Текст книги "Нестандартные задачи по математике в 3 классе"

Автор книги: Г. Левитас

сообщить о нарушении

Текущая страница: 2 (всего у книги 4 страниц)

Ответ: 5.

Задача 50. Илья стоит в хороводе. 5-й слева от Ильи тот же, что и 7-й справа. Сколько людей в хороводе, если их меньше 10?

Условия, данные в задаче, осуществимы, только если в число людей, стоящих между Ильей и еще одним, например Жорой, засчитывается Илья и, быть может, также и Жора. Это получится, если в хороводе 4 человека:

Их могло бы быть и двое, но двое – не хоровод.

Ответ: 4.

Задача 51. В день рождения Оли мама разложила на блюде пирожные в форме креста и сказала Оле: «Вот видишь, если считать пирожные с левого, верхнего или правого конца до низу, всегда получается восемь пирожных – как раз столько, сколько тебе исполнилось лет». Мама ушла готовить салат. А Оля подумала, что можно съесть несколько пирожных и так разложить оставшиеся, что мамино правило их счета будет выполняться, что же придумала Оля?

Оля уменьшила перекладину креста и увеличила нижний конец на столько же пирожных.

Ответ виден на рисунке.

Задача 52. Пятеро друзей обменялись фотографиями. Сколько для этого понадобилось фотографий?

Каждый должен подарить по четыре фотографии; значит, всего понадобится 4 · 5 = 20 фотографий. (Другой способ рассуждения: каждый должен получить по четыре фотографии; значит, всего понадобится 4 · 5 = 20 фотографий.)

Ответ: 20 фотографий.

Задача 53. В стакане чая растворили 10 г сахара. Маша выпила полстакана. Сколько сахара выпила Маша?

Так как сахар растворен в стакане, то можно считать, что в равных количествах чая содержится равное количество сахара. Поэтому в половине стакана содержится половина всего сахара, то есть 5 г.

Ответ: 5 г.

Задача 54. Какое число в задаче на вычисление пропущено: (483 – 23): __ – 5200: 26?

Во-первых, должно быть осуществимо деление числа 483 – 23 = 460 на пропущенное число, а во-вторых, результат этого деления должен быть не меньше, чем число 5200: 26 = 200.

Ответ: 1 или 2.

Задача 55. Имеются 5 монет. Три из них имеют массу по 10 г каждая. Об остальных двух монетах известно, что они имеют одинаковую массу, а на вид не отличаются от 10-граммовых. Как двумя взвешиваниями на чашечных весах без гирь найти хотя бы одну монету в 10 г?

Надо сравнить массы любых двух монет. Потом надо сравнить массы еще двух монет. Если в обоих случаях весы уравновесились или в обоих случаях не уравновесились, то пятая монета – 10-граммовая. Если в одном из случаев весы уравновесились, а в другом не уравновесились, то уравновесившиеся монеты – 10-граммовые.

Ответ: Надо сравнивать массы монет, кладя на каждую чашу весов по одной монете.

Задача 56. Перерисуй по клеткам угол АВС:

Задача 57. Какими двумя цифрами оканчивается выражение 2539 + 4873 + 2965 + 8427 + 6461?

Крайние слагаемые дают число, делящееся на 100, также и вторые от концов. Значит, сумма оканчивается на 65.

Ответ: 65.

Задача 58. Компьютер написал все числа от 1 до 1000. Сколько цифр написал компьютер?

9 однозначных чисел написано 9 цифрами, 90 двузначных написано 180 цифрами, 900 трехзначных 2700 цифрами, число 1000 – четырьмя цифрами, итого 2893 цифры.

Ответ: 2893.

Задача 59. Разместить числа от 0 до 8 в клетках квадрата, чтобы суммы чисел по всем горизонталям, вертикалям и диагоналям равнялись между собой. Почему число 4 должно стоять в центре квадрата?

Первая часть задачи может быть решена подбором. Но еще лучше решить ее с помощью рассуждений, как это сделано здесь.

1) Найдем сумму всех чисел от 0 до 8. Она равна 36.

2) Найдем сумму чисел в каждом из трех столбцов (или, что то же, в каждой из трех строк или в каждой из двух диагоналей). Она равна 36: 3 = 12.

