Текст книги "Четвертое измерение. Является ли наш мир тенью другой Вселенной?"

Автор книги: Рауль Ибаньес

сообщить о нарушении

Текущая страница: 8 (всего у книги 9 страниц)

Давайте представим, как Квадрат – житель Флатландии – развернул одну из своих коробок в Лайнландии. Для этого он сначала открыл крышку коробки (если у нее не было крышки, то две из ее сторон нужно отделить друг от друга в вершине), а затем развернул ее в прямую линию. В конечном итоге он получил четыре равных отрезка, расположенных на одной линии, то есть в Лайнландии.

Теперь рассмотрим хорошо нам знакомую развертку кубической коробки. Как обычно, сначала мы откроем крышку. Если крышки нет, то одну из граней надо отделить от других, разрезав по трем ребрам. Когда крышка открыта, отделим друг от друга четыре боковых грани, разрезав коробку по четырем соединяющим их ребрам. После этого кубическая коробка может быть разложена на столе, образовав так называемую развертку куба, как показано на рисунке, хотя возможны и другие развертки.

* * *

ГЕКСАМИНО

Плоские фигуры, образованные путем соединения шести квадратов ребро к ребру (квадраты не могут касаться только вершинами), называются гексамино. Примером такой фигуры является развертка кубической коробки. Рассмотрим интересную задачу: сколько существует различных таких фигур? Их количество, конечно, зависит от числа квадратов. В общем случае полимино, или n-мино, образовано из n квадратов. Существует одно-единственное домино (n – 2). Добавив один квадрат, мы можем построить два тримино (n – 3). С еще одним квадратом мы получим пять тетрамино. Именно эти фигуры, кстати, используются в игрететрис. Существует 12 пентамино, которые также появляются в интересных играх. Наконец, добавив еще один квадрат к 12 пентамино, мы получим 35 гексамино. Но какие из них являются развертками куба? Попробуйте сами ответить на этот вопрос!

35 возможных гексамино, но лишь 11 из них являются развертками куба.

* * *

Теперь, используя аналогии для случаев меньших размерностей, мы попробуем получить развертку гиперкуба. Как и раньше, мы откроем крышку гиперкоробки – верхнюю кубическую грань, соединенную с шестью другими гранями. Для этого мы должны отсоединить кубическую крышку от пяти граней гиперкуба, разрезав по пяти квадратам. Теперь гиперкуб открыт, но мы должны сделать дополнительные разрезы, чтобы развернуть его. Нужно разрезать по квадратам, которые соединяют те шесть кубов, что прилегали к крышке (таких разрезов будет восемь). Таким образом мы получили гиперкуб, развернутый в нашем трехмерном пространстве.

Каждый из подходов для представления гиперкуба в трехмерном пространстве дает нам часть информации о четырехмерном объекте, но скрывает другую часть информации и даже искажает ее. Например, проекции искажают форму гиперкуба, но сохраняют информацию о пространственных соотношениях элементов гиперкуба друг с другом в четвертом измерении. Сечения дают очень мало информации, так как показывают очень небольшую часть объекта, но зато без искажений, а последовательность нескольких сечений также несет в себе полезную информацию о внутренней структуре гиперкуба. Развертки показывают нам без искажений элементы гиперкуба, но мы теряем информацию о четырехмерных соотношениях элементов и изначальной форме гиперкуба.

Пространственно-временной континуум

Этот раздел, посвященный статическому пространству-времени, вроде бы не имеет ничего общего с визуализацией четвертого измерения. Однако в XIX в., когда время рассматривалось в качестве возможного четвертого измерения, этот подход также использовался для получения мысленных образов четырехмерных объектов.

Время (или движение как локальный вариант времени) являлось еще одним измерением, дополнительным к трем пространственным.

Теперь мы снова вернемся к двумерным аналогиям Флатландии для того, чтобы лучше понять, что такое пространственно-временной континуум. Хинтон сравнил его с книгой, страницами которой являются моменты времени, идущие не по порядку.

