Текст книги "Наука логики"

Автор книги: Георг Вильгельм Фридрих Гегель

сообщить о нарушении

Текущая страница: 16 (всего у книги 63 страниц) [доступный отрывок для чтения: 23 страниц]

Под словом "величина" разумеют, как в данных нами примерах, определенное количество, квант, а не количество [вообще], и главным образом поэтому приходится заимствовать это название из чужого языка 63.

Дефиниция величины, даваемая в математике, касается также определенного количества. Обычно определяют величину как нечто, могущее увеличиваться или уменьшаться. Но увеличивать – значит сделать так, чтобы нечто было более велико, а уменьшать – сделать так, чтобы нечто было менее велико. В этом состоит отличие величины вообще от нее же самой, и величиной было бы, таким образом, то, величина чего может изменяться^. Дефиниция оказывается постольку негодной, поскольку в ней

168

КНИГА I. УЧЕНИЕ О БЫТИИ

основание в его сущности. За эту-то внешность непрерывности для "одних" и цепляется вообще' атомистика, и отказаться от нее представлению очень трудно. – Напротив, математика отвергает ту метафизику, которая полагала, что время состоит из отдельных моментов времени, а пространство вообще или прежде всего линия – из пространственных точек, поверхность – из линий, все пространство – из поверхностей; она не признает таких дискретных "одних". Если она так определяет, например, величину поверхности, что последняя представлена как сумма бесконечно многих линий, то она видит в этой дискретности только представление, которое принимается лишь на мгновение, и в бесконечном множестве линий уже заключена снятость их дискретности, так как пространство, которое они должны составлять, ограниченно.

Спиноза, которому было особенно важно выяснить понятие чистого количества, имеет в виду противоположность этого понятия простому представлению, когда он говорит о количестве следующее: Quantitas duobus modis a nobis concipitur, abstracte scilicet sive superficialiter, prout nempe ipsam imaginamur; vel ut substantia, quod a solo intellectu fit. Si itaque ad quantitatem attendimus, prout in imaginatione est, quod saepe et facilius a nobis fit, reperietur finita, divisibilis et ex partibus conflata, si autem ad ipsam, prout in intellectu est, attendimus, et earn, quatenus substantia est, concipimus, quod difficillime fit, – infinita, mica et indivisibilis reperietur. Quod omnibus, qui inter imaginationem et intellectum distinguere sciverint, satis manifestum erit64.

Если потребуют более определенных примеров чистого количества, то укажем, что таково пространство и время, а также материя вообще, свет и т. д., даже "Я"; только под количеством, как мы уже отметили выше, не следует понимать определенного количества. Пространство, время и т. д. – это протяжения, множества, которые суть выхождение вовне себя, течение, не переходящее, однако, в противоположность, в качество или в "одно", а как выход вовне себя они суть вечное самопродуцирование своего единства.

Пространство – это то абсолютное вовне-себя-бытие, которое точно так же совершенно непрерывно, оно инобытие и снова инобытие, тождественное себе; время – это абсолютное выхождение вовне себя, порождение "одного", момента времени, "теперь", которое есть непосредственно уничтожение самого себя и постоянно возобновляемое уничтожение этого прохождения, так что это самопорождение небытия есть такое же простое равенство и тождество себе.

Что касается материи как количества, то в числе семи теорем, сохранившихся от первой диссертации Лейбница (1-я страница первого тома его сочинения) 65, есть одна (а именно вторая), гласящая: Non omnino improbabile est, materiam et quantitatem

169

РАЗДЕЛ 2. ВЕЛИЧИНА (КОЛИЧЕСТВО)

esse realiter idem 66. – И в самом деле, эти понятия отличаются друг от друга лишь тем, что количество есть чистое определение мысли, а материя это же определение мысли во внешнем существовании. – "Я" (dem Ich) также присуще определение чистого количества, поскольку "Я" есть абсолютное становление иным, некоторое бесконечное отдаление или всестороннее отталкивание к отрицательной свободе для-себя-бытия, однако такое отталкивание, которое остается совершенно простой непрерывностью, непрерывностью всеобщности или у-себя-бытия, не прерываемой бесконечно многообразными границами, содержанием ощущений, созерцаний и т. д. – Что касается тех, кто возражает против понимания множества как простого единства и кто кроме понятия, что каждое из "многих" есть то же самое, что и другое, а именно "одно" из "многих" (поскольку здесь идет речь не о более определенном "многом", о зеленом, красном и т. д., а о "многом", рассматриваемом само по себе), требует еще и представления об этом единстве, то они сколько угодно найдут такого рода представлений в тех непрерывностях, которые дают в простом созерцании дедуцированное понятие количества как имеющееся налицо.

Примечание 2

(Кантовская антиномия ограниченности и неограниченности мира во времени и пространстве]

Мы уже упомянули выше, что кантовские антиномии – это изложения противоположности конечного и бесконечного в более конкретном виде, в применении к более специальным субстратам представления. Рассмотренная там антиномия касалась противоположности между качественной конечностью и бесконечностью. В другой антиномии, а именно в первой из четырех космологических антиномий, рассматривается в большей мере количественная граница в ее противоречиях. Я поэтому подвергну здесь исследованию эту антиномию.

Она касается вопроса о том, ограничен ли или не ограничен мир во времени и пространстве. – Можно было бы с одинаковым успехом рассматривать эту противоположность и в отношении самих времени и пространства, ибо признаем ли мы, что время и пространство суть отношения самих вещей, или же признаем, что они лишь формы созерцания, – это ничего не меняет по отношению к антиномичности приписываемой им ограниченности или неограниченности.

Более подробный разбор этой антиномии покажет также, что оба положения, а равно и доказательства их, которые, как и рассмотренные выше, ведутся от противного, сводятся не к чему иному, как к двум следующим простым, противоположным утверждениям: граница существует и должно переступать границу.

Тезис гласит:

"Мир имеет начало во времени и ограничен также в пространстве".

Одна часть доказательства, та, которая касается времени, принимает противное:

"Допустим, что мир не имеет начала во времени, тогда до всякого данного момента времени протекла вечность и, стало быть, прошел бесконечный ряд следующих друг за другом состояний вещей в мире. Но бесконечность ряда именно в том и состоит, что он никогда не может быть закончен путем последовательного синтеза. Стало быть, бесконечный прошедший мировой ряд невозможен; значит, начало мира есть необходимое условие его существования, что и требовалось доказать" .

Другая часть доказательства, касающаяся пространства, сводится к времени. Синтез частей бесконечного в пространстве мира потребовал бы бесконечного времени, которое должно было бы рассматриваться как протекшее, поскольку мир в пространстве следует рассматривать не как нечто становящееся, а как завершенное данное. Но относительно времени показано в первой части доказательства, что невозможно принимать бесконечное протекшее время.

Однако сразу видно, что не было никакой нужды вести доказательство от противного или даже вообще вести доказательство, так как в нем лежит в основе то, что должно было быть доказано. А именно, в нем принимается некоторый или любой данный момент времени, до которого протекла вечность (вечность имеет здесь лишь ничтожный смысл некоторого дурно-бесконечного времени). Но данный момент времени означает не что иное, как некую определенную границу во времени. В доказательстве, следовательно, подразумевается граница времени как действительная. Но это и есть именно то, что должно было быть доказано. Ведь тезис состоит в том, что мир имеет начало во времени.

[Здесь] имеется лишь та разница, что допущенная граница времени есть некоторое "теперь" как конец протекшего до этого времени, а та граница, наличие которой требуется доказать, есть "теперь" как начало некоторого будущего. Но эта разница несущественна. "Теперь" принимается как точка, в которой прошел бесконечный ряд следующих друг за другом состояний вещей в мире, следовательно, как конец, как качественная граница. Если бы это "теперь" рассматривалось лишь как количественная граница, которая текуча и которую не только должно переступить, но которая скорее и состоит лишь в том, что она переступает самое себя, то оказалось бы, что бесконечный временной ряд в ней не прошел, а продолжает идти, и рассуждение доказательства отпало бы. Напротив, [в кантовском доказательстве] момент времени принят как качественная граница для прошлого, но в то же время он начало для будущего, – ибо сам по себе каждый момент времени есть соотношение прошлого и будущего, – он равным образом есть абсолютное, т. е. абстрактное начало для будущего, т. е. то, что должно было быть доказано. Дело отнюдь не меняется от того, что до будущего указанного момента времени и до начала этого будущего имеется уже некоторое прошлое; так как этот момент времени есть качественная граница – а необходимость принимать его за качественную границу вытекает из определения завершенного, протекшего, следовательно, не продолжающегося, – то время в нем прервано и это прошлое оказывается лишенным соотношения с тем временем, которое могло быть названо будущим лишь в отношении этого прошедшего и которое поэтому без такого соотношения есть лишь время вообще, имеющее абсолютное начало. Но если бы оно – как это в самом деле и есть-через "теперь", через данный момент времени находилось в соотношении с прошедшим, если бы оно, следовательно, было определено как будущее, то, с другой стороны, и этот момент времени не был бы границей, бесконечный временной ряд продолжался бы в том, что называлось будущим, и не был бы, как это приняло [доказательство], завершен.

На самом деле время есть чистое количество; используемый в доказательстве "момент времени", в котором время якобы прерывается, есть скорее лишь снимающее себя для-себя-бытие самого "теперь". Доказательство делает лишь одно: утверждаемую тезисом абсолютную границу времени оно представляет как некий данный момент времени и прямо принимает, что он завершен, т. е. что он есть абстрактная точка; это – общепринятое определение, которое чувственное представление легко принимает за границу, вследствие чего в доказательстве признается как допущение то, что до этого было приведено как требующее доказательства.

Антитезис гласит:

"Мир не имеет начала [во времени] и границ в пространстве; он бесконечен и во времени, и в пространстве".

Доказательство антитезиса также исходит из допущения противного:

"Допустим, что мир имеет начало [во времени]. Так как начало есть существование, которому предшествует время, когда вещи не было, то когда-то должно было существовать время, в котором мира не было, т. е. пустое время. Но в пустом времени невозможно возникновение какой бы то ни было вещи, так как ни одна часть такого времени в сравнении с другой частью не заключает в себе условия существования, отличного от условия несуществования. Поэтому хотя некоторые ряды вещей и могут иметь начало в мире, но сам мир не может иметь начала и, [следовательно], в отношении прошедшего времени бесконечен"

Это доказательство от противного, как и другие, прямо и бездоказательно утверждает то, что оно должно было доказать. А именно оно принимает сначала некое потустороннее наличного бытия мира, пустое время, но затем продолжает точно так же и наличное бытие мира, выводя его за его пределы в это пустое время, тем самым снимает это время и, следовательно, продолжает наличное бытие до бесконечности. Мир есть некоторое наличное бытие; доказательство подразумевает, что это наличное

бытие возникает и что возникновение имеет предшествующее [ему] во времени условие. Но сам антитезис в том именно и состоит, что нет никакого безусловного наличного бытия, никакой абсолютной границы и что наличное бытие мира всегда требует некоторого предшествующего условия. Стало быть, то, что подлежит доказательству, находится в доказательстве как допущение. Далее, доказательство ищет затем условия в пустом времени, а это означает, что условие принимается как имеющее временный характер и, следовательно, как наличное бытие и как нечто ограниченное. Стало быть, вообще принимается, что мир как наличное бытие предполагает другое обусловленное наличное бытие во времени и т. д. до бесконечности.

Доказательство бесконечности мира в пространстве таково же. В виде доказательства от противного принимается пространственная конечность мира: "В таком случае он находится в пустом неограниченном пространстве и имел бы некоторое отношение к нему; но такое отношение мира к несуществующему предмету есть ничто".

И здесь в доказательстве прямо берется в качестве предпосылки то, что требуется доказать. [Здесь] прямо принимается, что ограниченный пространственный мир находится в пустом пространстве и имеет к нему некоторое отношение, т. е. что, с одной стороны, необходимо выходить за пределы этого мира, в пустоту, в потустороннее мира и небытие этого мира, но, с другой стороны, этот мир находится в отношении с пустым пространством, т. е. имеет в нем продолжение, и, следовательно, дблжно представлять себе потустороннее как наполненное наличное бытие мира. Бесконечность мира в пространстве, провозглашаемая антитезисом, есть не что иное, как, с одной стороны, пустое пространство и, с другой, отношение мира к нему, т. е. продолжение мира в нем, наполнение его. Это противоречие – предположение, что пространство одновременно и пусто и наполнено, – есть бесконечный прогресс наличного бытия в пространстве. Само это противоречие, отношение мира к пустому пространству, прямо кладется в основу доказательства.

Поэтому тезис и антитезис и доказательства их не что иное, как противоположные утверждения, что имеется некоторая граница и что она вместе с тем лишь снятая граница; что граница имеет нечто потустороннее, с чем, однако, она находится в соотношении и куда необходимо выходить, переступая ее, но где снова возникает такая граница, которая не есть граница.

Разрешение этих антиномий, как и предыдущих, трансцендентально, т. е. оно состоит в утверждении, что пространство и время как формы созерцания идеальны в том смысле, что мир в самом себе не находится в противоречии с собой, не снимает себя; лишь сознание в своем созерцании и в соотношении созерцания с рассудком и разумом есть противоречащая самой себе сущность. Это слишком большая нежность по отношению к миру – удалить из него противоречие, перенести, напротив, это противоречие в дух, в разум и оставить его там неразрешенным. В самом же деле дух столь силен, что может переносить противоречие, но он же и умеет разрешать его. Это, однако, вовсе не значит, что так называемый мир (как бы его ни именовали – объективным ли, реальным миром или, согласно трансцендентальному идеализму, субъективным созерцанием и чувственностью, определяемой категориями рассудка) свободен хоть где-нибудь от противоречия, но он не в состоянии выносить его и потому подвержен возникновению и прохождению.

с) Бесконечность определенного количества (Die Unendlichkeit des Quantum)

1. Бесконечное определенное количество как бесконечно большое или бесконечно малое само есть в себе бесконечный прогресс;

оно определенное количество как некоторое большое или малое и в то же время небытие определенного количества. Бесконечно большое и бесконечно малое суть поэтому образы представления, которые при более внимательном рассмотрении оказываются ничтожным туманом и тенью. Но в бесконечном прогрессе это противоречие имеется в ясном виде, и тем самым имеется в ясном виде то, что составляет природу определенного количества, которое достигло своей реальности как интенсивная величина и теперь положено в своем наличном бытии таким, каково оно в своем понятии. Это тождество мы теперь и должны рассмотреть.

Определенное количество как градус просто, оно соотнесено с собой и определено как [находящееся] в самом себе. Так как благодаря этой простоте инобытие и определенность сняты в нем, то определенность внешняя ему; оно имеет свою определенность вовне себя. Это его вовне-себя-бытие есть прежде всего абстрактное небытие определенного количества вообще, дурная бес^ конечность. Но это небытие обладает, далее, и некоторой величиной; определенное количество непрерывно переходит в свое небытие, ибо имеет свою определенность как раз в своей внешности; эта его внешность точно так же есть поэтому определенное количество; таким образом, указанное его небытие, бесконечность, ограничивается, т. е. потустороннее снимается, оно само определено как определенное количество, которое, следовательно, в своем отрицании находится у самого себя.

Но это как раз то, что определенное количество, как таковое, есть в себе. Ибо оно есть оно же само благодаря своему вовне-себя-бытию; внешность составляет то, благодаря чему оно определенное количество, находится у себя. Следовательно, в бесконечном прогрессе понятие определенного количества положено.

Если мы возьмем бесконечный прогресс сначала в его абстрактных определениях, как они представлены нам, то увидим, что в нем снято определенное количество, но снято также его потустороннее, имеется, следовательно, и отрицание определенного количества, и отрицание этого отрицания. Его истина – это их единство, в котором они даны, однако, как моменты. – Это единство есть разрешение противоречия, выражением которого служит бесконечный прогресс; поэтому ближайший смысл единства восстановление понятия величины, заключающегося в том, что она безразличная или внешняя граница. Когда говорят о бесконечном прогрессе, как таковом, то обычно обращают внимание только на то, что каждое определенное количество, как бы оно ни было велико или мало, может исчезать, что должна быть возможность выходить за его пределы, но не на то, что само это его снятие, потустороннее, дурная бесконечность, также исчезает.

Уже первое снятие, отрицание качества вообще, благодаря которому полагается определенное количество, есть в себе снятие отрицания, определенное количество есть снятая качественная граница, следовательно, снятое отрицание, – но в то же время оно таково лишь в себе; положено же оно как наличное бытие, а затем его отрицание фиксировано как бесконечное, как потустороннее определенного количества, которое остается по ею сторону как нечто непосредственное', таким образом, бесконечное определено лишь как первое отрицание, и таковым оно выступает в бесконечном прогрессе. Но мы уже показали, что в бесконечном прогрессе имеется нечто большее, имеется отрицание отрицания, или то, что бесконечное есть поистине. Ранее мы это рассматривали так, что тем самым восстановлено понятие определенного количества; это восстановление означает прежде всего, что его наличное бытие получило свое более точное определение, а именно возникло определенное количество, определенное в соответствии со своим понятием и отличное от непосредственного определенного количества; внешность есть теперь противоположность самой себе, положена как момент самой величины, – возникло определенное количество, взятое так, что оно посредством своего небытия, бесконечности, имеет свою определенность в другом определенном количестве, т. е. есть качественно то, что оно есть. Однако это сравнение понятия определенного количества с его наличным бытием свойственно больше нашей рефлексии – отношению, которого здесь еще нет. Ближайшее определение таково: определенное количество возвращено к качеству, определено отныне качественно. Ибо его особенность, его качество – это внешность, безразличие определенности, и оно теперь положено как то, что в своей внешности есть скорее оно же само, соотносится в ней с самим собой, определено в простом единстве с собой, т. е. качественно. – Это качественное определено еще более точно, а именно как для-себя-бытие, ибо соотношение с самим собой, к которому оно пришло, появилось из опосредствования, из отрицания отрицания. Определенное количество имеет бесконечность, для-себя-определенность уже не вовне себя, а в самом себе.

Бесконечное, имеющее в бесконечном прогрессе лишь ничтожное значение небытия, недостигнутого, но искомого потустороннего, есть на самом деле не что иное, как качество. Определенное количество как безразличная граница переступает само себя в бесконечность; тем самым оно не ищет ничего иного, кроме для-себя-определенности, качественного момента, который, однако, таким образом есть лишь долженствование. Его безразличие к границе, следовательно, отсутствие у него для-себя-сущей определенности и его выхождение за само себя есть то, что делает определенное количество определенным количеством; это его выхождение должно подвергнуться отрицанию и найти себе в бесконечном свою абсолютную определенность.

В самом общем виде: определенное количество – это само снятое качество; но определенное количество бесконечно, выходит за свои пределы, оно отрицание себя; это его выхождение есть, следовательно, в себе отрицание подвергнутого отрицанию качества, восстановление его; и положено именно то, что внешность, выступавшая как потустороннее, определена как собственный момент определенного количества.

Определенное количество этим положено как оттолкнутое от себя, вследствие чего, стало быть, имеются два определенных количества, которые, однако, сняты, даны лишь как моменты одного единства, и это единство есть определенность определенного количества. – Последнее, соотнесенное, таким образом, в своей внешности с собой как безразличная граница и, следовательно, положенное качественно, есть количественное отношение. – В самом отношении определенное количество внешне себе, отлично от самого себя; эта его внешность есть соотношение одного определенного количества с другим определенным количеством, каждое из которых значимо лишь в этом своем соотношении со своим иным; и это соотношение составляет определенность определенного количества, данного как такое единство. Определенное количество имеет в нем не безразличное, а качественное определение, в этой своей внешности возвратилось в себя, есть в ней то, что оно есть.

Примечание 1

Определенность понятия математического бесконечного

Математическое бесконечное интересно, с одной стороны, ввиду расширения [сферы] математики и ввиду великих результатов, достигнутых благодаря введению его в математику; с Другой же стороны, оно достойно внимания по той причине, что этой науке еще не удалось посредством понятия (понятия в собственном смысле) обосновать правомерность его применения. Все обоснования зиждутся в конечном счете на правильности результатов, получающихся при помощи этого определения, правильности, доказанной из других оснований, но не на ясности предмета и действий, благодаря которым достигнуты эти результаты; более того: признается даже, что сами эти действия неправильны.

Это уже само по себе недостаток; такой образ действия ненаучен. Но он влечет за собой еще и тот вред, что математика, не зная природы этого своего орудия из-за того, что не справилась с его метафизикой и критикой, не могла определить сферу его применения и предохранить себя от злоупотребления им.

В философском же отношении математическое бесконечное важно потому, что в его основе действительно лежит понятие истинного бесконечного и оно куда выше, чем обычно называемое так метафизическое бесконечное, исходя из которого выдвигаются против него возражения. От этих возражений математическая наука часто умеет спасаться лишь тем, что она отвергает компетенцию метафизики, утверждая, что ей нет дела до этой науки, что ей нечего заботиться о ее понятиях, если только она действует последовательно на своей собственной почве. Она-де должна рассматривать не то, что истинно в себе, а то, что истинно в ее области. При всех своих возражениях против математического бесконечного метафизика не может отрицать или опровергнуть блестящие результаты, которые дало его применение, а математика не в состоянии точно выяснить метафизику своего собственного понятия, а потому не в состоянии также и дать основание (Ableitung) тех приемов, которые делает необходимыми применение бесконечного.

Если бы над математикой тяготело одно лишь затруднение, причиняемое понятием вообще, то она могла бы без околичностей оставить его в стороне, поскольку именно понятие есть нечто большее, чем только указание сущностных определенностей, т. е. рассудочных определений той или иной вещи, а упрекнуть математику в недостаточной строгости этих определенностей никак нельзя; [она могла бы оставить в стороне это затруднение], ибо не принадлежит к тем наукам, которые должны иметь дело с понятиями своих предметов и образовать свое содержание через развитие понятия, хотя бы только путем резонерства. Но применяя метод своего бесконечного, она находит главное противоречие в самбм характерном для нее методе, на котором она вообще основывается как наука. Ибо исчисление бесконечного разрешает и требует таких приемов, которые она должна отвергать, оперируя конечными величинами, и в то же время она обращается со своими бесконечными величинами как с конечными определенными количествами и хочет применять к первым те же приемы, которые применяются к последним. Очень важно для развития этой науки то, что она нашла для трансцендентных определений и действий над ними форму обычного исчисления (Kalkuls).

При всей этой противоречивости своих действий математика показывает, что результаты, которые она получает посредством их, вполне совпадают с теми, которые она получает с помощью собственно математического метода, геометрического и аналитического метода. Однако, с одной стороны, это касается не всех результатов, и цель введения [математического] бесконечного не только сокращение обычного пути, а достижение результатов, которых последний дать не может. С другой же стороны, успех сам по себе не может служить оправданием характера пути (die Manier des Wegs). А этот характер исчисления бесконечного отягощен видимостью неточности, которую он сам себе придает, увеличивая конечные величины на бесконечно малую величину и отчасти сохраняя эту последнюю в дальнейших действиях, отчасти же и пренебрегая ею. Этот прием заключает в себе ту странность, что, несмотря на признаваемую неточность, получается результат, который не только довольно точен и столь близок [к истинному результату ], что можно не обращать внимания на разницу, но и совершенно точен. В самом же действии, предшествующем результату, нельзя обойтись без представления, что некоторые величины не равны нулю, но они столь незначительны, что их можно оставить без внимания. Однако в том, что понимают под математической определенностью, совершенно отпадает всякое различие между большей или меньшей точностью, подобно тому как в философии может идти речь не о большей или меньшей вероятности, а единственно лишь об истине. Если метод и применение бесконечного и находят оправдание в успехе, то все же требовать их обоснования не так излишне, как представляется излишним, например, требование доказать право пользоваться собственным носом. Ведь в математическом познании как познании научном существенное значение имеет доказательство, а в отношении получаемых результатов также оказывается, что строго математический метод не для всех их доставляет аргумент успеха, который к тому же есть лишь внешний аргумент.

Стоит рассмотреть более внимательно математическое понятие бесконечного и наиболее замечательные попытки, которые ставят себе целью найти оправдание в пользовании им и устранить затруднение, отягчающее метод. Рассмотрение таких оправданий и определений математического бесконечного, которые я намерен изложить в этом примечании более пространно, бросит в то же время наиболее яркий свет и на самое природу истинного понятия и покажет, как оно представлялось и легло в основу этих попыток.

Обычное определение математического бесконечного гласит, что оно есть величина, больше которой, если она определена как бесконечно большая, или меньше которой, если она определена как бесконечно малая, уже нет или – в другой формулировке – как величина, которая в первом случае больше, а во втором меньше любой другой величины. – В этой дефиниции выражено, конечно, не истинное понятие, а скорее, как уже отмечено, лишь то же противоречие, что и в бесконечном прогрессе. Но посмотрим, что содержится в ней в себе. Величина определяется в математике как то, что может быть увеличено или уменьшено, следовательно, вообще как безразличная граница. И вот, так как бесконечно большое или бесконечно малое есть нечто такое, что уже больше не может быть увеличено или уменьшено, то оно на самом деле уже не определенное количество, как таковое.

Этот вывод необходим и непосредствен. Но именно это соображение, что определенное количество, – а я называю в этом примечании определенным количеством вообще то, чтб оно есть, [а именно ] конечное определенное количество, – снято, обычно не приходит на ум, а между тем оно-то и составляет затруднение для обыденного понимания, так как требуется, чтобы определенное количество, когда оно бесконечно, мыслилось как нечто снятое, как нечто такое, что не есть определенное количество, но количественная определенность чего все же сохраняется.

Если обратимся к тому, как относится к этому определению Кант *, то увидим, что он его находит несогласующимся с тем, что понимают под бесконечным целым. "Согласно обыденному понятию бесконечна та величина, больше которой (т. е. больше определенного множества содержащихся в ней данных единиц) невозможна никакая другая величина. Но никакое множество не может быть наибольшим, так как ко всякому множеству можно прибавить еще одну или несколько единиц. Бесконечное целое не дает нам представления о том, как оно велико, стало быть, понятие его не есть понятие максимума (или минимума): посредством него мыслится только его отношение к любой полагаемой единице, для которой бесконечное целое больше всякого числа. В зависимости от того, взяли ли мы большую или меньшую единицу, бесконечное было бы большим или меньшим, но бесконечность, так как она состоит лишь в отношении к этой данной единице, оставалась бы одной и той же, хотя, конечно, абсолютная величина целого вовсе не была бы таким образом познана".

Кант отвергает признание бесконечного целого некоторым максимумом, завершенным множеством данных единиц. Максимум или минимум, как таковой, все еще представляется определенным количеством, множеством. Таким представлением не может быть отклонено указанное Кантом заключение, которое приводит к большему или меньшему бесконечному. Вообще, когда бесконечное представляют как определенное количество, для него сохраняет значение различие большего или меньшего. Но эта критика не затрагивает понятия истинного математического бесконечного, бесконечной разности, ибо последняя уже не конечное определенное количество.