Текст книги "Teopeмa Гёделя"

Автор книги: Эрнст Нагель

Соавторы: Джеймс Ньюмен
сообщить о нарушении

Текущая страница: 4 (всего у книги 6 страниц)

Значит, сам по себе парадокс Ришара совсем не страшен. Но сама схема приводящего к нему рассуждения чрезвычайно поучительна и плодотворна. Речь идет о возможности «отображения» (или «перевода») метаматематических высказываний, относящихся к некоторой достаточно богатой формальной системе, в саму систему. Сама по себе идея «перевода» хорошо известна и играет важнейшую роль во многих областях математики. Такая идея лежит, например, в основе всей аналитической геометрии, где геометрические понятия переводятся в алгебраические (арифметические), так что вместо геометрических соотношений мы, по существу, имеем дело с алгебраическими. (Вспомните хотя бы обсуждавшееся в разделе 2 отображение геометрии в алгебру, использованное Гильбертом для доказательства относительной непротиворечивости его системы геометрических аксиом). Такие отображения-«переводы» играют большую роль и в физике, например, когда свойства электрического тока излагаются на языке гидродинамических явлений. Эта же идея перевода лежит в основе технического моделирования – идет ли речь об исследовании свойств модели самолета (или же самолета в натуральную величину) в аэродинамической трубе, или же об изучении в лабораторных условиях распределения каких-либо материальных масс с помощью аналоговой модели, где роль этих масс играют электрические заряды.

На идее отображения[12]12
  Можно было бы сказать «перевода», «моделирования», «кодирования», «представления»; в переводе мы далее будем сознательно варьировать употребление этих терминов, чтобы подчеркнуть принципиальное родство понятий, выражаемых этими терминами, между собой и с используемым далее понятием «нумерации». – Прим. перев.


[Закрыть] основан так называемый принцип двойственности в проективной геометрии, состоящий в возможности взаимной замены в аксиомах (а значит, и в теоремах) проективной геометрии терминов «точка» и «прямая», в результате чего аксиомы переходят в аксиомы (соответственно теоремы – в теоремы). При одном из таких «переводов» слово «точка» можно считать «образом», слово «прямая» – «прообразом»; при обратном переводе роли меняются.

Самым существенным в обсуждаемой здесь идее «моделирования» является то, что абстрактная структура отношений, выполняемых для «предметов» какой– либо области, может быть изучена с помощью рассмотрения отношений, имеющих место между «предметами» (как правило, другой природы, чем «предметы» исходной области), принадлежащими совсем другой области. Именно эта идея «кодирования» лежит в основе доказательства Гёделя. Если некоторые сложные метаматематические высказывания о формализованной системе арифметики можно, как рассчитывает Гёдель, перевести (или «отобразить») в некоторые арифметические высказывания, принадлежащие самой системе, то это уже само по себе явится большим достижением в деле развития теоретико-доказательственной техники, так же, как исследовать алгебраические соотношения, представляющие (изображающие, кодирующие) некоторые геометрические соотношения между кривыми и поверхностями, гораздо удобнее, чем иметь дело с самими геометрическими соотношениями, – точно так же арифметические аналоги («образы») сложных логических соотношений оказываются в известном смысле более обозримыми и доступными для изучения, чем их логические «прообразы».