В этом случае пространственно-временной континуум будет трехмерным, пространственная часть которого является двумерным пространством, Флатландией, а время – еще одним измерением, перпендикулярным к ней. Чтобы лучше понять это, представим себе такую картину: Квадрат подходит к своему сыну Пятиугольнику, чтобы поговорить с ним, а затем снова уходит. В пространственно-временном континууме мы бы наблюдали два сближающихся, а затем удаляющихся стержня: один с пятиугольным сечением, а другой – с квадратным. Каждый момент времени этой сцены во Флатландии является двумерным сечением пространства-времени, которое, соответственно, представляет собой последовательность разных моментов времени – как пленка, состоящая из последовательности кинокадров.

Аналогично наше статическое пространство-время представляет собой четырехмерное пространство с тремя пространственными измерениями и одним временным.

Каждый момент времени является трехмерным сечением пространственно-временного континуума. В этом четырехмерном пространстве мы выглядим как стержни, конечные во времени. Статическое пространство-время объединяет в себе прошлое, настоящее и будущее, но почему тогда нельзя увидеть прошлое или будущее, если они, конечно, существуют? Более того, почему мы воспринимаем время как текущее вперед? Некоторые считают, что это свойство нашей вселенной и это надо принять как данность. Например, в своей статье «Миф о течении времени» физик Дэвид Парк писал: «… все события нашей жизни и нашей истории существуют одновременно, а иллюзия течения времени является свойством нашей вселенной, которое можно наблюдать, но нельзя объяснить…» Другие думают, что течение времени – это нечто субъективное, происходящее в нашем сознании, и что можно достичь определенного психического состояния, при котором мы можем изменить местоположение нашего сознания в пространстве-времени. Правда, приверженцев этой идеи не так уж и много.

Для Флатландии пространственно-временной континуум будет трехмерным, где Квадрат и его сын Пятиугольник выглядят как вытянутые во времени стержни.

Фильм или книга являются неплохой метафорой для пространственно-временного континуума, так как книги или фильмы находятся в нашей коллекции, даже если мы не смотрим и не читаем их. Тогда восприятие течения времени аналогично просмотру фильма или чтению книги. Но тут возникают интересные вопросы: можно ли посмотреть фильм несколько раз или даже бесконечное число раз? Возможно ли в определенный момент фильма вернуться к предыдущему эпизоду или перемотать на несколько эпизодов вперед? Если это возможно, то где находится пульт дистанционного управления временем?

Другим интересным вопросом, связанным с теорией статического пространства-времени, является проблема свободы воли. Обычно отмечают тот факт, что будущее вовсе не определяется тем, что произошло ранее, а если даже будущее предопределено, это вовсе не значит, что его можно предсказать. Если бы будущее можно было предсказать, то нарушился бы сам пространственно-временной континуум.

Ведь это бы означало, что у нас нет свободы действий, что наши жизненные пути предопределены, хотя мы даже не осознаем это. Если что-то случается, мы склонны спрашивать себя, как же это случилось? Что вызвало это событие, чем то или иное действие было мотивировано? Мы обычно считаем, даже веря в свободу воли, что всегда существуют внутренние или внешние причины, объясняющие любое событие.

Например, при изучении физики возникает впечатление, что для всего есть свои причины и ничто не является случайным. Положение каждой частицы определяется ее начальными условиями, положением в пространстве и силами, действующими на нее.

Однако физики доказали, что существуют события, которые могут произойти, а могут не произойти, независимо от того, что случилось ранее. Такая ситуация, например, имеет место при радиоактивном распаде атома урана. Решением проблемы свободы воли в пространственно-временном континууме является теория «параллельных вселенных». Эта идея была предложена и изучалась многими выдающимися физиками. Среди них американец Хью Эверетт, написавший диссертацию на эту тему, и Брайс Девитт, развивший идеи Эверетта. Благодаря Девитту работа Эверетта известна под названием «Многомировая интерпретация квантовой механики».

По этой теории, одновременно существуют все возможные вселенные, соединенные между собой в виде разветвленного дерева, и наша вселенная является не более чем одной из возможных ветвей. В каждый момент времени, когда какое-то событие происходит или не происходит, вселенная, точнее одна из ее ветвей, расщепляется на две части. Это означает огромное количество разветвлений и бесконечное число параллельных вселенных. Существуют вселенные, в которых мы есть и в которых нас нет, существуют даже вселенные, где у нас четыре руки или где мы можем летать.

