Магия чисел. Ментальные вычисления в уме и другие математические фокусы

Текст добавлен: 8 сентября 2016, 23:10

Текст книги "Магия чисел. Ментальные вычисления в уме и другие математические фокусы"

Автор книги: Майкл Шермер

Соавторы: Артур Бенджамин

Жанры:

Математика

сообщить о нарушении

Текущая страница: 2 (всего у книги 11 страниц) [доступный отрывок для чтения: 3 страниц]

Назад к карточке книги

Глава 0
Быстрые трюки: простые (и впечатляющие) вычисления

Далее вы узнаете, как быстро выполнять математические действия в уме. После непродолжительной практики и освоения методов этой книги ваша способность работать с числами значительно улучшится. После более продолжительной практики вы сможете считать быстрее, чем с помощью калькулятора.

В этой главе я научу вас нескольким простым (но впечатляющим) вычислениям, которые вы можете освоить незамедлительно. Более серьезные вещи оставим на потом.

МГНОВЕННОЕ УМНОЖЕНИЕ

Давайте начнем с одного из моих любимых трюков: как умножать в уме любое двузначное число на 11. Это очень легко, если вы знаете секрет. Представьте следующую задачу:

32 х 11

Для ее решения нужно просто сложить цифры 3 + 2 = 5, а затем поместить пятерку между двойкой и тройкой.

Вот и наше решение: 352

Что может быть легче? Теперь попробуйте

53 х 11

Поскольку 5 + 3 = 8, ответ достаточно прост:

583

Еще пример. Не подглядывая и не записывая, скажите, чему равно:

81 х 11?

У вас получилось 891? Поздравляю!

Но пока не слишком воодушевляйтесь: я показал лишь половину того, что необходимо знать. Допустим, задача такая:

85 х 11

Несмотря на то что 8 + 5 = 13, ответ НЕ 8135!

Как и прежде цифра 3 ставится между цифрами 8 и 5, но 1 добавляется к цифре 8 для получения правильного ответа 935.

Представляйте задачу следующим образом:

835

¯¯¯

935

Вот еще пример. Попробуйте перемножить 57 х 11.

Так как 5 + 7 = 12, ответ:

527

¯¯¯

627

Теперь ваша очередь. Как можно быстрее, подсчитайте, сколько будет 77 х 11?

Если вы получили ответ 847, можете себе поаплодировать.

Вы на пути к превращению в матемага.

Мне известно по опыту, что если вы скажете другу или учителю, что способны в уме умножить любое двузначное число на 11, просьба умножить 99 на 11 не заставит себя долго ждать. Поэтому решим эту задачку прямо сейчас, чтобы вы были готовы.

Так как 9 + 9 = 18, ответ таков:

989

¯¯¯

1089

Хорошо попрактикуйте свой новый навык какое-то время, а затем проведите шоу перед друзьями. Вы будете удивлены реакцией, которую вызовет ваше умение (раскрывать или нет свои секреты – решайте сами).

Итак, к этому моменту у вас, должно быть, появилось несколько вопросов, скажем:

Можно ли использовать этот метод для умножения трехзначных (или более «значных») чисел на 11?

Безусловно. Например, для задачи 314 х 11 ответ все еще будет начинаться с 3 и заканчиваться на 4. Так как 3 + 1 = 4 и 1 + 4 = 5, ответ будет равен 3454. Но мы пока отложим задачи посерьезнее на потом.

Вероятно, вы уже спрашиваете себя:

Конечно, замечательно, что таким способом можно умножать на 11. Но как насчет других чисел? Как умножить числа на 12, 13 или 36?

Мой ответ: «Терпение!» Об этом рассказывается дальше.

В главах 2, 3, 6 и 8 вы изучите методы умножения, позволяющие перемножать любые два числа. При этом вам не придется запоминать специальные правила для каждого случая. Несколько методов – вот и все, что вам понадобится для быстрого умножения чисел в уме.

ВОЗВЕДЕНИЕ ВО ВТОРУЮ (В КВАДРАТ) И БÓЛЬШИЕ СТЕПЕНИ

Вот еще один трюк.

