Текст книги "Паутина жизни. Новое научное понимание живых систем"

Автор книги: Фритьоф Капра

сообщить о нарушении

Текущая страница: 8 (всего у книги 22 страниц)

Оказалось, что научные убеждения и профессиональные сферы интересов Джеймса Лавлока и Линн Маргулис идеально дополняют друг друга. Маргулис без затруднений отвечала на многочисленные вопросы Лавлока по поводу биологического происхождения атмосферных газов, в то время как Лавлок вносил в зарождающуюся теорию Гайи концепции из химии, термодинамики и кибернетики. Таким образом двое ученых постепенно смогли определить сложную сеть петель обратной связи, которая – как они предполагали – осуществляет саморегуляцию планетарной системы.

Выдающаяся особенность этих петель обратной связи заключается в том, что они связывают воедино живые и неживые системы. Мы теперь уже не можем думать о камнях, животных и растениях как об изолированных сущностях. Теория Гайи показывает, что существует тесная взаимосвязь между живыми частями планеты – растениями, микроорганизмами и животными – и ее неживыми составляющими – камнями, океанами и атмосферой.

Цикл углекислого газа хорошо иллюстрирует это положение64. В течение миллионов лет вулканы Земли извергли в атмосферу колоссальные массы углекислого газа (СО2). Поскольку СО2– один из важнейших газов, создающих тепличный эффект, Гайе приходится выкачивать его из атмосферы, иначе температура для жизни будет слишком высокой. Растения и животные перерабатывают огромные количества СО2 в ходе процессов фотосинтеза, дыхания и разложения. Тем не менее эти обмены всегда сбалансированы и не влияют на уровень СО2 в атмосфере. Согласно теории Гайи, избыток углекислого газа в атмосфере удаляется и перерабатывается гигантской петлей обратной связи, в которую в качестве важнейшей составляющей входит эрозия горных пород.

В процессе эрозии компоненты горных пород соединяются с дождевой водой и углекислым газом, формируя различные химические соединения, именуемые карбонатами (углекислыми солями). Благодаря этому СО2 изымается из атмосферы и связывается в жидких растворах. Это Чисто химические процессы, не требующие участия жизни. Тем не менее Лавлок и другие обнаружили, что присутствие почвенных бактерий значительно ускоряет эрозию пород. В определенном смысле почвенные бактерии действуют как катализатор процесса эрозии, и весь цикл обращения углекислого газа можно рассматривать как биологический эквивалент каталитических циклов, изученных Манфредом Эйгеном.

Затем карбонаты смываются в океан, где крошечные водоросли, невидимые невооруженным глазом, поглощают их и используют для построения изящных меловых (карбонат кальция) раковин. Итак, СО2, который был в атмосфере, теперь оказывается в раковинах этих мельчайших водорослей (рис. 5-4). Кроме того, океанические водоросли поглощают углекислый газ и непосредственно из воздуха.

Рис. 5-4. Океаническая водоросль (кокколитофора) с меловой раковиной

Когда водоросли умирают, их раковины оседают на океанское дно, где образуют массивные отложения известняка (другой формы карбоната кальция). Обладая громадным весом, эти известняковые отложения постепенно погружаются в мантию Земли и плавятся, порой даже вызывая сдвиги тектонических пластов. В конце концов некоторая часть СО2, содержащаяся в расплавленной породе, снова извергается вулканами наружу и запускает следующий оборот великого цикла Гайи.

Весь цикл – связь вулканов с эрозией пород, с почвенными бактериями, с океаническими водорослями, с известняковыми отложениями и снова с вулканами – работает как гигантская петля обратной связи, участвующая в регулировании температуры Земли. Чем интенсивнее солнечное излучение, тем активнее становятся бактерии почвы и выше скорость эрозии пород. Это, в свою очередь, выкачивает больше СО2 из атмосферы и, таким образом, охлаждает планету. Согласно Лавлоку и Маргулис, подобные циклы обратной связи – связывающие друг с другом растения и камни, животных и атмосферные газы, микроорганизмы и океаны – регулируют климат Земли, содержание соли в ее океанах и другие важные планетарные условия.