Использование идеи кодирования, как мы уже отмечали, лежит в основе знаменитой работы Гёделя. Следуя схеме рассуждения, очень близкой к той, что проводится в парадоксе Ришара (но усовершенствуя ее при этом таким образом, что она становится неуязвимой по отношению к сформулированным выше критическим заключениям), Гёдель показывает, что метаматематические высказывания об арифметическом формализованном исчислении можно представить посредством некоторых арифметических формул внутри исчисления. Как мы покажем подробнее в следующем разделе, ему удалось найти такой метод арифметического кодирования метаматематических высказываний, что для некоторой формулы, выражающей истинное метаматематическое утверждение о формулах арифметики, ни она сама, ни ее отрицание не доказуемы в формальной арифметике. Поскольку одна из этих формул, выражающая истинное арифметическое высказывание, не выводима из арифметических аксиом, то аксиомы образуют неполную систему. Предложенный Гёделем метод кодирования позволил ему также построить арифметическую формулу, соответствующую метаматематическому высказыванию «арифметическое исчисление непротиворечиво», и показать, что эта формула недоказуема в (этом же!) арифметическом исчислении. Отсюда следует, что упомянутое метаматематическое высказывание не может быть установлено без привлечения некоторых дополнительных дедуктивных средств, не представимых (т. е. не кодируемых, не переводимых) в самом арифметическом исчислении, так что если это высказывание и можно доказать, то уж заведомо с привлечением средств, непротиворечивость которых не менее сомнительна, нежели сама по себе непротиворечивость арифметики. Все важнейшие выводы были получены Гёделем с использованием придуманной им чрезвычайно остроумной системы числового кодирования, или, как мы будем далее говорить, нумерации.

7
Теоремы Гёделя

7.1. Гёделевская нумерация

Гёдель прежде всего описал некоторое формализованное исчисление, средствами которого можно выразить все обычные арифметические понятия и установить известные арифметические соотношения.

^{Гёдель использовал несколько упрошенный вариант системы, описанной в Principia Mathematics. Но для его цели точно так же подходит любое исчисление, в котором можно построить систему натуральных чисел с определенными на ней арифметическими операциями.}

Формулы этого исчисления строятся исходя из некоторого запаса элементарных символов, образующих алфавит системы. В этом исчислении, как обычно, выделено некоторое множество исходных формул (аксиом) и точно перечислены правила преобразования (правила вывода), посредством которых из аксиом выводятся теоремы.

Гёдель показал, что каждому элементарному символу, каждой формуле (т. е. цепочке элементарных символов) и каждому доказательству (конечной последовательности формул) можно однозначным образом приписать некоторый номер (натуральное число). Такой номер, служащий своего рода значком, ярлыком, указывающим на отмечаемый им объект – символ, формулу или доказательство – формальной системы, мы будем называть «гёделевским номером» этого символа, формулы или доказательства[13]13
  Имеется много различных способов приписывания гёделевских номеров, и какой из них выбрать – совершенно несущественно.


[Закрыть].

Элементарные символы, составляющие алфавит системы, бывают двух сортов: константы и переменные. Мы будем считать, что у нас есть ровно десять символов-констант, которым мы припишем в качестве гёделевских номеров числа от 1 до 10. Почти все эти символы читателю уже известны: «~» (сокращение для «не»), «˅» («или»), «ﬤ» («если…, то…»), «=» («равно»), «0» (цифровой знак, изображающий число «нуль»), а также три «знака препинания»: левая скобка «(», правая скобка «)» и запятая «,». Кроме того, нам понадобятся еще два символа: перевернутая буква «Ǝ» (читаемая как «существует» и называемая «квантором существования») и строчная латинская буква «s», обозначающая числовой оператор, сопоставляющий каждому натуральному числу непосредственно следующее за ним число. Пример: формулу «Ǝ x (x = s0)» можно прочесть как «существует такое x, что x непосредственно следует за числом 0». Выпишем все используемые нами символы-константы (под ними указаны соответствующие гёделевские номера):

~ ˅ ﬤ Ǝ = 0 s ( ) ,

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Кроме элементарных символов-констант, в алфавит нашего исчисления входят еще переменные, причем переменные трех сортов: числовые переменные «x», «y», «z» и т. д. (вместо них можно подставлять «цифры» и составленные из них (и числовых переменных) «арифметические выражения», выражающие натуральные числа); пропозициональные переменные «p», «q», «r» и т. д. (вместо них можно подставлять «формулы», выражающие высказывания); и, наконец, предикатные переменные «P», «Q», «R» и т. д. (вместо них можно подставлять арифметические «предикаты», выражающие такие свойства и отношения, как «больше чем», «простое (число)» и т. п.). Переменным также сопоставляются гёделевские номера, причем делается это в соответствии со следующими соглашениями:

1) различным числовым переменным приписываются различные простые числа, большие 10;

2) различным пропозициональным переменным приписываются квадраты различных простых чисел, больших 10;

3) различным предикатным переменным приписываются кубы различных простых чисел, бОльших 10.

