не виновен. Предположим, что он лжец. Тогда его высказывание ложно, и он может быть виновным лжецом.
Следовательно, он невиновный лжец".
106. Любого числа высказываний недостаточно, чтобы убедить короля в вашей ненормальности. Действительно, любые ваши высказывания, сколько бы их ни было, могли бы принадлежать нормальному человеку, так как нормальный человек высказывает и истинные, и ложные утверждения.
Следовательно, вам не удастся жениться на дочери этого короля! Жаль! Придется вам попытать счастья на следующем острове.
107. И в том и в другом случае достаточно одного высказывания. Короля могло бы убедить истинное высказывание "Я не рыцарь" (такое высказывание не могло бы принадлежать ни рыцарю, ни лжецу) и ложное высказывание "Я лжец".
108. В связи с этой задачей я хотел бы заметить, что если вы выскажете первое утверждение, то король узнает, что хотя вы и нормальный человек, но только что вы высказали истинное утверждение. Если вы выскажете второе утверждение, то король узнает, что хотя вы и нормальный человек, но только что вы высказали ложное утверждение.
Выберите на свое усмотрение любое утверждение, истинность или ложность которого не известна королю, например утверждение, что у вас в кармане ровно 11 долларов. Свое утверждение вы могли бы высказать в такой форме: "Либо я нормальный человек и у меня ровно 11 долларов в кармане, либо я лжец".
Такое утверждение не могло бы принадлежать лжецу (потому что утверждение, в котором о лжеце говорится, что он либо нормальный человек, у которого 11 долларов в кармане, либо лжец, истинно). Такое утверждение не могло бы принадлежать и рыцарю (рыцарь не может быть ни нормальным человеком с 11 долларами в кармане, ни лжецом). Следовательно, король узнает, что вы нормальный человек, но не сможет узнать, истинно выше высказывание или ложно, пока ему не станет известно, сколько денег у вас в кармане.
VII. Логические задачи
ПРЕАМБУЛА
Многие из задач в этой главе содержат так называемые условные высказывания, то есть сложные высказывания вида "Если P истинно, то Q истинно", где P и Q – некоторые высказывания. Прежде чем приступить к решению задач этого типа, необходимо выяснить, какие неоднозначности могут встретиться в истолковании условных высказываний. С одними фактами согласятся все, по поводу других могут возникнуть значительные разногласия.
Обратимся к конкретному примеру. Рассмотрим следующее высказывание:
Если Джон виновен, то его жена виновна. (1)
Всякий согласится с тем, что если Джон виновен и если высказывание (1) истинно, то жена Джона также виновна.
Предположим теперь, что жена Джона виновна, но не известно, виновен Джон или не виновен. Как, по-вашему, будет ли в этом случае высказывание (1) истинно или ложно? Не считаете ли вы, что независимо от того, виновен Джон или не виновен, его жена виновна? Может быть, вы предпочитаете выразить свою мысль иначе: если Джон виновен, то его жена виновна, и если Джон не виновен, то его жена виновна?
Примеры такого словоупотребления мы находим в литературе.
В рассказе Киплинга "Рики-тики-тави" кобра говорит перепуганному семейству: "Если вы двинетесь с места, я укушу, и если вы не двинетесь с места, я укушу". В переводе на более привычный язык это означает просто-напросто: "Я укушу". О наставнике секты дзен Токусане легенда рассказывает, что на все вопросы (и "невопросы") он отвечал ударами своего посоха. Ему принадлежит знаменитое изречение: "Тридцать ударов, если тебе есть что сказать, тридцать ударов, если тебе нечего сказать".
Итак, мы с трогательным единодушием заключаем, что если высказывание Q истинно, то условное высказывание "Если P, то Q" (так же как и условное высказывание "Если не P, то Q") истинно.
Наиболее спорный вопрос состоит в том, истинно или ложно условное высказывание "Если P, то Q", когда оба высказывания P и Q ложны. Обратимся к нашему примеру.
Можно ли считать высказывание (1) истинным, если и Джон и его жена не виновны? К этому жизненно важному вопросу мы вскоре вернемся.