Теория Гайи рассматривает жизнь в системном контексте, сопрягая вместе геологию, микробиологию, химию атмосферы и другие дисциплины, специалисты которых не привыкли взаимодействовать друг с другом. Лавлок и Маргулис бросили вызов общепринятому убеждению, что это изолированные дисциплины, что условия для жизни на Земле создаются геологическими силами и что растения и животные – просто пассажиры, которым случайно удалось найти подходящие условия для своей эволюции. По Гайя теории, жизнь создает условия для собственного существования. Линн Маргулис говорит об этом так:

Выражаясь простым языком, эта гипотеза [Гайи] говорит о том, что поверхность Земли, которую мы всегда считали окружающей средой, на самом деле является частью жизни. Воздушный покров – тропосферу – следует считать круговой системой, которую формирует и поддерживает сама жизнь... Когда ученые говорят нам, что жизнь приспосабливается, по сути, к пассивному окружению химии, физики и камней, они укрепляют сильно искаженный взгляд на природу. Жизнь на самом деле производит, формирует и изменяет то окружение, к которому она приспосабливается. В таком случае, это «окружение» оказывает обратную связь на жизнь, которая изменяется, действует и растет в нем. Происходят непрерывные циклические взаимодействия65.

Поначалу неприятие научным сообществом этого нового взгляда на жизнь было столь сильным, что авторы даже не могли опубликовать свою гипотезу. Авторитетные академические журналы, такие как «Science» и «Nature», отвергли ее. В конце концов астроном Карл Саган, который издавал «Icarus», предложил Лавлоку и Маргулис опубликовать их гипотезу в своем журнале66. Поражает тот факт, что ни одна из теорий и Моделей самоорганизации, предложенных к тому времени, не встречала такого сильного сопротивления. Это наводит на размышление о том, не была ли эта в высшей степени иррациональная реакция научного истэблишмента обусловлена влиянием Гайи как мощного архетипического мифа.

Действительно, образ Гайи как чувствующего существа был одним из главных неявных аргументов против Гайя-гипотезы после ее публикации. Ученые выражали свое неприятие заявлениями, что гипотеза ненаучна, поскольку она телеологична, т. е. подразумевает идею целенаправленного формирования естественных процессов. «Ни Линн Маргулис, ни я сам никогда не говорили, что планетарная саморегуляция целенаправленна, – протестует Лавлок. – И все же мы столкнулись с настойчивой, почти догматической критикой нашей теории как телеологической концепции»67.

Эта критика уходит корнями в старые споры между механицистами и виталистами. В то время как механицисты утверждают, что все биологические феномены будут в конце концов объяснены в рамках законов физики и химии, виталисты постулируют существование нематериальной сущности, каузального посредника, управляющего жизненными процессами, которые не поддаются механистическому объяснению68. Телеология – от греческого tellos («причина») – утверждает, что каузальный посредник, признаваемый витализмом, целенаправлен, что в природе существует цель и замысел. Упорно противостоя виталистам и их телеологическим аргументам, механицисты до сих пор сражаются с ньютоновской метафорой Бога как часового мастера. Недавно зародившаяся теория живых систем положила конец спорам между механицизмом и телеологией. Как мы увидим ниже, она рассматривает живую природу как сущность, наделенную интеллектом и разумом, и не нуждается в признании какого-либо высшего замысла или причины69.

Представители механистической биологии атаковали гипотезу Гайи как телеологическую концепцию, потому что они не могли представить, как жизнь на Земле может создавать и регулировать условия для своего собственного существования, не обладая сознанием и способностью к целеполаганию. «Не проводятся ли собрания комитетов различных биологических видов, чтобы обсудить температуру на будущий год?» – со злорадным юмором вопрошали эти критики70.

Лавлок ответил на критику невинной математической моделью под названием «Мир маргариток». Она представляет весьма упрощенную схему Гайи, из которой становится совершенно понятно, что регулирование температуры – это внезапно возникающее свойство системы, которое проявляется автоматически в отсутствие какого бы то ни было целенаправленного действия, как следствие наличия петель обратной связи между организмами планеты и их окружением71.

«Мир маргариток» – это компьютерная модель планеты, согреваемой солнцем с постоянно нарастающим излучением тепла и населенной только двумя видами – черными и белыми маргаритками. Семена этих маргариток рассеяны по всей планете, почва всюду влажна и плодородна, однако маргаритки могут расти лишь в определенном температурном интервале.