_{* Кавычки (добавленные при переводе) означают здесь, что подставить можно не само написанное в правом столбце слово, а его формальную запись на языке нашего исчисления. – Прим. перев.}

Возьмем какую-нибудь формулу нашей системы, например

Ǝ x (x = sy)

(которую можно прочесть как «существует такое x, что x непосредственно следует за y» и которая выражает то обстоятельство, что для каждого числа есть непосредственно следующее за ним число). Выпишем под каждым из входящих в нее символов его (символа) гёделевский номер:

Ǝ x ( x = s у )

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

4 11 8 11 5 7 13 9

Конечно, нам бы хотелось сопоставить каждой формуле не набор номеров (как пока получилось), а один-единственный определенный номер. Но это очень легко сделать. А именно: сопоставим этой формуле произведение первых восьми простых чисел в порядке их величины, причем каждое из них в степени, показатель которой равен гёделевскому номеру соответствующего элементарного символа:

2⁴ × 3¹¹ × 5⁸ × 7¹¹ × 11⁵ × 13⁷ × 17¹³ × 9⁹.

Обозначим это число, скажем, через m. Точно таким же образом мы можем приписать в качестве гёделевского номера единственное вполне определенное натуральное число каждой конечной последовательности элементарных символов, в частности каждой формуле, причем число простых сомножителей такого числа всегда будет равно числу вхождений элементарных символов в обозначаемой формуле.

^{В исчислении могут использоваться и символы, не входящие в его исходный («основной») алфавит; такие символы вводятся посредством определений, записанных в терминах исходных (и вообще ранее определенных) символов. Например, в наше исчисление можно ввести новый символ (константу) «·», обозначающий союз «и», определив его таким образом, чтобы запись «p·q» воспринималась как сокращение записи «~(~p˅~q)». Какой гёделевский номер сопоставить введенному таким образом символу? Ответ станет совершенно очевидным, когда мы заметим, что из выражений, содержащих дополнительные (введенные определениями) символы, эти новые символы можно исключить, заменив их обозначаемыми ими выражениями, составленными исключительно из исходных символов (для этого мы просто читаем соответствующие определения «справа налево»); для последних же гёделевеcкие номера мы строить умеем. Поэтому нам достаточно условиться считать гёделевским номером формулы «p·q» гёделевский номер эквивалентной ей формулы «~(~p˅~q)», гёделевским номером «формулы» «2 ≠ 3» – номер заменяемой ею «настоящей» формулы «~(ss0=sss0)» и т. п., условившись, конечно (что совсем нетрудно), об однозначном порядке таких «расшифровок».}

Рассмотрим, наконец, какую-нибудь последовательность формул (могущую быть в частном случае доказательством), например последовательность

Ǝ x (x = sy),

Ǝ x (x = s0).

Вторая формула последовательности, читаемая как «существует число, непосредственно следующее за нулем», – выводимая из первой формулы посредством подстановки цифры 0 вместо числовой переменной.

^{Читатель, конечно, помнит, что формальное доказательство мы определяли выше как конечную последовательность формул, каждая из которых есть либо аксиома, либо выводима из предыдущих формул этой последовательности по правилам вывода данного исчисления. Согласно этому определению приведенная пара формул доказательством не является (первая ее формула – не аксиома) – это лишь «кусок» доказательства, на примере которого мы столь же понятно (но далеко не так громоздко) поясним идею нумерации, как и на целом доказательстве.}

Выше мы уже определили гёделевский номер первой из этих формул – мы обозначили его тогда через m. Пусть гёделевским номером второй формулы является число n. Как и выше, мы хотим сопоставить нашей последовательности не пару чисел m и n, а некоторое единственным образом определенное натуральное число. Для этого нам достаточно взять в качестве такого гёделевского номера число, являющееся произведением степеней первых двух простых чисел (т. е. чисел 2 и 3), причем первый сомножитель будет входить в это произведение в степени, показатель которой равен гёделевскому номеру первой формулы, и аналогично для второго сомножителя (а также для третьего и других, если мы имеем дело с последовательностью, состоящей более чем из двух формул). Обозначим это число через k: k = 2^m × 3ⁿ. Такой простой и компактный метод применим, очевидно, для получения гёделевского номера произвольной последовательности формул. Таким образом, любое выражение нашей системы – будь то элементарный символ, последовательность символов или последовательность таких последовательностей – может быть однозначно занумеровано посредством некоторого гёделевского номера.