Как вы, наверное, знаете, квадрат числа – это заданное число, умноженное само на себя. Например, квадратом 7 будет 7 х 7, то есть 49. Позже я научу вас простому способу, который позволит без труда вычислять квадрат любого двузначного и трехзначного (и состоящего из большего количества знаков) числа.

Этот метод особенно легко применять, если число заканчивается на 5. Поэтому опробуем его прямо сейчас.

1. Ответ должен начинаться с результата умножения первой цифры возводимого в квадрат числа на цифру, большую на единицу, чем первая цифра.

2. Ответ заканчивается на 25.

Например, чтобы возвести в квадрат число 35, мы просто умножаем первую цифру (3) на 4, то есть на единицу бóльшую цифру, после чего добавляем 25. Так как 3 х 4 = 12, следовательно, ответ – 1225. Таким образом, 35 х 35 = 1225. Проделанные шаги можно представить следующим образом:

Как насчет возведения в квадрат числа 85? Так как 8 х 9 = 72, мы мгновенно получаем ответ: 85 х 85 = 7225.

Можно применить похожий прием при умножении двузначных чисел, начинающихся с одинаковых первых цифр, сумма вторых цифр которых равняется 10. Ответ будет состоять из числа, полученного с помощью вышеописанного метода (первая цифра умножается на цифру, на единицу бóльшую), и произведения вторых цифр чисел, участвующих в умножении. Например, попробуем умножить 83 на 87. (Оба числа начинаются на 8, а сумма последних цифр 3 + 7 = 10.)

Так как 8 х 9 = 72 и 3 х 7 = 21, ответ – 7221.

Подобным образом получаем из 84 х 86 = 7224.

Теперь ваша очередь. Попробуйте вычислить 26 х 24.

С чего начинается ответ? С 2 х 3 = 6. Чем заканчивается? 6 х 4 = 24. Значит, 26 х 24 = 624.

Помните, что использовать этот метод можно, только если первые цифры чисел одинаковы, а последние дают в сумме 10.

Итак, мы можем применить этот метод, чтобы мгновенно вычислить:

Вы можете спросить: Что делать, если последние цифры не дают в сумме 10? Мы все равно можем использовать этот прием, чтобы умножить 22 на 23?

Пока еще нет. Но в главе 8 я покажу вам простой способ решения таких задач с применением метода «совместной близости» (для вычисления 22 х 23 нужно умножить 20 х 25, прибавить 2 х 3 и получите 500 + 6 = 506; но это я забегаю наперед!). Вы не только научитесь использовать данные методы, но и поймете принципы их работы.

Часто мне задают еще такой вопрос: Существуют какие-либо методы устного сложения и вычитания?

Конечно, и этому посвящена вся следующая глава. Если бы меня заставили описать свой прием в двух словах, я бы сказал: «Слева направо». (Вот вы украдкой и получили анонс будущего.)

Представьте следующую задачу на вычитание:

Большинству людей не понравится решать подобные задачки в уме (и даже на бумаге!), но давайте все упростим. Вместо того чтобы вычесть 587, вычтем 600. Так как 1200 – 600 = 600, получаем следующее:

Но мы вычли на 13 больше. (В главе 1 показано, как быстро определить «13».) Таким образом, наш пример, на который было больно смотреть, превращается в простую задачку на сложение:

довольно легко решаемую в уме (в особенности слева направо). Итак, 1241 – 587 = 654.

Используя немножко магии чисел, описанной в главе 9, вы сможете мгновенно вычислить сумму десяти чисел, представленных ниже:

Хотя я не стану раскрывать магический секрет прямо сейчас, сделаю небольшой намек. Полученный ответ 935 уже появлялся в этой главе. Еще больше трюков для вычислений на бумаге вы найдете в главе 6. Более того, вы будете в состоянии быстро назвать частное двух следующих чисел:

359 ÷ 222 = 1,61 (первые три цифры)

Нам еще многое предстоит узнать о делении (включая обычные и десятичные дроби) в главе 4.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ПРАКТИЧЕСКИЕ СОВЕТЫ

Вот быстрый совет для подсчета чаевых[2]2
Английское слово tip имеет несколько значений: в данном предложении оно используется дважды: как «совет» и как «чаевые». Прим. пер.