Глава 8, Четвертое измерение в искусстве XX века

По отношению к пластическим формам четвертое измерение можно определить как осознание великого и могущественного чувства безмерности пространства во всех направлениях, существующего в трех известных измерениях. Это не физическая теория, не математическая гипотеза и не оптическая иллюзия. Это реальность, и как таковая она может восприниматься и ощущаться.

Макс Вебер. Четвертое измерение с точки зрения пластики (1910)

Метод перспективы эпохи Возрождения, заключавшийся в попытке изобразить то, что видит человеческий глаз, доминировал в искусстве на протяжении пяти веков. Однако изобретение фотографии, следствием которого стала возможность получения истинного изображения предметов, а также ряд других философских, социальных и культурных факторов привели к тому, что художники стали все реже использовать этот метод. Сначала это были робкие попытки импрессионистов, затем окончательный разрыв, начатый французским художником Полем Сезанном (1839–1906) и доведенный до логического завершения художниками-кубистами.

Неевклидовы и многомерные геометрии способствовали тому, что кубисты окончательно отказались от перспективы. Начиная с того времени, четвертое измерение проникло практически во все авангардные течения XX в. Оно пленяло художников различными аспектами – геометрическими, философскими, поэтическими – и использовалось в их работах в самых разнообразных формах.

Многие математики упрекали художников за отсутствие научной строгости в интерпретации четвертого измерения. Однако разве можно запретить проявлять интерес к какой-либо математической области, тем более что произведения искусства выходят за границы любой науки? Кроме того, разве это не нормально для работы художника, для его образа мышления и творчества – самому отражать социальные и общечеловеческие вопросы в поисках собственного пути, чтобы позже показать свое восприятие через произведения искусства? Почему такой подход, считающийся приемлемым для других тем, нельзя применить к математическим вопросам? Ведь художники не занимаются математикой, так почему мы должны требовать от них научной строгости? Их интерес к любым вопросам мироздания может завести их в любую область человеческого знания, включая математику. Мы не можем ожидать от них использования научных методов, у них есть собственный «художественный метод». Художники добавили к своему багажу четвертое измерение, неевклидовы и многомерные геометрии, чтобы использовать их в своих собственных открытиях.

Кубизм и разрыв с методом перспективы

Четвертое измерение было символом освобождения и источником новых идей для многих художников, в частности для кубистов. С восторгом встретив идеи о существовании многомерных пространств и высшей реальности, они попытались порвать с методом перспективы эпохи Возрождения, чтобы оторваться от «визуальной реальности», ограниченной теми проекциями трехмерного пространства, которые воспринимает наш глаз. В конце XIX в. четвертое измерение внесло вклад и в развитие идеалистической философии, которая пришла на смену господствующему в то время позитивизму.

Французские художники Альбер Глез (1881–1953) и Жан Метценже (1883–1956), видные теоретики кубизма, писали в своей книге «О кубизме», что художник-кубист в отличие от художника эпохи Возрождения не пытается изобразить объект так, как его видит глаз, а показывает объект таким, какой он есть. На эту тему существует анекдот о том, как Пабло Пикассо (1881–1973) как-то раз ехал в поезде. Другой пассажир узнал его и спросил, почему тот не может изображать людей такими, какие они есть, а не в искаженном виде. Пикассо попросил у того человека фотографию его семьи, некоторое время рассматривал ее, а потом ответил: «Разве ваша жена действительно такая маленькая и плоская?» Другими словами, изображение объекта в перспективе, как бы реалистично оно ни выглядело, даже если это фотография, не показывает объект таким, какой он есть на самом деле. Любое изображение объекта – это лишь его проекция. В статье, появившейся в журнале Comoedia Illustré в 1913 г., критик Морис Рейналь писал: «Вместо того чтобы изображать объекты, как они их видят, примитивисты изображали их, как они думали, как они их видят. И это именно тот подход, который кубисты видоизменили, расширив его и определив термином „четвертое измерение“».

Чтобы отказаться от метода перспективы и представлять объекты такими, какие они есть на самом деле, а не какими мы их видим, кубисты изображали на холсте несколько ракурсов. В качестве примера можно привести картину Пикассо «Портрет Марии Терезы Вальтер» (1937). На этом портрете, несмотря на то что он не относится к кубистскому периоду Пикассо (который, по мнению историка искусства Дугласа Купера, длился с 1907 по 1921 г.), Мария Тереза Вальтер изображена в различных ракурсах.