3) Выпишем все тройки чисел от 1 до 8, дающие в сумме 12:

0 + 4 + 8 = 0 + 5 + 7 = 1 + 3 + 8 = 1 + 4 + 7 = 1 + 5 + 6 = 2 + 3 + 7 = 2 + 4 + 6 = 3 + 4 + 5.

4) В центр поместим число, имеющееся в четырех таких тройках. Это число 4:

5) В один из углов поместим число, имеющееся в трех таких тройках. Это, например, число 1:

6) Заполним еще один угол так, чтобы сумма чисел в диагонали равнялась 12:

7) Заполним еще один угол любым из оставшихся чисел, входящих в три тройки (например, числом 5):

8) Закончим работу, следя за тем, чтобы каждая сумма в строках, столбцах и диагоналях равнялась 12.

Ответ: Один из возможных квадратов:

Число 4 должно стоять в центре, так как это единственное число, входящее в четыре тройки, дающие в сумме 12, а центральная клетка входит в один столбец, в одну строку и в две диагонали, то есть участвует в четырех суммах.

Задача 60. Какое число пропущено в следующем равенстве?

(___– 254) · (585 + 2) = 0.

Так как произведение двух множителей равно нулю, то один из множителей должен быть равен нулю, но второй множитель не равен нулю, значит, равен нулю первый множитель. Получается, что ___ – 254 = 0, а значит, пропущено число 254.

Ответ: 254.

Задача 61. 1 февраля 1900 г. была пятница. Каким днем недели было 1 марта 1900 г.?

В данной задаче нужно выяснить:

1) сколько дней прошло с 1 февраля 1900 г. до 1 марта 1900 г. (так как 1900 г. в григорианском календаре был невисокосным, то в феврале было 28 дней; заметим, что, в отличие от юлианского календаря («старого стиля») в григорианском календаре годы, оканчивающиеся двумя нулями являются високосными лишь в том случае, если они делятся на 400: 1800 и 1900 – невисокосные, а 2000, 1600 и 2400 – високосные);

2) каким днем является день «пятница + 28 дней» (так как 28 дней – это ровно 4 недели, то «пятница + 28 дней» – снова пятница).

Ответ: 1 марта 1900 г была пятница.

Задача 62. Пятеро друзей обменялись рукопожатиями. Сколько произошло рукопожатий?

Каждый должен сделать по четыре рукопожатия; значит, всего, как будто бы, получится 4 · 5 = 20 рукопожатий. Однако, при таком подсчете каждое рукопожатие учитывается два раза: ведь в одном рукопожатии участвуют двое. Поэтому на самом деле рукопожатий вдвое меньше: 4 · 5: 2 = 10.

В правильности такого решения можно убедиться, сделав к задаче чертеж:

Каждый из друзей обозначается на нем точкой. Точек пять. А рукопожатие обозначается отрезком, соединяющим две точки. Так отрезок АВ на этом чертеже обозначает, что друзья А и В пожали друг другу руку. Видно, что отрезков всего 10.

Еще лучше – представить задачу в явном виде. К доске вызываются пять учеников и судья. Первый ученик пожимает остальным руки. Судья записывает число произведенных рукопожатий: 4. Сделавший все рукопожатия садится на свое место. Остаются у доски четверо. Один из них пожимает руки остальным и садится на место. Судья записывает: 3. Можно переспросить у садящегося на место, всем ли он пожал руки или только трем ученикам. Он ответит, что всем: самый первый пожал ему руку еще раньше. Следующему остается пожать две руки, следующему – только одну. А самый последний не должен пожимать руку никому, так как все уже пожали ему руку. Судья записал: 4, 3, 2, 1. Сложив эти числа, получаем общее число рукопожатий: 10.

Ответ: 10.

Задача 63. В кастрюле сварили 2 л супа, положив в него 15 г соли. Сколько соли окажется в одной тарелке, если в нее налить 400 г супа?

Так как соль растворена в супе, то можно считать, что в равных количествах супа содержатся равные количества соли. Чтобы решить задачу, нужно вычислить, какую часть всего супа составляет одна тарелка. Можно считать, что 2 л супа имеют массу 2 кг, а потому в первом действии следует разделить 2 кг на 400 г.

2 кг: 400 г = 2000 г: 400 г = 5,

поэтому одна тарелка составляет одну пятую часть кастрюли. Значит, и соли в тарелке одна пятая часть, то есть 15 г: 5 = 3 г.

Ответ: 3 г.

Задача 64. Компьютер выписал подряд все натуральные числа от 1 до 1000. Какая цифра оказалась на тысячном месте?

Сначала было написано девять однозначных чисел 9 цифрами, потом еще девяносто двузначных чисел 180 цифрами:

Итого после написания всех чисел от 1 до 99 было написано 189 цифр. От 1 до 999 было написано 2889 цифр. Значит, тысячная цифра содержалась в трехзначном числе. Первое трехзначное число содержало с 190-й по 192-ю цифру. Чтобы добраться до тысячной цифры надо написать 1000 – 189 = 811 цифр, начиная с числа 100. На каждое число уходит 3 цифры. Значит, нужно написать 811: 3 = 270 полных чисел и еще одну цифру. 270-е число после числа 99 – это число 371. Тысячная цифра – первая цифра числа 372.

Ответ:3.

Задача 65. Среди девяти монет одна фальшивая. Она не отличается от настоящей монеты по виду, но немножко легче настоящей монеты. У нас имеются чашечные весы без гирь. Как двумя взвешиваниями установить, какая монета фальшивая?

Смотри задачу 45.

Задача 66. Сумма трех различных чисел равна их произведению. Что это за числа?

Осуществляется подбором. 1 + 2 + 3 = 1 – 2 – 3 = 6.

Ответ: 1, 2 и 3.

Задача 67. Какими двумя цифрами оканчивается выражение 79 · 25 83 · 16 – 43288?

Уменьшаемое является произведением, содержащим множитель 25 и множитель 16, а значит, делится на 100. Значит, уменьшаемое оканчивается двумя нулями, а все выражение – цифрами 12.

Ответ: 12.

Задача 68. Попытайся понять, как составлена эта последовательность, и продолжи ее: 2, 20, 40, 400, 800.

Второе число получается из первого умножением на 10, третье из второго – умножением на 2, далее снова умножением на 10 и т. д. Можно и дальше действовать так же, чередуя умножение на 10 и на 2.

Ответ: 2, 20, 40, 400, 800, 8000, 16000…

Задача 69. Часы отбивают каждый час столько ударов, сколько они показывают часов, а каждые полчаса – один удар. Сколько ударов сделают они с часу дня до двенадцати часов ночи?

(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12) + 11.

Ответ: 89.

Задача 70. Расшифруй фразу, зашифрованную шифром Юлия Цезаря: ТСЕХСУЗРЯЗ – ПГХЯ ЦЪЗРЯВ.

Решение получается из рисунка:

Ответ: ПОВТОРЕНЬЕ – МАТЬ УЧЕНЬЯ.

Задача 71. Размести числа от 1 до 9 в клетках квадрата, чтобы суммы чисел по всем горизонталям, вертикалям и диагоналям равнялись между собой. Почему число 3 не может стоять в угловой клетке?

Смотри задачу 59.

Ответ: Один из возможных квадратов:

Число 3 не может стоять в угловой клетке, так как 3 входит только в две тройки, дающие в сумме 15 (3 + 4 + 8 и З + 5 + 7), а угловая клетка входит в один столбец, в одну строку и в одну диагональ, то есть участвует в трех суммах.

Задача 72. В концерте решено исполнить произведения Глинки для симфонического оркестра: Вальс-фантазию, Арагонскую хоту, Камаринскую и «Ночь в Мадриде». Сколькими способами можно установить порядок их исполнения?

На первое место можно поставить любое из четырех произведений, на второе – любое из трех оставшихся. Значит, выбор первых двух произведений можно осуществить 12 способами. В любом из этих способов третьим можно поставить любое из двух оставшихся произведений. Так что первые три произведения можно назвать 24 способами. Теперь последнее произведение определяется однозначно – это то, которое не названо среди первых трех. Значит, всего можно определить порядок следования произведений 24 способами. Кратко это решение можно высказать так: первым может быть исполнено любое из четырех музыкальных произведений, вторым – любое из трех оставшихся, третьим – любое из двух оставшихся, четвертым – одно оставшееся; значит, всего таких программ 4 · 3 · 2 · 1 = 24.

Задача 73. 6 котов за 6 минут съедают 6 мышей. Сколько понадобится котов, чтобы за 100 минут съесть 100 мышей?

Обычный ответ: «100 котов» – неверен. Правильный ответ: «6 котов». Чтобы это понять, полезно себе представить 6 котов как единую «бригаду», которая за 6 минут съедает 6 мышей, а значит, в 1 минуту съедает 1 мышь. Но тогда она съест 100 мышей за 100 минут, что и требуется.

Ответ: 6.

Задача 74. Сколько разломов придется сделать, чтобы разломать эту шоколадку на отдельные кусочки?

Скорее всего, дети будут подсчитывать число разломов при некотором выборе порядка действий. Например, двумя разломами разделить шоколадку на три полоски, а потом каждую полоску шестью разломами разделить на отдельные 7 кусочков:

Получается 2 + 6 · 3 = 20 разломов. Или сначала шестью разломами разделить шоколадку на семь полосок по 3 куска в каждом, а потом двумя разломами разделить каждую полоску на отдельные кусочки:

Получается 6 + 2 · 7 = 20 разломов. Но нужно объяснить, что способов разлома существует много (сколько? – отдельная задача!). Возможен такой вариант:

А во-вторых, не странно ли совпадение ответов? В любом случае получится 20 разломов потому, что первоначально мы имеем 1 (большой) кусок шоколада, а в конце должны получить 21 (маленький) кусочек. А каждый разлом увеличивает число кусков на 1. Первый разлом – два куска, второй – три, и так далее. Двадцатый разлом – 21 кусок.

Ответ: 20.

Задача 75. 6 человек стоят у лифта 7-этажного дома. Они живут на разных этажах, от 2 до 7. Лифтер хочет доехать до одного какого-нибудь этажа, а там пусть идут пешком. Спуститься на один этаж – неудовольствие, подняться на один этаж – двойное неудовольствие. На каком этаже надо остановить лифт, чтобы сумма неудовольствий была наименьшей?

Смотри решение задачи 29. Если лифт остановится на этаже не ниже 4, то жилец 3 этажа должен идти пешком. Сумма неудовольствий при остановке на 6 этаже минимальна – равна 10 (два для жильца 2 этажа, три для жильца 3 этажа, два для жильца 4 этажа, одно для жильца 5 этажа и два для жильца 7 этажа). Желательно составить таблицу, аналогичную той, что дана в задаче 29. При остановке лифта на 7 этаже можно заставить жильца 3 этажа идти пешком для экономии электроэнергии.

Ответ: На 6 этаже.

Задача 76. Перерисуй по клеткам угол АВС.

Задача 77. Какими двумя цифрами оканчивается выражение

3573 · 3574 · 3575 · 3578 – 3579.

Уменьшаемое содержит множитель 3575, делящийся на 25, и множители 3574 и 3578, делящиеся на 2. Значит, уменьшаемое делится на 100, а все выражение оканчивается на 21.

Ответ: На 21.

Задача 78. Два кладоискателя хотят разделить добычу поровну, чтобы никто не мог сказать, что его обманули при дележе. У них нет никаких средств для измерения добычи или ее частей, кроме собственного глазомера. Как им быть?

Ответ: Один делит на две равные (по его мнению) части, а другой выбирает ту часть, которая ему больше нравится.

Задача 79. В классе все дети изучают английский и французский языки. Из них 17 человек изучают английский, 15 человек – французский, а 8 человек изучают оба языка одновременно. Сколько учеников в классе?

Нарисуем два пересекающиеся круга:

Левый пусть обозначает изучающих английский, правый – изучающих французский. А в общей части будут те, кто изучает оба языка. По условию, в центральной части находятся 8 учеников. Значит, в левой части их 17 – 8 = 9, а в правой части их 15 – 8 = 7. Итого в классе 9 + 8 + 7 = 24 человека.

По вопросам эта задача решается так.

1) Сколько учеников изучает только английский? 17 – 8 = 9.

2) Сколько учеников изучает только французский? 15 – 8 = 7.

3) Сколько учеников в классе? 9 + 7 + 8 = 24.

Ответ: 24.

Задача 80. Какое число пропущено в следующем равенстве?

357 · (285 + 851) = 357 · 285 +___ · 851.

По распределительному свойству умножения, 357 · (285 + 851) = 357 · 285 + 357 · 851

Ответ: 375

Задача 81. 1 сентября 2001 г. – суббота. Какой день недели – 1 октября 2001 г.?

В данной задаче нужно выяснить:

1) сколько дней прошло с 1 сентября 2001 г. до 1 октября 2001 г. (так как в сентябре 30 дней, то с 1 сентября 2001 г. до 1 октября 2001 г. прошло 30 дней);

2) каким днем является день «суббота + 30 дней» (так как 28 дней – это ровно 4 недели, то «суббота + 28 дней» – снова суббота, а «суббота + 30 дней» – понедельник).

Ответ: 1 октября 2001 г был понедельник.

Задача 82. Пианист решил исполнить в концерте четыре сонаты Бетховена: Аврору, Апассионату, Лунную и Патетическую. Концерт должен состоять их двух отделений. Сколькими способами можно распределить эти произведения по отделениям (по две сонаты в каждом)?

Решение ясно из списка:

1 отделение: Аврора, Апассионата; 2 отделение: Лунная, Патетическая.

1 отделение: Аврора, Лунная; 2 отделение: Апассионата, Патетическая.

1 отделение: Аврора, Патетическая; 2 отделение: Апассионата, Лунная.

1 отделение: Апассионата, Лунная; 2 отделение: Патетическая, Аврора.

1 отделение: Апассионата, Патетическая; 2 отделение: Лунная, Аврора.

1 отделение: Лунная, Патетическая; 2 отделение: Апассионата, Аврора.

Другой способ решения выглядит так. В первое отделение нужно включить две сонаты, тогда второе отделение сформируется автоматически. Выбрать первую сонату можно четырьмя способами, вторую – тремя оставшимися. Значит, если учитывать порядок исполнения сонат внутри отделения, то существует 4 · 3 = 12 способов определения программы первого отделения. А так как порядок следования их мы определять не должны, то первое отделение (а значит, и второе) определяется шестью способами.

Ответ: 6 способов.

Задача 83. На окраску 3 кв. м пола уходит 50 г краски. Сколько краски уйдет на окраску пола в комнате площадью 12 кв. м?

12 кв. м в четыре раза больше, чем 3 кв. м, а потому на них уйдет в четыре раза больше краски: 50 г · 4 = 200 г.

Ответ: 200 г.

Задача 84. Какая цифра в задаче на вычисление пропущена: (223 + 81912174 + 23 _ + 345287): 10?

Число, стоящее в скобках, должно делиться на 10, поэтому оно должно иметь на конце цифру 0. Эта цифра получится лишь в том случае, если число 23__ будет иметь на конце цифру 6.

Ответ: 6.

Задача 85. Имеется 9 кг песка и гиря в 250 г. Как в три взвешивания на чашечных весах отмерить 2 кг песка?

Ответ: 1) делим пополам 9 кг; на одной из чаш оказывается 4 кг 500 г; 2) делим пополам 4 кг 500 г; на одной из чаш оказывается 2 кг 250 г; 3) кладем на другую чашу гирю и приводим весы в равновесие, отсыпая лишний вес; этот лишний вес и составит 2 кг.

Задача 86. Перерисуй по клеткам угол АВС.

Задача 87. Расшифруй ребус: х 340 х – х 9 х 2 = 51 x 20.

Достаточно написать пример столбиком, и все пропущенные цифры станут очевидными.

Ответ: 53402 – 1982 = 51420.

Задача 88. На сковородке помещается два блинчика. На обжаривание блинчика с одной стороны требуется 1 минута. Как за три минуты обжарить на этой сковороде три блинчика?

Ответ: Обжарить два блинчика с одной стороны (одна минута), один блинчик перевернуть, второй снять и положить на его место третий (одна минута), положить на сковородку второй и третий (одна минута).

Задача 89. Матери и сыну в этом году лет вместе столько же, сколько отцу и дочери. Сохранится ли это соотношение на будущий год?

На будущий год все, о ком говорится в задаче, станут на 1 год старше. Значит, мать и сын вместе станут на 2 года старше; отец и дочь вместе станут на 2 года старше. Поэтому разность между их возрастами не изменится.

Ответ: Да.

Задача 90. Илья стоит в хороводе. 3-й слева от Ильи тот же, что и 11-й слева. Сколько людей в хороводе?

Из условия ясно, что второй подсчет дает еще 8 человек – полный хоровод или полные два или полные четыре хоровода. Получается или 8 человек, или 4, или 2, но 2 человека – это не хоровод.

Ответ: 8 или 4.

Задача 91. Магазин получил со склада 1000 линеек. Одни из них имеют длину 20 см, а другие 30 см. Общая длина линеек 220 м. Сколько 20-сантиметровых линеек получил магазин?

1) Какова была бы общая длина линеек, если бы все они были 20-сантиметровыми?

20 см · 1000 = 20000 см = 200 м.

2) Какова лишняя общая длина, имеющаяся потому, что среди линеек есть 30-сантиметровые?

220 м – 200 м = 20 м.

3) На сколько 30-сантиметровая линейка длиннее 20-сантиметровой?

30 – 20 = 10 (см).

4) Сколько линеек – 30-сантиметровые?

20 м: 10 см = 2000 см: 10 см = 200.

5) Сколько линеек – 20-сантиметровые?

1000 – 200 = 800.

Решение полезно проверить:

1) Какова общая длина 30-сантиметровых линеек?

30 см · 200 = 6000 см = 60 м.

2) Какова общая длина 20-сантиметровых линеек?

20 см · 800 = 16000 см = 160 м.

3) Какова общая длина всех линеек?

60 + 160 = 220 (м).

Ответ: 800.

Задача 92. В субботу в 3 классе должно состояться четыре урока: русский язык, математика, труд и природоведение. Сколькими способами можно определить порядок следования этих предметов?

На первое место можно поставить любой из 4 уроков, на второе – любой из 3 оставшихся. Значит, первые два урока определяются 4*3 = = 12 способами. В любом из них третье место можно занять двумя способами, итого 24 способа. Последний урок определяется автоматически.

Ответ: 24.

Задача 93. Если намотать 3 м веревки на катушку, получится 100 витков. Сколько витков получится, если намотать полтора метра? 12 метров?

Полтора метра вдвое меньше, чем 3 метра, поэтому полтора метра дадут нам 50 витков. 12 м вчетверо больше, чем 3 м, получится 400 витков.

Ответ: 50 витков, 400 витков.

Задача 94. Человек отвечает на вопросы только «да» или «нет» и имеет право один раз ответить неправду. После нескольких вопросов его спросили: «Ты уже соврал?», и он ответил «Да». Остается ли за ним право соврать при ответе на следующие вопросы?

Может быть, он соврал при ответах на предыдущие вопросы, и на последний вопрос ответил правду. А может быть, он не врал при ответах на предыдущие вопросы и соврал в ответе на последний вопрос. В любом случае он при последующих ответах не может врать.

Ответ: Нет.

Задача 95. Две мухи соревнуются в беге. Они бегут от пола к потолку и обратно. Первая муха бежит в обе стороны с одинаковой скоростью. Вторая бежит вниз вдвое быстрее, чем первая, а вверх – вдвое медленнее, чем первая. Которая из мух победит?

Нужно нарисовать оба этапа соревнования:

Первая муха достигает потолка, когда вторая на половине пути к нему; первая возвращается к полу, когда вторая достигает потолка. Побеждает первая. Заметим, что несущественно, во сколько раз быстрее вторая муха ползет вниз, чем первая.

Ответ: Первая.

Задача 96. Перерисуй по клеткам фигуру АВСD. Убедись, что АВСD – квадрат, то есть что все его стороны равны между собой и все углы – прямые.

Задача 97. Расшифруй ребус: 6 x 21 + 2 х х = х 958.

Достаточно написать пример столбиком, и все пропущенные цифры станут очевидными.

Ответ: 6721 + 237 = 6958.

Задача 98. Попытайся понять, как составлена эта последовательность, и продолжи ее: 1, 6, 28, 145.

Второе число получается из первого так: прибавляем 1 и умножаем на 3. Третье из второго – прибавляем 1 и умножаем на 4. Четвертое из третьего – прибавляем 1 и умножаем на 5. Можно и дальше действовать так же, прибавляя к предыдущему числу 1 и умножая результат на множитель, увеличенный на 1.

Ответ: 1, 6, 28, 145, 876…

Задача 99. Две мухи соревнуются в беге. Они бегут от потолка к полу и обратно. Первая муха бежит в обе стороны с одинаковой скоростью. Вторая бежит вниз вдвое быстрее первой, а вверх вдвое медленнее первой. Которая победит?

Достаточно попросить мух бежать в другом порядке – как в задаче 95. От этого их скорости не изменятся, а значит, не изменится и время бега. Впрочем, можно проследить ход соревнования и в данном порядке. Пока первая муха достигнет середины стены, вторая будет уже на полу. На обратном пути вторая муха пробежит четверть стены, пока первая достигнет пола. Первой останется бежать вверх целую стену, а второй – три четверти стены. Но скорость первой мухи теперь в два раза больше, и она успевает к цели раньше.

Ответ: Первая.

Задача 100. Какое число пропущено в следующем равенстве? (429 – _): (348 + 259) = 0.

Так как частное равно нулю, то делимое равно нулю. Получается, что 429 – = 0, а значит, пропущено число 429.

Ответ: 429.

Задача 101. 1 сентября 2001 г. – суббота. Какой день недели 1 сентября 2002 г.? Сделайте более общий вывод.

В данной задаче нужно выяснить:

1) сколько дней между 1 сентября 2001 г. до 1 сентября 2002 г. (так как эти годы невисокосные, то 365 дней);

2) каким днем является день «суббота + 365 дней» (так как 365 дней – это 52 недели плюс один день, то «суббота + 365 дней» – это

воскресенье).

Ответ: 1 сентября 2002 г. – воскресенье. Более общий вывод: невисокосный год продвигает календарь на один день недели.

Задача 102. В субботу в 3 классе должно состояться четыре урока: два урока русского языка, математика и природоведение. Сколькими способами можно определить порядок следования этих предметов?

Лучше всего выписать все возможные расписания, вначале начинающиеся с РР, потом с РМ, потом с РП, потом с МР, потом с МП, потом с ПР, потом с ПМ:

РРМП, РРПМ, РМРП, РМПР, РПРМ, РПМР,

МРРП, МРПР, МПРР, ПРРМ, ПРМР, ПМРР.

Можно рассуждать и иначе: назвать уроки русского языка Р1 и Р2, составить 24 расписания, как в задаче 92, а затем заявить, что уроков будет вдвое меньше, так как Р1 и Р2 друг от друга не отличаются.

Ответ: 12.

Задача 103. 50 г сахара растворили в 1 литре воды. От этой воды отлили один стакан вместимостью 200 г. Сколько сахара в этом стакане?

Так как сахар растворен, то можно считать, что в равных количествах воды содержатся равные количества сахара. Чтобы решить задачу, нужно вычислить, какую часть всей воды составляет один стакан. 1 л воды имеет массу 1 кг, а потому в первом действии следует разделить 1 кг на 200 г.

1 кг: 200 г = 1000 г: 200 г = 5, поэтому один стакан составляет одну пятую часть литра. Значит, и сахара в стакане одна пятая часть, то есть в стакане содержится 50 г: 5 = 10 г.

Ответ: 10 г.

Задача 104. Какая цифра в задаче на вычисление пропущена: (438 + 5681175 + 673 + 3487897): 10?

Смотри задачу 84.

Ответ: 0.

Задача 105. Какой вес можно отмерить гирями 1, 2,4 и 8 г, если класть гири только на одну чашу весов?

Решение видно из рисунка.

Ответ: Любой от 1 до 15 г.

Замечание для учителя: эти числа (1, 2, 4 и 8 г) – степени числа 2. Продолжая этот ряд гирь, мы получим возможность минимальным числом гирь отмеривать любые веса с использованием для гирь одной чаши весов.

Задача 106. Двое одновременно отправились из А в В. Первый поехал на велосипеде, второй – на автомобиле со скоростью, в 5 раз большей скорости первого. На полпути автомобиль сломался, и оставшуюся часть пути автомобилист прошел пешком со скоростью, в два раза меньшей скорости велосипедиста. Успел ли велосипедист помахать ручкой автомобилисту?

Вторую половину пути автомобилист шел столько же времени, сколько потребовалось велосипедисту на весь путь. Значит, автомобилист прибыл в Б позже велосипедиста как раз на то время, за которое он проехал первую половину пути. То есть вначале он намного обогнал велосипедиста, а к концу пути велосипедист обогнал его, пешего.

Ответ: Да.

Задача 107. Расшифруй ребус: хххх – ххх = 1.

Разность двух чисел равна единице, если это соседние числа. Значит, нужно найти два соседних числа, одно из которых трехзначное, а другое четырехзначное. Это числа 999 и 1000.

Ответ: 1000 – 999 = 1.

Задача 108. Коля считает, что если сумма первых трех цифр номера автобусного билета равна сумме последних трех цифр, то билет – счастливый. Билет с номером 995995 – счастливый. Какие два ближайших к нему билета тоже счастливые?

Сумма первых трех цифр равна 9 + 9 + 5 = 23, и эти цифры долго не менялись. Менялись последние цифры, но их сумма должна была также равняться 23. Первая из этих трех цифр 9 долго не менялась. Значит, нужно, чтобы сумма двух последних цифр равнялась 14. Перед числом 95 такое ближайшее число 86. Что касается следующего за данным счастливого билета, то у него сумма последних цифр уже не будет равняться 23, так как у чисел 996, 997, 998 и 999 сумма цифр от 24 до 27, а после 999 сумма цифр 0, 1 и так далее. Второе ближайшее число с суммой цифр 23 будет – 977.

Ответ: 995986 и 995977.

Задача 109. Имеются 8 монет. Возможно, что одна из них фальшивая (отличается от других по весу). Имеются чашечные весы. Сколько взвешиваний тебе понадобится, чтобы выяснить, есть ли среди монет фальшивая?

Достаточно положить на одну чашу весов четыре монеты, а на другую – другие четыре монеты.

Если весы придут в равновесие, то фальшивых монет нет. В противном случае фальшивая монета имеется.

Ответ: Одно.

Задача 110. В следующем тексте есть слово «Я». Шифр такой же, как у Юлия Цезаря (смотри задачу 20), но сдвиг сделан не на 3 знака. Расшифруй текст.

Г – УТХПИЗСГГ ЕЧОЁД Ё ДПШДЁМЦИ.

Слово Я – это либо Г, либо Ё. Если Ё расшифровывается как Я, то Г расшифровывается как Ь. Но тогда первое слово фразы будет Ь, что невозможно. Остается положить, что Я зашифровано буквой Г.

Ответ: Я – ПОСЛЕДНЯЯ БУКВА В АЛФАВИТЕ.

Задача 111. Для перенумерования страниц книги (со второй страницы до последней) потребовалось ровно 100 цифр. Сколько страниц в этой книге?

На первые 9 страниц потребовалось 8 цифр (так как на первую страницу номер не ставят). Остальные 92 цифры потребовались на двузначные номера, то есть на 46 страниц книги. Значит, в книге 9 + 46 = 55 страниц.

Ответ: 55.

Задача 112. На этой карте показаны домики Иа-Иа и Тигры и дорожки между ними. Сколько существует путей между этими домиками по этим дорожкам?

Ответ получается постепенно. Имеет смысл воспроизвести чертеж на доске и последовательно вносить в него добавления и обозначения – буквы, числа и стрелки. Каждый новый результат нужно получать в результате обсуждения. В конце концов должна получиться такая картина:

Приведем все этапы решения.

1) В точки А, Б, В, Г и Д от домика Иа-Иа ведут по одной дорожке.

2) В точку Е ведут две дорожки: одна через точку Л, другая – через точку Г.

3) В точку Ж ведут три дорожки: одна через точку Д и две через точку Е. Точно так же три дорожки ведут от Иа-Иа в точку 3.

4) В точку И ведут шесть дорожек: три через Ж и три через 3.

5) В точку К ведут четыре дорожки: одна через В и три через 3.

6) Наконец, можно определить, сколько дорожек ведут к дому Тигры от дома Иа-Иа: четыре дорожки через К и шесть дорожек через И, а всего десять дорожек.

Ответ: 10.

Задача 113. В одном колесе 18 зубцов, а в другом, зацепленном с ним, 30 зубцов. Первое колесо сделало 15 оборотов. А второе?

Это трудная задача. Нужно нарисовать на доске два зубчатых колеса: маленькое и большое. Первое должно быть примерно в два раза меньше второго. Теперь нужно сосредоточить внимание на их единственной общей точке – точке сцепления (назовем ее точкой Л). В то время, когда через точку А проходит один зубец первого колеса, через ту же точку проходит один зубец второго колеса. То есть за одно и то же время через точку А проходит одинаковое число зубцов первого и второго колес. Задача решается за несколько вопросов.

1) Сколько зубцов первого колеса прошло через точку Л за 15 оборотов этого колеса? 15 · 18 = 270.

2) Сколько зубцов второго колеса прошло через точку Л за то же время? Столько же, 270.

3) Сколько оборотов должно сделать второе колесо, чтобы через точку Л прошло 270 его зубцов? 270: 30 = 9.