[Закрыть]. Предположим, в ресторане вам выставили счет на 42 доллара, и вы захотели оставить чаевые в размере 15 %. Сначала вычисляем 10 % от 42, что равняется 4,20. Сократив это число наполовину, получаем 2,10, что представляет собой 5 % от вашего счета. Складываем эти числа; их сумма (6,30) и будет составлять 15 %. Мы обсудим стратегии вычисления налога с продаж, скидок, сложных процентов и другие практические вопросы в главе 5. Причем все это наряду со способами, которые можно использовать для быстрых устных вычислений, если нет необходимости в точных расчетах.

УЛУЧШАЙТЕ ПАМЯТЬ

В главе 7 вы изучите полезную технику запоминания чисел, которая поможет в учебе и не только. Используя легкую для понимания систему преобразования чисел в слова, вы сможете быстро и без труда запоминать любые числа: даты, телефонные номера – все, что захотите.

Что касается календарных чисел, то как вы смотрите на то, чтобы научиться выяснять день недели любой даты? Это пригодится для вычисления дней рождения, исторических событий, запланированных в будущем встреч и тому подобного.

Я расскажу об этом в деталях позже, а пока предлагаю простой способ определения дня недели 1 января любого года в XXI веке. Сначала ознакомьтесь с представленной таблицей.

Например, давайте выясним, каким днем недели будет 1 января 2030 года. Возьмите две последние цифры года и представьте себе, что это ваш счет в ресторане (в данном случае 30 долларов.) Теперь добавьте 25 % чаевых, но излишки в центах оставьте себе. (Это можно вычислить, дважды разделив счет пополам и отбросив всю «мелочь». Половина от 30 равна 15, а половина от 15 – 7,50. Оставив излишки себе, получим чаевые в размере 7 долларов.) Отсюда следует, что ваш счет плюс чаевые составляет 37 долларов. Чтобы определить день недели, вычитаем из этой суммы наиболее близкое к ней (но не большее) произведение числа 7 (0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, …) и получаем в результате порядковый номер дня. В данном примере, 37–35 = 2, значит, 1 января 2030 года приходится на второй день недели, то есть на вторник.

Какой день недели 1 января 2043 года?

Исключение: если год високосный, уберите 1 доллар из суммы чаевых, высчитанных ранее. Например, для 1 января 2032 года 25 % от счета на 32 доллара будут равны 8 долларам чаевых. Вычитание 1 дает в итоге 32 + 7 = 39. Вычитание наибольшего по отношению к сумме счета произведения 7 дает 39–35 = 4. Итак, 1 января 2032 года приходится на четвертый день недели, четверг. За полной информацией, которая позволит определить день недели для любой исторической даты, обращайтесь к главе 9. (Кстати, совершенно естественно начать чтение книги именно с нее!)

Я знаю, о чем вы сейчас думаете: Почему этому не учат этому в школе?

Боюсь, на некоторые вопросы даже я не знаю ответа. Вы готовы освоить еще больше волшебной математики? Так чего мы ждем? Вперед!

Глава 1
Небольшой обмен любезностями: устное сложение и вычитание

Сколько себя помню, мне всегда было легче складывать и вычитать слева направо, нежели справа налево. Поступая таким образом, я выяснил, что могу выкрикнуть ответ на математическую задачку раньше, чем одноклассники запишут условия.

А мне не нужно было даже записывать!

В этой главе вы научитесь методу «слева направо», используемому для устного сложения и вычитания большинства чисел, с которыми мы сталкиваемся каждый день. Эти умственные навыки важны не только для выполнения математических трюков из данной книги, но и незаменимы во время учебы в школе, трудовой деятельности и в других ситуациях, когда вам нужно оперировать числами. В скором времени вы сможете отправить свой калькулятор на заслуженный отдых и начать задействовать мозг в полную силу, складывая и вычитая двузначные, трехзначные и даже четырехзначные числа с молниеносной скоростью.