Теперь уже полная «арифметизация» нашего формального исчисления не представит никакого труда. Такая «арифметизация» попросту сводится к устанорлению некоторого взаимно-однозначного соответствия между выражениями, входящими в исчисление, и некоторым подмножеством натурального ряда.

^{Не всякое натуральное число есть гёделевский номер константы, переменной или формулы; предоставляем читателю придумать и разобрать примеры на различные возможные случаи.}

Если нам дано какое-нибудь выражение, мы без труда напишем его гёделевский номер. Это, однако, лишь полдела. Важно то, что когда нам дано какое-либо натуральное число, то мы можем установить, является ли это число гёделевским номером, а если да – то можем точно «восстановить» обозначаемое этим номером выражение. Если данное число не превосходит 10, то это, как мы знаем, просто номер некоторой константы. Если же данное число больше 10, то его можно разложить, причем единственным образом (в этом состоит так называемая основная теорема арифметики), на простые сомножители. Если оно оказалось простым, квадратом простого или кубом простого числа, то это – гёделевский номер переменной.

Если данное число оказалось произведением степеней первых последовательных простых чисел, то оно может (хотя, конечно, и не обязано) быть гёделевским номером формулы или последовательности формулы.

И в таком случае выражение, которому соответствует данный номер, может быть точно определено.

Следуя намеченной программе, мы можем для любого данного числа совершенно единообразным методом («как машина») проверить, является ли оно гёделевским номером, а если да – то какого выражения[14]14
  После чего уже совсем нетрудно проверить, является ли данное выражение формулой или доказательством нашего исчисления (ср. предыдущее примечание). – Прим. перев.


[Закрыть]. Пусть, например, нам дано число 243 000 000. Разложим его (оно, очевидно, составное) на простые сомножители: 243 000 000 = 64 × 243 × 15 625 = 2⁶ × 3⁵ × 5⁶. Вспомнив, что 6 есть гёделевский номер константы «0», а 5 – гёделевский номер знака «=», рисуем схему:

6 5 6

↓ ↓ ↓

0 = 0

Теперь видно, что число «243 миллиона» действительно есть гёделевский номер некоторой формулы, а именно, формулы «0 = 0» (т. е. «нуль равен нулю»).

7.2. Арифметизация метаматематики

Следующим шагом, который проделал Гёдель, было чрезвычайно остроумное применение описанного выше «кодирования» («гёделевской нумерации»). Он показал, что все метаматематические высказывания о структурных свойствах выражений, входящих в рассматриваемое исчисление, можно изобразить (причем взаимно-однозначным образом) в самом этом исчислении. В основе этой процедуры лежит следующая идея. Поскольку каждому выражению нашего исчисления приписан некоторый (гёделевский) номер, то каждое метаматематическое высказывание о выражениях исчисления и отношениях, имеющих место между ними, можно рассматривать и как высказывание о соответствующих (гёделевских) номерах и отношениях между ними. Таким путем метаматематика оказывается полностью «арифметизированной».

Рассмотрим такой популярный пример. При входе в большие универсальные магазины покупателям иногда выдают билетики с номерами, определяющими порядок дальнейшего обслуживания покупателей. Достаточно бывает посмотреть на эти номера, чтобы ответить на вопросы, сколько покупателей уже обслужено, сколько ожидает своей очереди, кто за кем стоит, сколько всего покупателей было с утра в магазине и т. п. Если, скажем, миссис Смит имеет номер 37, а миссис Браун – номер 53, то вместо того чтобы объяснить миссис Браун, что она должна пропустить вперед миссис Смит, достаточно обратить ее внимание на то, что 37 меньше, чем 53.

В метаматематике дело обстоит в точности, как в этом магазине. Каждое метаматематическое высказывание кодируется теперь вполне однозначным образом посредством некоторой арифметической формулы; отношения же, имеющие место между метаматематическими высказываниями, и логические зависимости между ними также однозначно переводятся в некоторые числовые соотношения и зависимости между соответствующими арифметическими формулами. И здесь, как и раньше, числовое кодирование облегчает рассмотрение всех достаточно сложных соотношений. Изучение метаматематических вопросов сводится к исследованию арифметических соотношений и свойств некоторых чисел.

Проиллюстрируем все эти общие замечания одним элементарным примером. Возьмем первую аксиому исчисления высказываний, являющуюся, кстати, аксиомой и рассматриваемого сейчас логико-арифметического исчисления: «(p ˅ p) ﬤ p». Ее гёделевский номер, равный, как легко убедиться, числу 2⁸ × 3¹¹ × 5² × 7^{11^2} × 11⁹ × 13⁸ × 17¹¹ мы обозначим буквой а. Рассмотрим теперь формулу «(p ˅ p)», гёделевский номер которой, равный числу 2⁸ × 3^{11^2} × 5² × 7^{11^2} × 11⁹, обозначим через b. Сформулируем теперь метаматематическое утверждение, гласящее, что формула «(p ˅ p)» есть начальная «подформула» (т. е. часть формулы, сама также являющаяся формулой) выбранной аксиомы. Какой арифметической формуле рассматриваемой формальной системы соответствует это утверждение? Очевидно, что более короткая формула «(p ˅ p)» является начальной подформулой более длинной формулы «(p ˅ p) ﬤ p» в том и только в том случае, если (гёделевский) номер b, соответствующий первой из этих формул, есть делитель (гёделевского) номера a, соответствующего второй формуле. В предположении, что термин «делитель» определен некоторым подходящим образом в формализованной арифметической системе арифметической формулой, однозначным образом соответствующей упомянутому выше метаматематическому утверждению о том, что первая аксиома начинается с подформулы «(p ˅ p)», является формула «b есть делитель a». Более того, если эта последняя формула истинна, т. е. если b действительно является делителем a, то верно и то, что «(p ˅ p)» есть начальная подформула формулы «(p ˅ p) ﬤ p».

Рассмотрим теперь повнимательнее следующее метаматематическое высказывание: «Последовательность формул, имеющая гёделевский номер x, является доказательством формулы, имеющей гёделевский номер z». Высказывание кодируется (изображается) посредством некоторой вполне определенной формулы арифметического исчисления, выражающей некоторое чисто арифметическое отношение между числами x и z. (Некоторое представление о том, насколько сложным является такое отношение, читатель получит, вспомнив приводившийся выше пример, в котором конец доказательства (а не все доказательство!) некоторой формулы, имеющей гёделевский номер, n, получал гёделевский номер k = 2^m × 3ⁿ. Самый беглый анализ приводит нас к выводу, что здесь вводится вполне определенное, хотя и далеко не простое, арифметическое отношение между k (будем для простоты считать его номером всего доказательства) и n — гёделевским номером заключения этого доказательства.) Мы будем записывать отношение между числами x и z посредством формулы «Dem(x, z)»[15]15
  От англ. demonstration (доказательство). – Прим. перев.


[Закрыть] напоминающей нам самим своим обликом о том метаматематическом утверждении, которому она соответствует (а именно, об утверждении «Последовательность формул, имеющая гёделевский номер x, является доказательством формулы, имеющей гёделевский номер z»).

^{Читатель должен твердо уяснить себе, что хотя «Dem(x, z)» кодирует некоторое метаматематическое утверждение, сама эта запись является формулой арифметического исчисления. Формула эта в более привычных обозначениях может быть записана в виде f(x, z) = 0, где буква f обозначает некоторый довольно-таки сложный комплекс арифметических операций над числами. Однако эта более привычная запись не «подсказывает» сразу своей метаматематической интерпретации, почему мы и предпочли запись, приведенную в тексте.}

Читатель теперь легко убедится в том, что метаматематическое утверждение, гласящее, что некоторая последовательность формул есть доказательство данной формулы, является истинным в том и только в том случае, если гёделевский номер этой последовательности формул находится с гёделевским номером данной формулы как раз в том арифметическом отношении, которое мы обозначили здесь через «Dem». Вообще, чтобы утверждать истинность или ложность какого-либо интересующего нас метаматематического утверждения, нам достаточно решить вопрос о том, находятся ли некоторые два числа в отношении, обозначаемом через «Dem». Но и обратно: чтобы убедиться, что два числа находятся в названном отношении, достаточно установить истинность метаматематического утверждения, «кодируемого» этим арифметическим отношением. Аналогично, метаматематическое высказывание «Последовательность формул, имеющая гёделевский номер x, не является доказательством формулы, имеющей гёделевский номер z», кодируется некоторой вполне определенной формулой формализованной арифметической системы, являющейся формальным отрицанием формулы «Dem(x, z)», т. е. формулой «~ Dem(x, z)».

Еще несколько слов об обозначениях, используемых в доказательстве теоремы Гёделя. Начнем с примера. Формула «Ǝ x (x = sy)» имеет гёделевский номер m (см. выше, с. 81), а переменная «y» – гёделевский номер 13. Подставив в эту формулу вместо переменной, имеющей гёделевский номер 13 (т. е. вместо «y») цифру[16]16
  Цифра – это числовой знак, или имя числа (ср. выше примечание авторов на с. 35–36). – Прим. перев.


[Закрыть], обозначающую число m, мы получим в результате формулу «Ǝ x (x = sm)», выражающую утверждение, согласно которому существует такое число x, что это ж непосредственно следует за числом m.

Последняя формула также имеет некоторый гёделевский номер, который совсем нетрудно вычислить. Но вместо того чтобы фактически производить это вычисление, мы можем совершенно однозначно охарактеризовать этот номер чисто метаматематическим образом, говоря, что это гёделевский номер формулы, получаемый из формулы, имеющей гёделевский номер m, подстановкой вместо входящей в эту формулу переменной с гёделевским номером 13 цифры «m». Такая метаматематическая характеристика однозначно определяет некоторое число, являющееся некоторой определенной функцией от чисел m и 13, причем сама эта функция может быть выражена средствами нашей формализованной арифметической системы. Значит, и само число можно выразить внутри нашего исчисления. Обозначим его через «sub(m, 13, m)», напоминая тем самым, что речь идет о гёделевском номере формулы, полученной из формулы, имеющей гёделевский номер m, подстановкой[17]17
  «Подстановка» – по-английски «substitution». – Прим. перев.


[Закрыть] вместо входящей в нее переменной с гёделевским номером 13 цифры, обозначающей число m. Вообще, через «sub(y, 13, y)» мы будем обозначать теперь арифметическую формулу, выражающую внутри арифметического исчисления метаматематическую характеристику: «гёделевский номер формулы, получаемой из формулы, имеющей гёделевский номер y, подстановкой вместо входящей в нее переменной, имеющей гёделевский номер 13, цифры, обозначающей число „y“». Если в выражение «sub(y, 13, y)» мы подставим теперь вместо «y» какую-нибудь определенную цифру, скажем, цифру, обозначающую число m, или выражение 243 000 000, то получающееся в результате выражение также будет обозначать некоторое определенное натуральное число, являющееся притом гёделевским номером некоторой определенной формулы.

У читателя не раз мог возникнуть вопрос, почему, собственно, мы говорили сейчас не просто о «числе y», а – столь вычурно и длинно! – о «цифре, обозначающей y». Впрочем, сама форма вопроса уже отчасти подсказывает ответ. Мы ведь уже упоминали о важном различии между понятиями «число» и «цифра». Цифра – это некоторый знак, т. е. выражение языка, которое можно записывать, стирать, зачеркивать, повторять и т. д. и т. п. Число же – это то, именем (или названием, обозначением) чего является обозначающая его цифра; само по себе число нельзя записать, стереть, зачеркнуть, повторить.

Скажем, когда мы говорим, что 10 – число пальцев на обеих руках, то мы характеризуем этой фразой некоторое «свойство» множества наших пальцев – свойство, которое, разумеется, «цифрой» никак не назовешь. Но число 10 может записываться как арабскими цифрами: «10», так и римскими цифрами (т. е. прописными латинскими буквами) «X»; эти имена сами по себе, конечно, различны, хотя обозначают они одно и то же число. Так вот, когда мы производим подстановку вместо числовой переменной (которая сама есть просто знак, буква), то мы ставим вместо одного знака другой знак. Мы не можем подставить вместо знака число – ведь число, являющееся некоторым свойством (или, как иногда говорят, понятием), вообще не есть что-то такое, что можно непосредственно нанести на бумагу. Итак, вместо числовой – а лучше сказать, цифровой! – переменной мы подставляем именно цифру (или цифровое выражение, скажем «s0» или «7 + 5»), а не число. Именно поэтому мы выше говорили о подстановке цифры (обозначающей число) y, а не самого числа у в интересующее нас метаматематическое выражение.

Читатель может далее поинтересоваться, какое же число обозначается выражением «sub(y, 13, y)», если формула, имеющая гёделевский номер у, не содержит переменной, имеющей гёделевский номер 13, т. е. попросту, если формула не содержит переменной «y». Скажем, sub(243 000 000, 13, 243 000 000) есть гёделевский номер формулы, полученной из формулы, имеющей гёделевский номер 243 000 000, подстановкой вместо переменной «y» цифры[18]18
  Напоминаем, что «цифрой» мы здесь всюду называем всю запись числа, а не отдельный знак такой записи, как обычно; скажем, «10» есть цифра, обозначающая число 10, хотя обычно и говорят, что это число записывается посредством двух цифр «1» и «0». – Прим. перев.


[Закрыть] 243 000 000. Выше (с. 85) мы уже выяснили, что 243 000 000 – гёделевский номер формулы «0 = 0», не содержащей переменной «y». Но какая же формула получится из формулы «0 = 0» в результате подстановки вместо не входящей в нее переменной «y» цифры, обозначающей число 243 000 000? Ответ очень простой: раз формула не содержит этой переменной, то и подстановка чисто фиктивная, т. е. такая «подстановка» не меняет формулы, иначе говоря, число, обозначаемое записью «sub(243 000 000, 13, 243 000 000)», есть само число 243 000 000.

Заметим, наконец, что выражение «sub(y, 13, y)» не является формулой нашей арифметической системы в том смысле, в каком, например являются формулами выражения «Ǝ x (x = sy)» или «Dem(x, z)», и вот почему. Выражение «0 = 0» мы называем формулой; такая запись утверждает наличие некоторого отношения между двумя числами, так что имеет смысл ставить вопрос, истинно или ложно это утверждение. Аналогично, когда вместо переменных, входящих в выражение «Dem(x, z)», подставляются некоторые цифры, то получающееся выражение оказывается записью некоторого утверждения (о том, что два числа находятся в некотором отношении), о котором опять-таки имеет смысл ставить вопрос, истинно оно или ложно. То же самое можно сказать и о выражении «Ǝ x (x = sy)».

Что же касается выражения «sub(y, 13, y)», даже если переставить в него вместо «y» какую-нибудь конкретную цифру, то оно все равно не будет ничего утверждать и по этой причине не будет ни истинным, ни ложным. Выражение это лишь обозначает (или называет) некоторое число, характеризующее его как некоторую функцию от других чисел. Итак, выражение «Dem(x, z)» (подобно, например, записям «у = f(x)» или «3² + 4² = 5²») есть формула и является схемой (или формой) некоторого утверждения; в отличие от него запись «sub(y, 13, y)» (подобно «f(x)» или «(7 × 5) + 8») является лишь схемой (формой) имени некоторого числа, но не формулой.