На картине Пикассо Мария Тереза Вальтер изображена в различных ракурсах. Ее шляпка показана с двух различных точек зрения: сверху и снизу. Лицо возлюбленной Пикассо (написанное в классическом стиле Пикассо) также изображено в разных планах: по одному для каждого глаза, еще один ракурс – для губ, четвертый – для носа и еще один – для волос. В изображении тела также можно найти несколько ракурсов. Стул и руки показаны по крайней мере с двух точек зрения. Пол изображен так, будто зритель смотрит на женщину сверху вниз, в то время как потолок показан снизу.

Однако метод, используемый в первые годы кубизма, заключался в том, чтобы разбить изображение на небольшие участки или грани и в каждом из них показать части объекта в различных ракурсах, которые все вместе образовывали на холсте полное изображение, представленное со всех точек зрения. При таком способе живописи изображение приобретает определенную сложность и начинает напоминать визуализации четырехмерных объектов. Примером использования такого метода является одна из картин кубистского периода Пикассо «Портрет Амбруаза Воллара» (1910).

На картине «Портрет Амбруаза Воллара» Пикассо изобразил парижского торговца произведениями искусства «многогранным» – с различных точек зрения.

Еще одним примером является картина Метценже «Обнаженная» (1910). Метценже был одним из тех художников, которые с восторгом приняли четвертое измерение, и эта картина представляет собой очень сложный образ, написанный с различных точек зрения, который вырывается из плена трехмерного пространства, изображая более высокую четырехмерную реальность. Другими работами Метценже, выполненными в разных ракурсах, хотя и не такими сложными, как предыдущая картина, являются «Чаепитие» (1911) и «Танец» (1912). Однако «Женщина в шляпке» (1913) написана в совершенно другом стиле с различными ракурсами женского лица на вертикальных гранях. Пикассо и Метценже были самыми активными из кубистов, развивавших технику многочисленных граней, хотя этот подход использовали и другие художники, такие как Жорж Брак, Робер Делоне и Альбер Глез.

В четвертой главе мы уже говорили о том, что глаз гиперсущества может одновременно видеть как внешнюю поверхность объекта, так и его внутреннее устройство, то есть гиперсущества могут видеть нас во всех возможных ракурсах. В каком-то смысле именно в этом заключалась цель кубистов. Кроме того, некоторые художники использовали мысль и воображение в качестве пути в четвертое измерение, о чем говорит следующая цитата Пикассо: «Я изображаю предметы так, как я думаю о них, а не такими, какими я их вижу». Кубисты ассоциировали перспективу эпохи Ренессанса с евклидовым трехмерным пространством, в то время как в пространстве своих картин они использовали четвертое измерение и неевклидовы геометрии.

Вот как объясняют это Метценже и Глез в своем манифесте «О кубизме»:

«Признаемся однако, что некоторое напоминание существующих форм не должно быть изгнано окончательно, по крайней мере в настоящее время. Нельзя же сразу возносить искусство до полного исчезновения конкретности. Художники-кубисты это знают. Они неустанно изучают живописную форму и те особые пространственные отношения, которые она создает. Это пространство мы по неосмотрительности путаем с визуальным, или с евклидовым пространством. Евклид в одном из своих постулатов говорит о неспособности к деформации движущихся фигур, поэтому мы не должны ограничивать себя этим положением.

Если бы мы захотели привязать художественное пространство к геометрии, нам следовало бы отнести его к неевклидовой математике, и нам пришлось бы изучать некоторые из теорем Римана».

Поэт и критик Гийом Аполлинер (1880–1918) придерживался такого же подхода в своей работе «Эстетические размышления – художники-кубисты» (1913):

«Тайной целью молодых художников экстремистских школ является чистая живопись. Их искусство представляет собой совершенно новые пластические формы. Оно еще только рождается и еще не так абстрактно, как хотелось бы.

Многие новые художники зависят в большей степени от математики, сами не осознавая это. Они еще не совсем отказались от существующих форм, терпеливо изучая их, надеясь найти правильные ответы на вопросы, поставленные жизнью. <…>

<…> Новых художников жестоко критикуют за их увлечение геометрией.

Однако геометрические фигуры являются сутью рисунка. Геометрия – наука о пространстве, размерах и отношениях – всегда определяла нормы и правила живописи. До сих пор три измерения евклидовой геометрии были достаточны для норовистых художников, тоскующих по бесконечности.

Новые художники не более, чем их предшественники, стремятся быть геометрами. Но следует сказать, что геометрия для пластических искусств – это то же самое, что грамматика для искусства писателя. Сегодня ученые больше не ограничивают себя тремя измерениями Евклида. И художники, что совершенно естественно (хотя кто-то и скажет, что только благодаря интуиции), привлекли новые возможности пространственных измерений, что на языке современных студий стало называться четвертым измерением.

Существуя в сознании образом пластики предмета, четвертое измерение зарождается благодаря трем известным измерениям: оно представляет собой необъятность пространства во всех направлениях в каждый данный момент.

Это само пространство, само измерение бесконечности; четвертое измерение одаряет предметы пластичностью».

Первая из этих двух цитат ссылается на утверждение Евклида о «неспособности к деформации движущихся фигур». Это означает, например, что квадрат не деформируется при движении на плоскости (под движением здесь понимается перенос или поворот). Однако Риман рассматривал пространства (поверхности или многомерные пространства) с переменной кривизной, в которых форма фигуры меняется при перемещении. Например, в третьей главе мы уже говорили о поверхности тора, которая имеет переменную кривизну – положительную снаружи и отрицательную внутри. Теперь изобразим на внешней стороне тора выпуклую фигуру более или менее прямоугольной формы. Мы увидим, что при перемещении этой фигуры на внутреннюю сторону тора ее форма изменится, то есть фигура исказится и станет выпуклой в одних направлениях и вогнутой в других.

«Прямоугольная» фигура на внешней стороне тора выпукла во все стороны, однако при перемещении на внутреннюю часть тора – рисунок перевернут для наглядности – стороны фигуры поменяли кривизну.

Для кубистов четвертое измерение означало не только разрыв с методом перспективы, но и определенную свободу в изображении пространства и формы. Кроме того, Метценже и Глез, Аполлинер и польско-американский художник Макс Вебер (1881–1961) связывали четвертое измерение с бесконечностью. Это была своего рода метафора, так как для них метод перспективы и третье измерение являлись тюрьмой искусства и его выразительных средств, в то время как четвертое измерение выпускало творчество на свободу. Альбер Глез подчеркнул это в интервью, данном в 1912 г.: «К трем измерениям Евклида мы добавили еще одно – четвертое, которое является конфигурацией пространства и мерой бесконечности».

Обратимся теперь к картине Пикассо «Авиньонские девицы» (Les Demoiselles d Avignon, 1907) – отправной точке кубизма и авангарда XX в. В этой работе мы видим полный разрыв с методом перспективы и использование нескольких ракурсов, и это означает начало нового визуального языка. Произведение явно написано под влиянием Сезанна как с точки зрения отказа от перспективы, так и учитывая попытку Пикассо представить реальность, сведя ее к основным формам. (Целью Сезанна было «трактовать природу посредством цилиндра, шара, конуса».) Пикассо познакомился с концепцией четвертого измерения благодаря математику Морису Принсе, который встретился с художником в 1905 г. и вскоре стал членом «группы Пикассо». Принсе рассказал членам группы о работах Пуанкаре и Эспри Жуффре, а также о четвертом измерении. В своей книге о Пикассо и Эйнштейне Артур Миллер отмечает сходство между эскизами Пикассо к этой картине и геометрическими фигурами Жуффре (см. рисунок на следующей странице). То же самое заметила историк искусства Линда Хендерсон в отношении картины «Портрет Амбруаза Воллара». Но конечно же, четвертое измерение является лишь одним из источников вдохновения для «Авиньонских девиц» наряду с африканским искусством, работами Сезанна, «иберийским» стилем живописи и др.

Проекции шестнадцати основных октаэдров и икоситетраэдров из книги Жуффре «О геометрии четырех измерений» (1903).

Но как эта работа, такая важная для искусства XX в., была встречена соратниками Пикассо? Он показал им картину в своей мастерской и, судя по всему, получил очень плохие отзывы. Жорж Брак, позже ставший наряду с Пикассо одним из основоположников кубизма, даже пошутил, что друг его, возможно, был пьян, когда писал эту картину. Лео Штейн, долгое время бывший покровителем Пикассо, саркастически заметил: «Вы пытались нарисовать четвертое измерение? Как забавно!»