С интересующим, нас вопросом тесно связан другой. Мы уже пришли к единому мнению относительно того, если Джон виновен, а его жена не виновна, то высказывание (1) должно быть ложным. Верно ли обратное утверждение? Иначе говоря, следует ли из ложности высказывания (1), что Джон должен быть виновен, а его жена невиновна? Ту же мысль можно сформулировать и по-другому: правильно ли утверждать, что высказывание (1) ложно лишь в том случае, если Джон виновен, а его жена не виновна? Если связку "если ... , то ... " понимать так, как это делают большинство логиков, математиков и других ученых, то на наш вопрос следует ответить утвердительно. Мы также будем придерживаться общепринятого соглашения. Заключается оно в том, что если нам заданы любые два высказывания P и Q, то сложное высказывание "Если P, то Q" означает: "Не верно, что P истинно, а Q ложно" (не больше и не меньше). В частности, принятое соглашение означает, что если Джон и его жена не виновны, то высказывание (1) следует считать истинным.
Единственный случай, когда высказывание (1) ложно, может представиться, если Джон виновен, а его жена не виновна.
Это условие заведомо не выполняется, если Джон и его жена не виновны. Иначе говоря, если Джон и его жена не виновны, то заведомо не верно, что Джон виновен, а его жена не виновна, поэтому высказывание (1) не может быть истинным.
Следующий пример еще более причудлив:
Если Конфуций родился в Техасе, то я Дракула. (2)
Высказывание (2) означает всего-навсего: "Не верно, что Конфуций родился в Техасе, и я не Дракула". Таким образом, высказывание (2) следует считать истинным.
К оценке истинности высказывания (2) можно подойти и с другой стороны. Высказывание (2) ложно лишь в том случае, если Конфуций родился в Техасе, а я не Дракула. Но поскольку Конфуций родился не в Техасе, то не может быть верно, что Конфуций родился в Техасе и что я не Дракула.
Иначе говоря, высказывание (2) не может быть ложным.
Следовательно, оно должно быть истинным.
Рассмотрим теперь любые два высказывания P, Q. Составим из них сложное высказывание.
Если P, то Q. (3)
Будем обозначать его P – Q (эту сокращенную запись принято читать либо как "если P, то Q", либо как "из P следует Q", либо "P влечет за собой Q", либо даже P имплицирует Q"). Слово "следует" (и его синонимы) не слишком удачно, но оно привилось в литературе. Понимать его, как мы видели, надлежит лишь в совершенно определенном, хотя, быть может, и несколько необычном смысле:
не верно, что P истинно и Q ложно.
Итак, относительно высказывания P – Q мы располагаем следующей информацией.
Факт 1. Если P ложно, то P – Q автоматически истинно.
Факт 2. Если Q истинно, то P – Q автоматически истинно.
Факт 3. Высказывание P – Q может быть ложно в том и только в том случае, если P истинно, а Q ложно.
Факт 1 иногда формулируют иначе: "Из ложного высказывания следует что угодно". Такое утверждение вызывает у некоторых философов самые решительные возражения (см., в частности, задачу 244 из гл. 14). Факт 2 иногда формулируют так: "Истинное высказывание следует из чего угодно".
Таблица истинности
Если заданы два высказывания P, Q, то их значения истинности могут распределяться четырьмя возможными способами: 1) P и Q истинны; 2) P истинно, Q ложно; 3) P ложно, Q истинно; 4) P и Q ложны.
В каждом конкретном случае мы должны иметь дело с одним и только с одним из этих четырех вариантов. Рассмотрим теперь высказывание P – Q. Можно ли определить, в каких случаях оно истинно и в каких – ложно? Можно, если воспользоваться следующими соображениями.
Случай 1: P и Q истинны. Так как Q истинно, то P – Q истинно (факт 2).
Случай 2: P истинно, Q ложно. Тогда P – Q ложно (факт 3).
Случай 3: P ложно, Q истинно. Тогда P – Q истинно (факт 1 или факт 2).
Случай 4: P ложно, Q ложно. Тогда P – Q истинно (факт 1).
Все четыре случая мы сведем в одну таблицу, называемую таблицей истинности для импликации:
P Q P – Q
1 И И И 2 И Л Л 3 Л И И 4 Л Л И
Три буквы И, И, И (истинно, истинно, истинно) в первой строке означают, что когда P истинно и Q истинно, высказывание P – Q истинно. Буквы И, Л, Л во второй строке означают, что если P истинно, Q ложно, то P – Q истинно, а буквы Л, Л, И в четвертой строке – что если P ложно и Q ложно, то P Q истинно.