Лавлок ввел математические уравнения, соответствующие всем этим условиям, в качестве начальной выбрал температуру замерзания – и запустил модель на компьютере. «Приведет ли эволюция экосистемы мира маргариток к саморегуляции климата?» – таков был решающий вопрос, который он задал сам себе.

Результаты оказались впечатляющими. Планета постепенно разогревается, и в какой-то момент экватор становится достаточно теплым для поддержания жизни растений. Первыми появляются черные маргаритки, поскольку они поглощают тепло лучше белых и поэтому более приспособлены к выживанию и воспроизведению. Итак, в первой фазе эволюции в мире маргариток появляется пояс черных маргариток, распределенных вдоль экватора (рис. 5-5).

Рис. 5-5. Четыре эволюционные фазы мира маргариток

По мере дальнейшего повышения температуры на планете экватор становится слишком жарким для выживания черных маргариток, и они начинают колонизацию субтропических зон. В это же время в районе экватора появляются белые маргаритки. Поскольку они белые, они отражают тепло и охлаждаются, что повышает их выживаемость в Перегретых зонах по сравнению с черными маргаритками. Итак, во второй фазе вдоль экватора наблюдается пояс белых маргариток, а субтропические зоны и области умеренного климата заполнены черными маргаритками; вблизи полюсов еще слишком холодно для любого вида маргариток.

Солнце продолжает греть с возрастающей интенсивностью, и растительная жизнь на экваторе вымирает – там становится слишком жарко даже для белых маргариток. Тем временем белые маргаритки сменили черные в умеренных зонах, а черные маргаритки начинают появляться вокруг полюсов. Таким образом, в третьей фазе экватор оказывается бесплодным, умеренные зоны заселены белыми маргаритками, вокруг полярных зон теснятся черные маргаритки, и лишь на самых верхушках полюсов не наблюдается растительной жизни. В последней фазе, наконец, обширные территории вокруг экватора и субтропические зоны оказываются слишком горячими для выживания обоих видов, и мы видим белые маргаритки в умеренных зонах, а черные – на полюсах. После этого на модели планеты становится слишком жарко для выживания обоих видов маргариток, и жизнь на ней вымирает.

Такова основная динамика системы мира маргариток. Важнейшее свойство модели, обусловленное саморегулированием, заключается в том, что черные маргаритки, поглощая тепло, согревают не только себя, но и саму планету. Подобным же образом, когда белые маргаритки отражают тепло и охлаждаются, они охлаждают и планету. Стало быть, в течение всей эволюции мира маргариток тепло поглощается и отражается в зависимости от того, какой вид маргариток доминирует.

Когда Лавлок изобразил на графике изменения температуры планеты в ходе ее эволюции, он получил поразительный результат: температура планеты поддерживается постоянной на протяжении всех четырех фаз (рис. 5-6). Когда солнце относительно прохладно, мир маргариток повышает свою температуру через поглощение тепла черными маргаритками; по мере того как солнце нагревается, температура постепенно снижается из-за прогрессирующего преобладания белых маргариток, отражающих тепло. Так мир маргариток, без всякого предвидения и планирования, «регулирует свою температуру в обширном диапазоне лишь с помощью танца маргариток»72.

Петли обратной связи, которые регулируют влияние окружающей среды на рост маргариток, который, в свою очередь, влияет на окружение, представляют собой существенную особенность модели Мира маргариток. Если этот цикл разорвать так, чтобы маргаритки перестали влиять на окружающую среду, популяции маргариток начинают сильно и беспорядочно колебаться и вся система приходит в хаотическое состояние. Но как только петли замыкаются, снова связывая маргаритки с окружающей средой, модель стабилизируется и возникает саморегуляция.

Рис. 5-6.

Эволюция температуры в мире маргариток: пунктирная кривая показывает рост

температуры в отсутствии жизни; непрерывная кривая показывает, как жизнь

поддерживает постоянную температуру. График взят из Lovelock (1991)

С тех пор Лавлок разработал несколько гораздо более сложных версий мира маргариток. В новых моделях присутствуют не два, а гораздо больше видов маргариток с различной пигментацией; существуют модели, в которых маргаритки развиваются и изменяют цвет, модели, в которых кролики поедают маргаритки, а лисы поедают кроликов, и т. д.73. Конечный результат анализа всех этих весьма сложных моделей состоит в том, что небольшие температурные колебания, присутствующие в первоначальной модели мира маргариток, сглаживаются и саморегуляция становится все более и более устойчивой по мере возрастания сложности модели. Кроме того, Лавлок ввел в свои модели катастрофы, которые с регулярными интервалами уничтожают 30% маргариток. Он обнаружил, что саморегуляция мира маргариток обнаруживает замечательную гибкость и при этих резких возмущениях.