СЛОЖЕНИЕ СЛЕВА НАПРАВО

Большинство из нас обучены проводить письменные вычисления справа налево. И это нормально для счета на бумаге. Но у меня есть достаточно много убедительных аргументов, объясняющих, почему это лучше делать слева направо, чтобы считать в уме (то есть быстрее, чем на бумаге). В конце концов, числовую информацию вы читаете слева направо, произносите числа тоже слева направо, поэтому и думать о числах (и считать их) более естественно слева направо. Вычисляя ответ справа налево, вы генерируете его в обратном направлении. Это и делает вычисления в уме такими сложными. К тому же, чтобы просто оценить результат вычислений, важнее знать, что он «чуть больше 1200», чем то, что он «заканчивается на 8».

Итак, применяя метод слева направо, вы начинаете решение с самых значимых цифр вашего ответа. Если вы привыкли работать на бумаге справа налево, то вам может показаться неестественным новый подход. Но с практикой к вам придет понимание, что это самый эффективный способ для устных вычислений. Хотя, возможно, первый набор задач – сложение двузначных чисел – и не убедит вас в этом. Но проявляйте терпение. Если будете следовать моим рекомендациям, то скоро поймете, что единственным легким путем к решению задач на сложение трехзначных (и более «значных») чисел, всех задач на вычитание, умножение и деление является метод слева направо. Чем раньше вы приучите себя действовать так, тем лучше.

Сложение двузначных чисел

Прежде всего я исхожу из того, что вы знаете, как складывать и вычитать числа, состоящие из одной цифры. Мы начнем со сложения двузначных чисел, хоть я и подозреваю, что вы неплохо умеете делать это в уме. Однако следующие упражнения все равно станут для вас хорошей практикой, так как навыки сложения двузначных чисел, которые вы приобретете в итоге, понадобятся для решения более трудных задач на сложение, как, впрочем, и для почти всех задач на умножение, предложенных в следующих главах. В этом проиллюстрирован фундаментальный принцип устной арифметики, а именно: «упрощай задачу, разбивая ее на меньшие, проще решаемые». Это ключ практически к каждому методу, представленному в данной книге. Перефразируя старую пословицу, есть три составляющие успеха: упрощай, упрощай и упрощай.

Самые легкие задачи на сложение двузначных чисел – те, которые не требуют от вас держать в уме какие-либо цифры (то есть когда первые две цифры в сумме дают 9 или меньше или сумма последних двух цифр равна 9 и меньше). Например:

Чтобы сложить 47 + 32, сначала 30 прибавляем к 47, а затем к полученной сумме прибавляем 2. После сложения 30 и 47 задача упрощается: 77 + 2 равно 79. Проиллюстрируем это следующим образом:

Приведенная схема – простой способ представления мыслительных процессов, выполняемых для получения правильного ответа. Хотя вы должны читать и понимать такие схемы на протяжении всего времени работы с книгой, записывать что-либо не требуется.

Теперь попробуем вычисление, в котором необходимо держать числа в уме:

Прибавляя слева направо, вы можете свести задачу к действию 67 + 20 = 87, а затем к сложению 87 + 8 = 95.

Теперь попробуйте сами, после чего сверьтесь с тем, как это сделали мы.

Ну что, получилось? Вы сложили 84 + 50 = 134, а затем 134 + 7 = 141.

Если удержание цифр в уме служит причиной ваших ошибок, не переживайте. Вероятно, это ваша первая попытка выполнить систематизированное устное вычисление и, как и большинству людей, вам понадобится время, чтобы запомнить числа. Однако с опытом вы сможете удерживать их в уме автоматически. В качестве практики попробуйте решить устно еще одну задачку, а затем опять сверьтесь с тем, как это сделали мы.

Вам следовало сложить 68 + 40 = 108 и 108 + 5 = 113 (итоговый ответ). Было ли вам проще? Если хотите проверить свои силы на большем количестве задач на сложение двузначных чисел, обратитесь к примерам, представленным ниже. (Ответы и ход вычислений приведены в конце книги.)