Заметим, что P – Q истинно в трех из четырех случаев и ложно только во втором случае.
Еще одно свойство импликации. Импликация обладает еще одним важным свойством. Чтобы доказать истинность высказывания "Если P, то Q", достаточно, приняв высказывание P за посылку, убедиться в том, что из него следует высказывание Q. Иначе говоря, если из посылки P следует заключение Q, то высказывание "Если , то Q" истинно.
В дальнейшем мы будем ссылаться на это свойство импликации, как на факт
4.
А. ПРИМЕНЕНИЕ ИМПЛИКАЦИИ К РЫЦАРЯМ И ЛЖЕЦАМ
109.
О каждом из двух людей A и B известно, что он либо рыцарь, либо лжец. Предположим, что A высказывает следующее утверждение: "Если я рыцарь, то B – – рыцарь".
Можно ли определить, кто такие A и B: кто из них рыцарь и кто лжец?
110.
У A спрашивают: "Вы рыцарь?" Тот отвечает: "Если я рыцарь, то съем собственную шляпу".
Докажите, что A придется съесть свою шляпу.
111.
A утверждает: "Если я рыцарь, то дважды два – четыре".
Кто такой A: рыцарь или лжец?
112.
A заявляет: "Если я рыцарь, то дважды два – пять". Кто, по-вашему, A: рыцарь или лжец?
113.
Относительно A и B известно, что каждый из них либо рыцарь, либо лжец. А заявляет: "Если B – рыцарь, то я лжец".
Кто A и кто B?
114.
Двух человек X и Y судят за участие в ограблении, A и B выступают на суде в качестве свидетелей. Относительно A и B известно, что каждый из них либо рыцарь, либо лжец. В ходе судебного заседания свидетели выступили со следующими заявлениями:
A: Если X виновен, то Y виновен.
B: Либо X не виновен, либо Y виновен.
Можно ли утверждать, что A и B однотипны? (Напомним, что двух обитателей острова рыцарей и лжецов мы называем однотипными, если они оба рыцари либо оба лжецы.)
115.
У трех обитателей A, B и C острова рыцарей и лжецов взяли интервью, в ходе которого они высказали следующие утверждения:
A: B – рыцарь.
B: Если A – рыцарь, то C – рыцарь.
Можно ли определить, кто из A, B и C рыцарь и кто лжец?
Б. ЛЮБОВЬ И ЛОГИКА
116.
Предположим, что следующие два высказывания истинны:
1) Я люблю Бетти или я люблю Джейн.
2) Если я люблю Бетти, то я люблю Джейн.
Следует ли из них непременно, что я люблю Бетти? Следует ли из них непременно, что я люблю Джейн?
117.
Предположим, что у меня спрашивают: "Верно ли, что если вы любите Бетти, то вы также любите Джейн?" Я отвечаю: "Если это верно, то я люблю Бетти".
Следует ли отсюда, что я люблю Бетти? Следует ли отсюда, что я люблю Джейн?
118.
На этот раз перед нами две девушки: Ева и Маргарет. У меня спрашивают: "Правда ли, что если вы любите Еву, то вы также любите Маргарет?" Я отвечаю: "Если это правда, то я люблю Еву, и если я люблю Еву, то это правда".
О какой девушке можно с уверенностью сказать, что я ее люблю?
119.
На этот раз перед нами предстанут три девушки: Сью, Марция и Диана. Предположим, что известно следующее.
1) Я люблю по крайней мере одну из этих трех девушек.
2) Если я люблю Сью, а не Диану, то я также люблю Марцию.
3) Я либо люблю и Диану и Марцию, либо не люблю ни одну из них.
4) Если я люблю Диану, то я также люблю Сью.
Кого из девушек я люблю?
Не кажется ли вам, что логики – народ глуповатый? Уж кому, как не мне, знать, люблю я или не люблю Бетти, Джейн, Еву, Маргарет, Сью, Марцию, Диану и всех прочих. Разве для этого непременно нужно сесть за стол и что-то прикинуть на бумаге? Не сочли бы вы странным, если бы жена, спросив у своего высокоученого мужа: "Милый, ты меня любишь?" – услышала бы в ответ: "Минуточку, дорогая", после чего муж уселся бы за письменный стол и после напряженных вычислений через час сказал бы: "Ты знаешь, милая, выходит, что я тебя люблю"?