Матисс решил, что картина просто шутка, и грозился уничтожить Пикассо. Дерен заявил, что после такой картины остается только совершить самоубийство. Только коллекционер Даниэль Анри Канвейлер заинтересовался картиной и предложил купить ее. Однако Пикассо оставил ее себе, ответив, что она не продается. Лишь девять лет спустя публика увидела «Авиньонских девиц».

В заключение мы приведем любопытное замечание, сделанное французским писателем и критиком Андре Салмоном в 1912 г., которое позже повторил Артур Миллер: «["Авиньонские девицы" – это] голые задачи, белые цифры на черной доске. Это новый провозглашенный принцип: картина = уравнение… Таким образом, живопись тоже стала наукой, не уступая ей в строгости».

Дружба между французским художником Жоржем Браком (1882–1963) и Пабло Пикассо привела к появлению аналитического кубизма, приверженцами которого стали также Метценже, Глез и Аполлинер. Потом была выставка кубистов в Салоне Независимых (Salon des Independants) в 1911 г., где были представлены произведения Метценже, Глеза, Анри Ле Фоконье (1881–1946), Фернана Леже (1881–1955) и Робера Делоне (1885–1941), хотя, как ни странно, там не было ни картин Пикассо, ни картин Брака. Сторонники аналитического кубизма образовали «группу из Пюто», в то время как Брак и Пикассо развивали синтетический кубизм, где доминировал коллаж.

«Группа из Пюто», также называемая la Section d’Or («Золотое сечение») в честь геометрической пропорции, сформировалась благодаря решению нескольких художников, поэтов и критиков встречаться каждое воскресенье в студии художника Жака Биллона (1875–1963) в Пюто – пригороде Парижа. В ее состав вошли Метценже, Глез, Хуан Грис из Мадрида (1887–1927), Ле Фоконье, Леже, Делон, три брата Жак Виллон, Раймон Дюшан-Виллон (1876–1918) и Марсель Дюшан (1887–1968), а также Франсис Пикабия (1879–1953), чешский теософ Франтишек Купка (1871–1957) и Аполлинер.

* * *

ПРИНСЕ, МАТЕМАТИК КУБИЗМА

Математик Морис Принсе (1875–1973) работал страховым агентом, но был важной фигурой среди кубистов и даже заслужил титул «математик кубизма». Познакомившись с Пикассо, он присоединился к его группе, а позже – к группе из Пюто. Он часто давал неофициальные консультации по четвертому измерению и неевклидовой геометрии. В своих мемуарах Метценже написал: «Морис Принсе часто бывал у нас… Он воспринимал математику как художник, а многомерные пространства рассматривал с точки зрения эстетики. Ему нравилось, когда ему удавалось заинтересовать художников новыми взглядами на пространство, открытыми Шлегелем и другими. И он в этом преуспел».

* * *

Каждый из кубистов имел свой собственный характерный стиль, но одним из общих интересов членов группы была геометрия. Если посмотреть на их работы, можно заметить использование четвертого измерения, основных геометрических фигур, золотого сечения и других геометрических элементов. На собраниях группы из Пюто часто бывал математик Принсе, который рассказывал художникам о геометрии, в частности о четвертом измерении и неевклидовых геометриях. Именно благодаря ему они познакомились с работами Анри Пуанкаре и Эспри Жуффре.

Большое значение для популяризации четвертого измерения имел научно-фантастический роман Гастона де Павловского «Путешествие в страну четвертого измерения». Картина Жана Метценже, которая была на выставке 1913 г., но в настоящее время потеряна, называлась «Мертвая природа (четвертое измерение)».

* * *

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

Золотое сечение, золотая пропорция или божественная пропорция – это геометрическая пропорция, вызывавшая большой интерес в мире культуры и искусства.

Золотое сечение было определено еще в «Началах» Евклида следующим образом: золотое сечение – это такое деление целого отрезка на две неравные части а и Ь, при котором большая часть так относится к целому, как меньшая – к большей. С помощью формулы это записывается так:

Если мы обозначим это отношение Ф = a/b, то предыдущее уравнение может быть записано как уравнение второй степени Ф²  – Ф – 1 = 0, положительным решением которого является число

Кроме того, прямоугольник со сторонами а и Ь называется «золотым прямоугольником», если длины его сторон соотносятся в золотой пропорции. Это соотношение использовалось в греческих и египетских канонах красоты, а в эпоху Возрождения привлекало интерес не только математиков, таких как Лука Пачоли, но и художников, в том числе Леонардо да Винчи.

С того времени золотое сечение стало частью культуры. Жак Виллон наряду с другими кубистами заинтересовался им благодаря французскому переводу «Трактата о живописи» Леонардо да Винчи в 1910 г. Именно интерес к этой книге участников группы Пюто объясняет ее название – la Section d'Or («Золотое сечение»), хотя только два члена группы часто использовали золотое сечение в своих работах – Виллон и Грис. Также иногда эта пропорция появлялась у Метценже и Глеза.

Хуан Грис часто использовал золотое сечение в своих работах, например на картинах «Портрет Жермены Рейналь» и «Мужчина в кафе»(вверху), а также «Сидящий Арлекин».

Марсель Дюшан

Марсель Дюшан был одним из членов группы из Пюто, особенно интересовавшихся математикой и четвертым измерением. Его подход отличался от подхода других кубистов тем, что Дюшан пытался визуализировать четвертое измерение собственными художественными средствами, применяя математические методы чаще, чем другие художники.

Приведем отрывок из «Диалога с Марселем Дюшаном» (1966) Пьера Кабана:

«Пьер Кабан: Ваши знания математики удивительны, тем более если учесть, что у вас нет специального образования.

Дюшан: Не совсем так. В то время нас интересовало именно четвертое измерение. В „Зеленом ящике" есть много записей о четвертом измерении. Вы помните человека, кажется, его звали Поволовский [имеется в виду Павловский]? Он был редактором на улице Бонапарта. Я забыл его имя. Он писал статьи в журналы о четвертом измерении, приводя аналогии с плоскими двумерными существами… Это было действительно забавно, даже в период кубизма с Принсе.

Пьер Кабан: Принсе был псевдоматематиком, он иронизировал…

Дюшан: Совершенно верно. Мы были не настоящие математики, поэтому мы так верили Принсе. Он производил впечатление осведомленного человека».

Первая из трех картин, которые иллюстрируют интерес Марселя Дюшана к четвертому измерению, – это «Портрет шахматистов» (1911). Из записок Дюшана мы знаем, что он читал работы Пуанкаре и Эспри Жуффре, а также Гастона де Павловского.

Жуффре использовал шахматы в качестве метафоры для визуализации четвертого измерения, сравнивая его с мыслительным процессом шахматиста, который играет одновременно несколько партий вслепую, то есть не глядя на шахматные доски. Темой этой картины является мыслительный процесс шахматиста, хотя тот играет только одну партию. Кроме того, Дюшан, который сам был заядлым шахматистом, сказал в интервью, что он поместил своих игроков в бесконечное пространство (как мы уже говорили, теоретики кубизма связывали четвертое измерение с бесконечным пространством).

Впоследствии Дюшан начал исследовать статическое представление движения, что является одним из методов визуализации четвертого измерения, то есть статического, а не релятивистского пространства-времени. Он говорил о так называемом элементарном параллелизме: «…Поверхность образуется повторением линий точно так, как линия образуется повторяющимися в одном направлении точками. Та же самая аналогия используется при переходе от плоскости к пространству. Непрерывное повторение п-мерных пространств приводит к (n + 1) – мерному пространству».

Дюшан сам пришел к теории Хинтона и других философов, которая описывает гиперкуб как результат движения куба в дополнительном измерении. Картиной этого периода, наилучшим образом отражающей его элементарный параллелизм, является «Обнаженная, спускающаяся по лестнице. № 2» (1912).

В картине «Обнаженная, спускающаяся по лестнице. № 2» (внизу) Дюшан смешивает идеи кубизма, метод различных ракурсов и движение (тут можно даже говорить о пяти измерениях). Источником вдохновения была работа английского фотографа Эдварда Мейбриджа «Женщина, спускающаяся по лестнице» (вверху). Работа вызвала много споров среди кубистов, которые не признавали движение.