Сложение трехзначных чисел

Стратегия сложения трехзначных чисел точно такая же, как и двузначных: вы складываете слева направо и после каждого шага переходите к новой, более простой задаче на сложение.

Попробуем:

Вначале прибавляем к 538 число 300, затем 20, затем 7. После прибавления 300 (538 + 300 = 838) задача сводится к 838 + 27. После прибавления 20 (838 + 20 = 858) задача упрощается до 858 + 7 = 865. Такого рода мыслительный процесс может быть представлен в виде следующей схемы:

Все задачи на устное сложение можно решить таким способом, последовательно упрощая задачу до тех пор, пока не останется просто прибавить однозначное число. Обратите внимание, что пример 538 + 327 требует удержания в уме шести цифр, тогда как 838 + 27 и 858 + 7 – только пяти и четырех цифр соответственно. Если вы упрощаете задачу, решить ее становится легче!

Попробуйте решить в уме следующую задачу на сложение, прежде чем посмотрите наше решение

Вы упростили ее, складывая цифры слева направо? После сложения сотен (623 + 100 = 723) осталось сложить десятки (723 + 50 = 773). Упростив задачу до 773 + 9, в сумме получаем 782. В виде схемы решение задачи выглядит так:

Когда я решаю подобные задачи в уме, я не визуализирую числа, а пытаюсь слышать их. Я слышу пример 623 + 159 как шестьсот двадцать три плюс сто пятьдесят девять. Выделяя для себя слово сто, я понимаю, с чего начать. Шесть плюс один равняется семи, значит, моя следующая задача семьсот двадцать три плюс пятьдесят девять и так далее. Решая такие задачи, тоже делайте это вслух. Подкрепление в виде звуков поможет вам освоить этот метод гораздо быстрее.

Задачи на сложение трехзначных чисел на самом деле не бывают сложнее следующей:

Взгляните на то, как это сделается:

На каждом этапе я слышу (а не вижу) новую задачу на сложение. У меня в голове это звучит примерно так:

858 плюс 634 равно 1458 плюс 34,

равно 1488 плюс 4, равно 1492.

Ваш внутренний голос может звучать иначе, чем мой (не исключено, что вам удобнее видеть числа, а не слышать их), но, как бы там ни было, наша цель – «подкреплять» числа на их пути, чтобы не забыть, на каком этапе решения задачи мы находимся и не начинать все сначала.

Давайте еще попрактикуемся.

Вначале сложите в уме, потом проверьте вычисления.

Этот пример немного сложнее предыдущего, так как требует держать в уме числа на протяжении всех трех шагов.

Однако в нем можно воспользоваться альтернативным методом подсчета. Я уверен, что вы согласитесь: гораздо проще к 759 прибавить 500, чем 496. Так что попробуйте прибавить 500 и затем вычесть разность.

До сих пор вы последовательно расчленяли второе число, чтобы сложить его с первым. На самом деле не имеет значения, какое число разбивать на части, важно соблюдать порядок действий. Тогда вашему мозгу не придется решать, в какую сторону направиться. Если запомнить второе число намного легче первого, то их можно поменять местами, как в следующем примере.

Закончим тему сложением трехзначных чисел с четырехзначными. Так как память среднестатистического человека одновременно может удерживать только семь или восемь цифр, это как раз подходящая задача, с которой вы можете справиться, не прибегая к искусственным устройствам запоминания (таким как пальцы, калькуляторы или приемы мнемотехники из главы 7). Во многих задачах на сложение одно или оба числа заканчиваются на 0, поэтому уделим внимание примерам такого типа. Начнем с самого легкого:

Так как 27 сотен + 5 сотен равняется 32 сотням, мы просто прибавляем 67 с целью получить 32 сотни и 67, то есть 3267. Процесс решения идентичен для следующих заданий.

Поскольку 40 + 18 = 58, первый ответ – 3258. Во втором примере 40 + 72 в сумме больше 100, поэтому ответ будет 33 сотни с «хвостиком». Итак, 40 + 72 = 112, поэтому ответ – 3312.