Все эти модели вызвали оживленную дискуссию среди биологов, геофизиков и геохимиков, и с тех пор, как они были впервые опубликованы, стала вызывать больше уважения в научном сообществе и Гайя– гипотеза. Сегодня уже в разных частях света существует несколько исследовательских групп, которые работают над подробными формулировками Гайя-теории74.

Первые попытки синтеза

В конце 70-х, почти двадцать лет спустя после того, как в различных контекстах были обнаружены ключевые критерии самоорганизации, удалось сформулировать подробные математические теории и модели самоорганизующихся систем и стал очевиден набор присущих им характеристик: непрерывный поток энергии и материи через систему, далекое от равновесия устойчивое состояние, возникновение новых паттернов порядка, центральная роль петель обратной связи и математическое описание в виде нелинейных уравнений.

В это же время австрийский физик Эрих Янч, работавший тогда в Калифорнийском университете в Беркли, в своей книге «Самоорганизующаяся Вселенная» представил одну из первых попыток синтеза новых моделей самоорганизации, основанную, главным образом, на теории диссипативных структур Пригожина75. И хотя сегодня книга Янча уже устарела, поскольку была написана прежде, чем широкую известность приобрела математика сложных систем, и не включала полную концепцию автопоэза как организации живых систем, в то время она представляла собой огромную ценность. Это была первая книга, сделавшая труды Пригожина доступными для широкой публики, и в ней была предпринята попытка объединить самые новые (на тот момент) концепции и идеи в связную парадигму самоорганизации. Мой синтез этих концепций в настоящей книге является в некоторой мере попыткой переформулировать ранние работы Эриха Янча.

ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ 5

См. Checkland (1981), pp. 123ff.

См. там же, р. 129.

CM.Dickson(1971).

Цитируется по Checkland (1981), р. 137.

См. там же.

См. Richardson (1992), pp. 149ff, 170ff.

Ulrich(1984).

8. См. Konigswieser и Lutz (1992).

9.См.Сарга(1982),р. 116ff.

10.Lilienfeld(1978),pp. 191-2.

См. ниже, с 140– 142.

См. выше, с. 34– 35.

См. выше, с. 53.

См. ниже, с. 179 и далее.

См. Varela et al. (1992), p. 94.

См. выше, с. 73 и далее.

McCulloch и Pitts (1943).

См., например, Ashby (1947).

См. Yovits and Cameron (1959), Foerster and Zopf (1962); Yovits, Jacobi and Goldstein (1962).

Математическое выражение избыточности имеет вид R = 1 – H/Hmax > где Н – энтропия системы в данный момент, а Н мах – максимально возможная энтропия для этой системы.

Подробный обзор истории этих исследовательских проектов см. в Paslack (1991).

Цитируется там же, р. 97п.

См. Prigogine and Stengers (1984), p. 142.

См. Laszlo (1987), p. 29.

См. Prigogine and Stengers (1984), p. 146ff.

Там же, p. 143.

Prigogine (1967).

Prigogine and Glansdorff (1971).

Цитируется по Paslack(1991), p. 105.

См. Graham (1987).

Cm. Paslack (1991), pp. 106-7.

Цитируется там же, р. 108; см. также Haken (1987).

Перепечатана в Haken (1983).

Graham (1987).

35.Цитируется по Paslack (1991),p. 111.

36.Eigen(1971).

См. Prigogine and Stengers (1984), p. 133ff, а также Laszlo (1987), p. 31ff.

Cm. Laszlo( 1987), pp. 34-35.

Цитируется по Paslack (1991), p. 112.

Humberto Maturana в Maturana and Varela (1980), p. xii.

Maturana(1970).

Цитируется по Paslack (1991), p. 156.

Maturana (1970).

Цитируется по Paslack (1991), p. 155.

Maturana (1970); см. р. 162ff; подробности и примеры см. ниже, с. 182 и далее.

См. ниже, с. 285 и далее.

Humberto Maturana в Maturana and Varela (1980), p. xvii.

Maturana and Varela (1972).