В этой связи мне вспоминается история, якобы приключившаяся с Лейбницем. Однажды великий философ стал размышлять, не жениться ли ему на некоей даме. Взяв лист бумаги, он разделил его на две части и на одной подробно перечислил все достоинства дамы, а на другой – ее недостатки.
Недостатков оказалось больше, и Лейбниц решил воздержаться от женитьбы.
120.
Эта задача, хотя и проста, но несколько неожиданна.
Предположим, что я либо рыцарь, либо лжец и высказываю два следующих утверждения:
1) Я люблю Линду.
2) Если я люблю Линду, то я люблю Кати.
Кто я: рыцарь или лжец?
121. Новый вариант старинной пословицы.
Старинная английская пословица гласит: "Под приглядом котел не закипит". Как я установил, это утверждение ложно.
Однажды мне довелось приглядывать за котлом, стоявшим на раскаленной плите, и котел закипел.
А что если мы исправим старинную пословицу, например, так:
"Под приглядом котел не закипит, если за ним не приглядывать"?
Как, по-вашему, истинно или ложно такое утверждение?
В. ЕСТЬ ЛИ СОКРОВИЩА НА ЭТОМ ОСТРОВЕ?
Задачи двух предыдущих групп были связаны в основном с условными высказываниями, то есть с высказываниями вида "Если P истинно, то Q. Задачи этой группы связаны главным образом с высказываниями вида "P истинно в том и только в том случае, если Q истинно". Оно означает, что если P истинно, то Q истинно, и если Q истинно, то P истинно.
Иначе говоря, если одно из двух высказываний P, Q истинно, то другое также истинно. Оно означает также, что высказывания P и Q либо оба истинны, либо оба ложны.
Сложное высказывание "P в том и только в том случае, если Q" принято обозначать "P – Q".
Таблица истинности для P – Q имеет следующий вид:
P Q P – Q
И И И И Л Л Л И Л Л Л И
Высказывание "P в том и только в том случае, если Q"
иногда читают как "P эквивалентно Q" или как "P и Q эквивалентны". Отметим два следующих факта:
Факт 1. Любое высказывание, эквивалентное истинному высказыванию, истинно.
Факт 2. Любое высказывание, эквивалентное ложному высказыванию, ложно.
122. Есть ли сокровище на этом острове?
На некотором острове, населенном рыцарями и лжецами, разнесся слух о том, что на нем зарыты сокровища. Вы прибываете на остров и спрашиваете у одного из местных жителей (назовем его A), есть ли золото на его острове. В ответ на ваш вопрос A заявляет: "Сокровища на этом острове есть в том и только в том случае, если я рыцарь".
Наша задача подразделяется на две части:
а) Можно ли определить, кто такой A – рыцарь или лжец?
б) Можно ли определить, есть ли сокровища на острове?
123.
В предыдущей задаче коренной житель A острова рыцарей и лжецов добровольно снабдил вас информацией. Предположим, что теперь вы спросили у A: "Эквивалентно ли высказывание о том, что вы рыцарь, высказыванию о том, что на этом острове спрятаны сокровища?" Если бы A ответил "да", то задача свелась бы к предыдущей. Предположим, что A ответил "нет". Могли бы вы в таком случае сказать, спрятаны ли сокровища на острове?
124. Как я разбогател.
К сожалению, история, которую я хочу вам поведать, не соответствует истине. Но поскольку она интересна, то мне все равно хочется рассказать ее вам.
В океане (в каком именно – не помню) неподалеку друг от друга расположены три острова: A, B и C. Мне удалось разузнать, что по крайней мере на одном из них закопаны сокровища, но на каком именно, осталось невыясненным.
Острова B и C были необитаемы, население острова A составляли рыцари и лжецы. Не исключено, что среди местных жителей встречались и нормальные люди, но сказать с уверенностью, был ли на острове хоть один нормальный человек, я не берусь.
Мне посчастливилось раздобыть карту островов, составленную знаменитым капитаном Марстоном – пиратом, славившимся своими причудами (он-то и запрятал сокровища). К карте была приложена записка, разумеется зашифрованная. Когда я ее расшифровал, то выяснилось, что она состоит лишь из двух предложений. Вот что в ней значилось:
(1) На острове A нет сокровищ.
(2) Если среди жителей острова A встречаются нормальные люди, то сокровища закопаны на двух островах.
Я поспешил на остров A. Мне было достоверно известно, что обитатели этого острова знают о зарытых сокровищах все до мелочей. Король острова догадался, зачем я прибыл в его владения, и в недвусмысленных выражениях разрешил мне задать лишь один вопрос любому из наугад выбранных мною его подданных. Способа установить, на кого пал мой выбор – на рыцаря, лжеца или на нормального человека, у меня не было.
Мне необходимо было придумать такой вопрос, чтобы, получив ответ, я мог указать на один из островов и быть уверенным, что сокровище закопано на нем.
Какой вопрос следовало мне задать островитянину?
125.
Случилось мне как-то раз побывать на другом острове рыцарей, лжецов и нормальных людей. По слухам, на том острове были закопаны несметные сокровища, и я хотел разузнать, как обстоит дело в действительности. Король острова (рыцарь) любезно представил меня трем своим подданным A, B и C и сообщил мне, что не более чем один из них нормальный человек. Любому из них разрешалось задать два вопроса, на которые можно ответить "да" или "нет".
Можно ли при помощи двух таких вопросов выяснить, запрятаны ли на острове сокровища?
126. Умеете ли вы рассуждать логически?
Предположим, что население двух соседних островов составляют только рыцари и лжецы (на островах нет ни одного нормального человека). Вам говорят, что на одном острове проживает четное, а на другом – нечетное число рыцарей.
Вам также сообщают, что на острове с четным числом рыцарей закопаны сокровища, а на острове с нечетным числом рыцарей сокровищ нет.
Вы выбираете наугад один из островов и отправляетесь туда.
Все обитатели острова знают, сколько рыцарей и сколько лжецов живет среди них. Вы беседуете с тремя обитателями A, B и C острова и получаете от них следующие заявления:
A: Число лжецов на этом острове четно.
B: На нашем острове сейчас находится нечетное число людей.
C: Я рыцарь в том и только в том случае, если A и B однотипны.
Предположим, что вы не рыцарь и не лжец и что, когда вы были на острове, других гостей на нем не было. Спрятаны ли на острове сокровища?
РЕШЕНИЯ
109–112. Эти четыре задачи основаны на использовании одной и той же идеи, которая сводится к следующему. Пусть P – любое высказывание, а A – любой обитатель острова рыцарей и лжецов. Тогда если A высказывает утверждение: "Если я рыцарь, то P", то он должен быть рыцарем, а высказывание P должно быть истинным! B это трудно поверить, и мы докажем наше удивительное утверждение двумя способами.
1. Предположим, что A – рыцарь. Тогда высказывание "Если A рыцарь, то P" должно быть истинным (так как рыцари всегда говорят правду). Следовательно, A – рыцарь, и верно, что если A – рыцарь, то P. Из этих двух фактов мы заключаем, что P должно быть истинно. Таким образом, приняв в качестве посылок предположение о том, что A – рыцарь, мы получаем в качестве заключения высказывание P. Тем самым (с учетом факта 4 об импликации) мы доказали, что если A – рыцарь, то P. Но именно это и утверждал A!
Следовательно, A должен быть рыцарем. А так как мы доказали, что если A – – рыцарь, то P, то заключаем, что P должно быть истинно.
2. Другой способ убедиться в истинности нашего утверждения состоит в следующем. Напомним, что из ложного высказывания следует любое высказывание. Поэтому если A не рыцарь, то высказывание "Если A рыцарь, то P" автоматически становится истинным и, следовательно, не могло бы принадлежать лжецу. Значит, если кто-нибудь, о ком известно, что он может быть либо рыцарем, либо лжецом, высказывает такое утверждение, то он может быть только рыцарем и высказывание P должно быть истинным.
Применим этот принцип к нашим задачам. Начнем с задачи 109.
Если в качестве P принято высказывание "В – рыцарь", то ясно, что A должен быть рыцарем, а его высказывание истинным. Следовательно, B рыцарь, и мы получаем ответ:
A и B – оба рыцари.
В задаче 110 в качестве P выберем высказывание "А придется съесть свою шляпу". Мы видим, что A должен быть рыцарем и что ему придется съесть свою шляпу. (Тем самым доказано, что хотя рыцари обладают несомненными достоинствами и добродетелями, они тем не менее могут быть глуповатыми.)
Ответ к задаче 111: A – рыцарь.
Правильное заключение, к которому можно прийти в задаче 112: автор опять мистифицирует читателей! Условия задачи противоречивы: высказывание "Если я рыцарь, то дважды два – пять" не может принадлежать ни рыцарю, ни лжецу.
113. A должен быть рыцарем, а B – лжецом.
Докажем прежде всего, что только рыцарь может высказать утверждение вида "Если P, то я лжец". Напомним, что истинное высказывание следует из любого высказывания.
Значит, если высказывание "Я лжец" истинно, то полное высказывание "Если P, то я лжец". также истинно. Но если я лжец, то никакое истинное высказывание не могло бы принадлежать мне. Следовательно, высказывая утверждение "Если P, то я лжец", я должен быть рыцарем.
Итак, A должен быть рыцарем. Следовательно, верно также, что если B рыцарь, то A – лжец (потому что A настаивает на истинности этого высказывания). Тогда B не может быть рыцарем, так как в противном случае A должен бы быть лжецом, а он им не является /* Любое высказывание, из которого следует ложное высказывание, должно быть ложным, так как из истинного высказывания не может следовать ложное высказывание. В решении задачи 113 из высказывания "В – рыцарь" следует ложное высказывание "А – – лжец".
Значит, высказывание "В – рыцарь" должно быть ложным.
Это еще один вариант доказательства от противного.*/.
Следовательно, B – лжец.
114. A в действительности утверждает: "Не верно, что X виновен, а Y не виновен". Но это то же самое, как если бы A утверждал: "Либо X не виновен, либо Y виновен".
Следовательно, A и B в действительности утверждают одно и то же, но выражают свою мысль по-разному. Таким образом, утверждения, приведенные в задаче, либо оба истинны, либо оба ложны, поэтому A и B должны быть однотипными.
115. Предположим, что A – рыцарь. Тогда B также рыцарь (по утверждению A). Следовательно, высказывание B "Если A – рыцарь, то C рыцарь" истинно. Но (по предположению) A – рыцарь. Следовательно, C рыцарь (в предположении, что A – рыцарь).
Итак, мы доказали, что если A – рыцарь, то C – рыцарь /* Мы сделали это, приняв в качестве посылки высказывание "А – рыцарь", из которого вывели заключение "С – рыцарь". В силу факта (1) об импликации мы заключаем, что если A – рыцарь, то C – рыцарь.*/. Именно это и утверждал B. Следовательно, B – рыцарь. Значит, высказывание A о том, что B – рыцарь, истинно, поэтому A также рыцарь. Итак, мы доказали, что если A – рыцарь, то C – рыцарь. Следовательно, C также рыцарь. Значит, все трое – рыцари.
116. Из приведенных в задаче высказываний не следует, что я люблю Бетти, но следует, что я люблю Джейн. В том, что я люблю Джейн, можно убедиться при помощи, например, таких рассуждений.
Я либо люблю Бетти, либо не люблю ее. Если я не люблю Бетти, то по условию (1) я должен любить Джейн (так как в задаче сказано, что я люблю по крайней мере одну из девушек). С другой стороны, если я люблю Бетти, то по условию (2) должен любить и Джейн. Значит, независимо от того, люблю ли я или не люблю Бетти, мы приходим к выводу, что я люблю Джейн.
Замечу, кстати, что тем из читательниц, кого зовут Бетти, огорчаться было бы преждевременно: хотя из условий задачи не следует, что я люблю Бетти, из них не следует, что я не люблю Бетти. Вполне возможно, что я люблю и ее, причем даже больше, чем Джейн.
117. На этот раз из условий задачи не следует, что я люблю Джейн, но следует, что я люблю Бетти. Действительно, предположим, что я не люблю Бетти. Тогда утверждение "Если я люблю Бетти, то я люблю Джейн" должно быть истинным (так как из ложного утверждения следует любое утверждение). Но по условиям задачи если это утверждение истинно, то я должен любить Бетти. Значит, если я не люблю Бетти, то из этого можно заключить, что я люблю ее, и мы приходим к противоречию. Единственный способ избежать противоречия состоит в признании того, что я люблю Бетти.
Условия задачи не позволяют определить, люблю ли я или не люблю Джейн.
118. Из условий задачи следует, что я должен любить и Еву, и Маргарет. Пусть P – высказывание "Если я люблю Еву, то я люблю и Маргарет". Нам известно:
1) Если P истинно, то я люблю Еву.
2) Если я люблю Еву, то P истинно. Решая предыдущую задачу, мы убедились: из (1) следует, что я люблю Еву. Значит, я люблю Еву. Тогда по условию (2) должно быть истинно высказывание P, то есть верно, что если я люблю Еву, то люблю и Маргарет. Но я люблю Еву. Следовательно, я люблю и Маргарет.
119. Я должен любить всех трех девушек. Доказать это можно разными способами. Приведем один из них.
По условию (3) я люблю и Диану, и Марцию, либо не люблю ни одну из них. Предположим, что я не люблю ни Диану, ни Марцию. Тогда по условию (1) я должен любить Сью. Значит, я люблю Сью, но не люблю Диану и не люблю Марцию, что противоречит высказыванию (2). Следовательно, не верно, что я не люблю ни Диану, ни Марцию. Значит, я люблю и Диану, и Марцию. Так как я люблю Диану, то по условию (4) я люблю и Сью. Итак, доказано, что я люблю всех трех девушек.
120. Я должен быть рыцарем. Если бы я был лжецом, то утверждения (1) и (2) были бы ложными. Предположим, что утверждение (2) ложно. Тогда я любил бы Линду, но я не любил бы Кати. Значит, Линду я любил бы, а это означает, что утверждение (1) было бы истинным. Поэтому невозможно, чтобы оба утверждения (1) и (2) были ложными.
Следовательно, я не могу быть лжецом.
121. Сказать: "P ложно, если не Q" – то же самое, что сказать: "Если P, то Q". (Например, высказывание "Я не пойду в кино, если вы не пойдете со мной" эквивалентно высказыванию "Если я пойду в кино, то вы пойдете со мной".) Следовательно, "исправленный" вариант пословицы "Под приглядом котел не закипит, если за ним не приглядывать" эквивалентно утверждению "Если котел под приглядом закипит, то за ним приглядывают", а оно заведомо истинно, так как за котлом под приглядом, кипит он или не кипит, несомненно кто-то приглядывает.
122. Определить, кто такой A – рыцарь или лжец, невозможно. Однако сокровища должны быть на острове.
Для решения этой и других задач серии "Есть ли сокровища на этом острове?" установим раз и навсегда следующий основной принцип: если говорящий (либо рыцарь, либо лжец)
высказывает утверждение "Я рыцарь в том и только в том случае, если P", то P должно быть истинным (независимо от того, кто такой говорящий рыцарь или лжец).
Пусть K – утверждение о том, что говорящий – рыцарь.
По словам говорящего, K эквивалентно P. Предположим, что говорящий действительно рыцарь. Тогда K действительно эквивалентно P, и K истинно. Следовательно, P эквивалентно истинному утверждению. Значит, P должно быть истинно. С другой стороны, предположим, что говорящий лжец. Тогда его утверждение ложно, поэтому P не эквивалентно K. Кроме того, так как он лжец, то утверждение K ложно. Поскольку P не эквивалентно ложному утверждению K, то P должно быть истинно (если бы P было эквивалентно K, то P было бы ложно). Итак, независимо от того, кто такой говорящий – рыцарь или лжец, P должно быть истинно.
Интересно сравнить новый принцип с принципом, установленным в решениях задач 109–112: если рыцарь или лжец высказывает утверждение "Если я рыцарь, то P", то мы можем заключить, что он рыцарь и что P истинно. Но если рыцарь или лжец высказывает утверждение "Я рыцарь в том и только в том случае, если P", то мы можем заключить, что P истинно, но у нас нет способа определить, рыцарь или лжец тот, кто высказал утверждение.