Эти задачи легкие, потому что значащие цифры (отличные от нуля) в них складываются лишь один раз и примеры можно решить в одно действие. Если значащие цифры складываются два раза, то и действий понадобится два. Например:

Задача в два действия схематически выглядит следующим образом.

Тренируйтесь на представленных ниже упражнениях в сложении трехзначных чисел до тех пор, пока не станете с легкостью выполнять их в уме, не подглядывая в ответ. (Ответы находятся в конце книги.)

Карл Фридрих Гаусс: вундеркинд от математики

Вундеркинд – это очень талантливый ребенок. Обычно его называют «развитым не по годам» или «одаренным», так как он почти всегда опережает сверстников в развитии. Немецкий математикКарл Фридрих Гаусс (1777–1855) был одним из таких детей. Он часто хвастался тем, что научился производить расчеты раньше, чем говорить. Будучи трех лет от роду, он исправил платежную ведомость отца, заявив: «Подсчеты неверны». Дальнейшая проверка ведомости показала, что малыш Карл был прав.

В десятилетнем возрасте ученик Гаусс получил на уроке следующую математическую задачу: какова сумма чисел от 1 до 100? Пока одноклассники отчаянно производили расчеты с бумагой и карандашом, Гаусс сразу представил себе, что если он запишет числа от 1 до 50 слева направо, а от 51 до 100 – справа налево прямо под списком чисел от 1 до 50, то каждая сумма чисел, стоящих друг под другом, будет равна 101 (1 + 100, 2 + 99, 3 + 98…). Поскольку выходило всего пятьдесят таких сумм, ответ составил 101 х 50 = 5050. Ко всеобщему изумлению (включая учителя), юный Карл получил ответ, не только опередив всех остальных учеников, но и вычислив его целиком в уме. Мальчик записал ответ на своей грифельной доске и швырнул ее на стол учителя с дерзкими словами: «Вот ответ».

Учитель был настолько поражен, что за свои деньги купил наилучший из доступных учебников по арифметике и отдал его Гауссу, заявив: «Это превышает пределы моих возможностей, я больше ничему не смогу его научить».

Действительно, Гаусс стал учить математике других и в конечном итоге достиг небывалых высот, прослыв одним из величайших математиков в истории, чьи теории до сих пор служат науке. Его желание лучше понимать природу посредством языка математики было подытожено в его девизе, взятом из шекспировского «Короля Лира» (заменяя «закон» на «законы»): «Природа, ты моя богиня! В жизни я лишь твоим законам послушен».

ВЫЧИТАНИЕ СЛЕВА НАПРАВО

Для большинства из нас сложение проще вычитания. Но если вы будете вычитать слева направо и начнете разделять вычисления на более простые действия, вычитание может стать почти таким же простым, как сложение.

Вычитание двузначных чисел

При вычитании двузначных чисел следует упростить задачу, сведя ее к вычитанию (или сложению) однозначных. Начнем с очень простого примера.

После каждого действия вы переходите на новый, более простой этап вычитания. Сначала отнимаем 20 (86–20 = 66), затем 5, имея простое действие 66 – 5, в итоге получаем 61. Решение схематически можно представить как:

Конечно, вычитать значительно легче, если не нужно занимать единицу из старшего разряда (так происходит, когда бóльшая цифра вычитается из меньшей). Однако хочу вас успокоить: трудные задачи на вычитание обычно можно превратить в легкие задачки на сложение. Например:

Существуют два способа решить этот пример в уме.

1. Сначала вычитаем 20, затем 9:

Но для этой задачи я предлагаю другую стратегию.

2. Сначала вычитаем 30, потом прибавляем 1

Определить, какой метод лучше использовать, вам поможет правило:

если в задаче на вычитание двузначных чисел вычитаемая цифра больше уменьшаемой, округлите ее до десяти.