Varela, Maturana and Uribe (1974).

Maturana and Varela (1980), p. 75.

См. выше, ее. 34 и 82– 83.

Maturana and Varela (1980), p. 82.

См. Capra (1985).

Geoffrey Chew, цитируется по Capra (1975), p. 296.

См. ниже, с. 176 и далее.

См. выше, ее. 37– 39 и 48.

См.Ке11еу(1988).

См. Lovelock (1979), p. Iff.

Lovelock (1991), pp. 21-22.

Там же, р. 12.

См. Lovelock (1979), р. 11.

Lovelock (1972).

Margulis (1989).

См. Lovelock (1991), pp. 108-11; см. также Harding (1994).

Margulis (1989).

См. Lovelock and Margulis (1974).

Lovelock (1991), p. 11.

См. выше, с. 40 и далее.

См. ниже, ее. 238– 239,252.

Lovelock (1991), р. 62.

См. там же, p. 62ff, см. также Harding (1994).

Harding (1994).

См. Lovelock (1991), pp. 70-72.

См. Schneider and Boston (1991).

Jantsch(1980).

Глава 6

Математика сложных систем

Взгляд на живые системы как на самоорганизующиеся сети, все компоненты которых взаимосвязаны и взаимозависимы, в процессе развития истории философии и науки неоднократно высказывался в той или иной форме. Однако подробные модели самоорганизующихся систем предложены лишь недавно, когда стал доступен новый математический инструментарий, позволивший ученым смоделировать нелинейные характеристики взаимосвязанности сетей. Открытие этой новой математики сложности все чаще признается учеными одним из важнейших событий XX века.

Теории и модели самоорганизации, описанные в предыдущих главах, имеют дело с весьма сложными системами, состоящими из тысяч взаимозависимых химических реакций. За последние три десятилетия появилось множество новых концепций и технологий для работы с феноменами такой огромной сложности; на базе этих концепций в настоящее время начинает формироваться согласованная математическая структура. И все же четкого названия этой новой математики пока нет. По научно-популярной литературе она известна как математика сложных систем, более технические названия звучат как теория динамических систем, системная динамика, комплексная динамика или нелинейная динамика. Вероятно, наиболее широко используется термин теория динамических систем.

Чтобы избежать путаницы, полезно помнить, что теория динамических систем не относится к физическим феноменам, это – математическая теория, концепции и методы которой применимы к достаточно широкому диапазону явлений. То же касается теории хаоса и теории фракталов – важных разделов теории динамических систем.

Новая математика (мы рассмотрим это подробно) является математикой взаимоотношений и паттернов. Имея скорее качественный, чем количественный характер, она тем самым обусловливает сдвиг акцента, что характерно для системного мышления – от объектов к взаимоотношениям, от количества к качеству, от материи к паттерну. Развитие мощных высокоскоростных компьютеров сыграло решающую роль в освоении сложных систем. Математики сегодня могут решать сложные уравнения, которые раньше не поддавались решению, и прослеживать решения в виде кривых на графике. Таким способом они обнаружили новые качественные паттерны поведения этих сложных систем, новый уровень порядка, лежащий в основе кажущегося хаоса.

Классическая наука

Чтобы оценить новизну новой математики сложных систем, представляется интересным сопоставить ее с математикой классической науки. Наука, в современном понимании этого термина, появилась в конце XVI века, когда Галилео Галилей первым начал ставить систематические эксперименты, используя математический язык для формулирования открытых им законов природы. В те времена науку все еще называли «натуральной философией», и когда Галилей говорил «математика», он имел в виду геометрию. «Философия, – писал он, – записана в той Великой книге, которая всегда перед нашим взором; но мы не сможем понять ее, если сначала не выучим ее язык и те символы, которыми она написана. Этот язык – математика, а символы – это треугольники, окружности и другие геометрические фигуры»1.

Галилео унаследовал эту точку зрения от философов античной Греции, которые были склонны геометризировать все математические проблемы и искать ответы в рамках геометрических фигур. Есть свидетельства, что над входом в Академию Платона, главную греческую школу науки и философии на протяжении девяти столетий, была высечена надпись: «Да не войдет сюда несведущий в геометрии».

Несколько веков спустя совершенно иной подход к решению математических проблем, известный как алгебра, был разработан в Персии мусульманскими философами, которые, в свою очередь, переняли его у индийских математиков. Название происходит от арабского al-jabr («связывать вместе») и относится к процессу сокращения числа неизвестных величин путем связывания их вместе в уравнения. В элементарной алгебре буквы в уравнениях – взятые обычно из начала алфавита – означают различные постоянные числа. Хорошо известным примером, который большинство читателей помнит со школьной скамьи, служит уравнение

(а+b)2 = а2 + 2ab + Ь2.

В высшей алгебре рассматриваются взаимосвязи, называемые функциями, между неизвестными переменными числами, или переменными, которые условно обозначают последними буквами алфавита. Например, говорят, что в уравнении

у = х+ 1

переменная у является функцией х. Это в математике кратко обозначается

у = f(x).

Таким образом, во времена Галилея существовало два различных подхода к решению математических проблем – геометрия и алгебра, которые пришли из разных культур. Два эти подхода были объединены Рене Декартом. Моложе Галилея на поколение, Декарт более всего известен как основатель современной философии. Однако он был и блестящим математиком. Изобретенный Декартом метод преобразования алгебраических формул и уравнений в визуальную геометрическую форму стал величайшим из его многочисленных вкладов в математику.

Метод, известный как аналитическая геометрия, немыслим без декартовых координат – системы координат, изобретенной Декартом и названной в его честь. Например, когда взаимосвязь между двумя переменными х и у из нашего предыдущего примера (уравнение у = х + 1) изображается графически в декартовой системе координат, мы видим, что она соответствует прямой линии (рис. 6-1). Вот почему уравнения такого типа называются линейными.

Подобным же образом уравнение у = х2 представляется в виде параболы (рис. 6-2). Уравнения такого типа, соответствующие кривым линиям в декартовой сетке координат, называются нелинейными. Их отличительной чертой служит то, что одна или больше его переменных возведены в степень не менее 2-й.

Дифференциальные уравнения

В свете нового метода Декарта законы механики, открытые Галилеем, могли быть выражены либо в алгебраической форме как уравнения, либо в геометрической – как зримые фигуры. Однако существовала важная математическая проблема, которую ни Галилей, ни Декарт, ни кто-либо из их современников не могли решить. -

Рис. 6-1.

График, соответствующий уравнению у = х + 1. Для каждой точки на прямой линии значение у– координаты всегда будет на единицу больше значения соответствующей х– координаты

У

Рис. 6-2.

График, соответствующий уравнению у = х2. Для любой точки параболы, у-координата равна квадрату х-координаты

Они не могли составить уравнение, описывающее движение тела с переменной скоростью, с ускорением или замедлением.

Чтобы понять эту проблему, рассмотрим два движущихся тела: одно передвигается с постоянной скоростью, другое – с ускорением. Если мы построим для них график зависимости расстояния от времени, то получим две кривые, показанные на рис. 6-3. Скорость ускоряющегося тела меняется каждое мгновение, и это именно то, что Галилей и его современники не могли выразить математически. Иными словами, они не могли вычислить точное значение скорости в данный момент времени.

Расстояние

Рис. 6-3.

Графики движения двух тел: одного движущегося с постоянной скоростью, другого – с ускорением

Столетие спустя великану классической науки Исааку Ньютону и, примерно в то же время, немецкому философу и математику Готфриду Вильгельму Лейбницу удалось сделать это. Для того чтобы решить эту проблему, на протяжении веков мучившую математиков и натурфилософов, Ньютон и Лейбниц, независимо друг от друга, изобрели новый математический метод, сегодня известный как дифференциальное исчисление. Метафорически этот метод называется «воротами в высшую математику».

Понять, каким образом Ньютон и Лейбниц подошли к решению проблемы, представляется весьма поучительным и не требует знания специального математического языка. Всем известно, как вычислить скорость движущегося тела, если она остается постоянной. Если вы ведете машину со скоростью 20 км/ч, то это значит, что за час вы проедете 20 километров, за 2 часа – 40 и т. д. Другими словами, для того чтобы определить значение скорости машины, вы просто делите расстояние (например, 40 километров) на время, которое у вас уходит, чтобы его проехать (например, 2 часа). Применительно к нашему графику это означает, что разность между двумя координатами расстояния нужно поделить на разность между двумя соответствующими координатами времени, как это показано на рис. 6-4.

Если скорость машины меняется – а это всегда происходит в реальной жизненной ситуации, – то за один час вы проедете больше или меньше 20 км, в зависимости от того, как часто ускоряли или замедляли ход машины. Как же в таком случае вычислить точную скорость в определенный момент времени?

Вот как это сделал Ньютон. Он предложил сначала вычислить (в случае ускоряющегося движения) примерную скорость между двумя точками, заменив участок кривой между ними прямым отрезком. Как видно из рис. 6-5, скорость опять определяется соотношением между {d2-d1) и (t2-t1). Это не будет точным значением скорости ни в одной из двух точек, но если уменьшить расстояние между ними в достаточной степени, мы получим хорошее приближение.

Затем Ньютон предложил: давайте стягивать треугольник, образованный кривой и разностями координат, сдвигая две точки на кривой все ближе и ближе друг к другу. Пока мы делаем это, отрезок прямой между двумя точками будет все ближе и ближе подходить к кривой, а погрешность в вычислении скорости между двумя точками будет все меньше и меньше. В конце концов когда мы достигаем предела отношения бесконечно малых разниц – это критический шаг! – две точки на кривой сливаются в одну, а мы получаем точное значение скорости в этой точке. Геометрически прямая, соответствующая этой скорости, расположится по касательной к кривой.

Стянуть этот треугольник – в математическом смысле – к нулю и вычислить соотношение между двумя бесконечно малыми разностями – задача отнюдь не тривиальная. Точное определение предела бесконечно малого – самый трудный момент всей процедуры исчисления.

Рис. 6-4.

Чтобы вычислить постоянную скорость, нужно поделить

разность между координатами расстояния (d2-d1)

на разность между координатами времени (t2-t1)

Рис. 6-5.

Вычисление приблизительного значения скорости между двумя точками в случае ускоряющегося движения

На математическом языке бесконечно малая разность называется дифференциалом; поэтому и исчисление, изобретенное Ньютоном и Лейбницем, известно как дифференциальное. Уравнения, в которые входят дифференциалы, называются дифференциальными уравнениями.

Изобретение дифференциального исчисления явилось для науки гигантским шагом вперед. Впервые в человеческой истории понятию бесконечного, волновавшему философов и поэтов с незапамятных времен, было дано точное математическое определение; оно открыло необозримые новые возможности для анализа естественных феноменов.

Мощь нового аналитического инструмента можно проиллюстрировать на знаменитом парадоксе Зенона, представителя ранней элейской школы греческой философии. Согласно Зенону, великий атлет Ахилл никогда не сможет догнать черепаху в забеге, если черепаха стартует первой, поскольку, как только Ахилл наверстает начальное отставание, черепаха за это время продвинется еще дальше, а когда Ахилл пробежит и это расстояние, у черепахи опять окажется фора, и так до бесконечности. И хотя отставание атлета продолжает сокращаться, оно никогда не исчезнет. В каждый данный момент черепаха всегда будет впереди. Поэтому, как заключает Зенон, даже самый быстрый бегун никогда не сможет состязаться с медлительной черепахой.

Греческие философы и их последователи веками спорили по поводу этого парадокса, но никак не могли разрешить его, поскольку точное определение бесконечно малого ускользало от них. Упущение в аргументации Зенона кроется в том, что, даже если Ахиллу придется сделать бесконечное число шагов, чтобы догнать черепаху, это не займет бесконечного времени. Применив аппарат исчисления Ньютона, можно легко показать, что движущееся тело промчится сквозь бесконечное число бесконечно малых интервалов за конечное время.

В XVII веке Исаак Ньютон использовал свое исчисление для описания любых возможных движений твердых тел с помощью набора дифференциальных уравнений, которые с тех пор стали известны как ньютоновы уравнения движения. Этот подвиг Эйнштейн восславил как «возможно, величайшее достижение мысли, которое когда-либо посчастливилось осуществить одному человеку»2.

Лицом к лицу со сложностью

В течение XVIII и XIX столетий уравнения движения Ньютона были облечены в более общие, более абстрактные и более элегантные формы некоторыми из величайших умов в истории математики. Успешные новые формулировки, предложенные Пьером Лапласом, Леонардом Эйлером, Жозефом Лагранжем и Вильямом Гамильтоном, не изменили содержания ньютоновых уравнений, но их возрастающая сложность позволила ученым анализировать постоянно расширяющийся диапазон естественных явлений.