Далее из уменьшаемого числа вычтите округленное число, а потом прибавьте разность между округленным числом и первоначальным. Например, в задаче 54–28 вычитаемое 8 больше уменьшаемого 4. Поэтому округляем 28 до 30, вычисляем 54–30 = 24, после чего прибавляем 2 и получаем ответ – 26.

А теперь закрепим знания на примере 81–37. Так как 7 больше 1, округляем 37 до 40, вычитаем это число из 81 (81–40 = 41), а затем прибавляем разность 3 для получения ответа:

Всего лишь немного практики – и вы без труда сможете решать задачи обоими способами. Используйте вышеуказанное правило для принятия решения о том, какой способ лучше подходит.

Вычитание трехзначных чисел

Теперь займемся вычитанием трехзначных чисел.

Этот пример не требует округления чисел (каждая цифра второго числа как минимум на единицу меньше соответствующих цифр первого), поэтому задача не должна быть слишком сложной. Просто вычитайте по одной цифре за раз, с каждым шагом упрощая задачу.

Теперь рассмотрим задачу на вычитание трехзначных чисел, которая требует округления.

На первый взгляд она кажется довольно сложной. Но если сначала вычесть 600 (747–600 = 147), а потом прибавить 2, то получим 149 (147 + 2 = 149).

Теперь попробуйте сами.

Вначале вы вычли 700 из 853? Если да, то получили 853–700 = 153, не правда ли? Так как вы вычли число, на 8 большее исходного, прибавили ли вы 8, чтобы получить ответ 161?

Теперь я могу признаться, что нам удалось упростить процесс вычитания, потому что вычитаемые числа были почти кратными 100. (Вы заметили?) А как насчет других задач, например такой?

Если вычитать по одной цифре за раз, упрощая каждое действие, то последовательность будет выглядеть так:

А что произойдет, если округлить вычитаемое до 500?

Вычесть 500 легко: 725–500 = 225. Но вы отняли слишком много. Хитрость в том, чтобы точно определить, чему равно это «слишком много».

На первый взгляд, ответ не очевиден. Чтобы найти разницу между 468 и 500. Ответ можно получить с помощью дополнения – ловкого приема, который упростит большинство задач на вычитание трехзначных чисел.

Вычисление дополнений

Быстро скажите, как далеко от 100 эти числа?

Вот ответы:

Обратите внимание, что для каждой пары чисел, сумма которых равна 100, первые цифры (слева) в сумме дают 9, а последние (справа) – 10. Можно сказать, что 43 – это дополнение для 57, 32 – для 68 и так далее.

А сейчас отыщите дополнения к следующим двузначным числам:

Чтобы найти дополнение к числу 37, сначала определите, сколько нужно прибавить к 3, чтобы получить 9. (Ответ – 6.)

Затем выясните, сколько следует добавить к 7 для получения 10. (Ответ – 3.) Следовательно, 63 – дополнение к 37.

Остальные дополнения: 41, 7, 56, 92 соответственно. Обратите внимание, что как матемаг вы ищете дополнения, как и все остальное, слева направо. Как мы уже выяснили, первую цифру увеличиваем до 9, вторую до 10. (Исключение, если числа заканчиваются на 0 – например, 30 + 70 = 100, – но такие дополнения легко вычислить!)

Какая связь между дополнениями и устным вычитанием?

Они позволяют преобразовать сложные примеры на вычитание в простые задачи на сложение. Рассмотрим последнюю задачу, доставившую нам некоторые трудности.

Итак, сначала вычитаем из 725 число 500 вместо 468 и получаем 225 (725–500 = 225). Однако поскольку мы вычли слишком много, нужно выяснить, сколько теперь следует прибавить. Использование дополнений позволяет мгновенно дать ответ. На сколько цифр 468 отстоит от 500? На столько же, насколько 68 отстоит от 100. Если искать дополнение для 68 показанным выше способом, то выйдет 32. Прибавьте 32 к 225 и получите 257.

Попробуйте другую задачу на вычитание трехзначных чисел:

Чтобы подсчитать это в уме, отнимите 300 от 821, выйдет 521. Затем прибавьте дополнение для 59 (то есть 41), получится 562. Весь процесс выглядит следующим образом: